GIFT OF
Bern Dibner
OPERA
GEOMETRICA
EVANGELIST^
TORRICELLIl
Di Solidis Sph^sraiihus De [olido HyperMice
De Motu . Cum Appendicibus de
De Dimen[om TArahola cloidc:, ^ Cochlea*
s
‘V V'
i»’V
'tft'
r
..k.
/-
■f"
c<
. A
T F'
\ i'
t
4
:< -
' ^
-'-^'■•-■n-v. 'C '
- .;- c-'-. j • •
;k
i
'k
t
33
AS'
«Kf
DE SPHiERA
Et Solidis Sphaeralibus
LIBKl DVO
In quibus Archimedis Dodlrifta de
Sphcera & cylindro denuo com-
ponitur, latius promouetur ,
Et in omni fpecie filidorum :,qu£yel circa ^vel intra-
Sph^ram^ex conuerpone poltgonorum r epularium
gip^ipojjtnt i yniuerfalius Tropapatur .
AD SERENISSIMVM
FERDINANDVM IL
Magnum Ducem Etruriae .
A V C T O R E
EFANGELISTA TORRICELLIO
emfdem Serenifsimi Mami Ducis
Fforcotj^ Typis A matoris MalTe, & Liurenrq' de L3.ndis 1644
SV PER lORV M P iTFJTTs SF^,
i
i <L 9^'
• . .» • % %
t
i
i'
k
f-
-Sri-
,»V
. ->7
-'t
’^-
■■V .
/•
'i?
V
‘i
fi-'
i
K'
'.A,
f
/
-\4
'V
X
3
Serenifsimo Magm Duci Etruria
FERDINANDO II.
RFBE SCEREM prafeSo , Seremf
f me Magne Dux , oblaturus libellum
hunc S er enifsim te Celjitudini T utSy ni--
Ji haberem maxima Archimedis , et Gte
lilei nomina^quicprtxtendere pojjlm au^
dacix mea : Exigua enim Junt opujcu"
la hac de rebus at at e noBra negle-
Bis y nempe G eometricis • Attamen y niji fallor^ duo maxima
Geometria opera promouebunty cum n) et er em De Sphara^ et
Cylindro y nouamque De Motu fcientiam exequantur . Sed
ego frufira Geometriam excufo apud eum Principem , cui non
Jolumhareditaria^fed etiam ingenita e fi Mathematicarum
difciplinarumproteBio * Sereniffimus enim CoJrnuslL Pa-
ter Tuus fiipendijs celeberrimo Galileo oblati si deinde Ser. C*
T ua 5 beneficijs maximis in huiufmodi fcientia cultores collo^
catis p optime demonfirauit intelligerey quanti momenti fint
A z Mathe-
4 ^
Mathematica fcientiae , njel in difionendis exercituum acie^
hus ^weHn muniendis ^ exornmdippe njrbibus ^ utroque
tempore belli ^pacijqtie. Cum enim ( njt de Mechanica facuU
tate fleam ) totum pene ciuile commercium pondere ^nmeroy
^ menfura adminiflretur ^ quis non videat omne, hominu
negotium in Mathematicis ejf ? qua tria quantitatis genera
cum in S cholis noflris quotidie agitentur illiprofeBo maxi-
me vtiles Reip. habebuntur y qui in huiufnodi Budijs njerfa*
ti y exercitatique erunt. Libellorum itaque non inutilium
caufa penitus mala non erit quatenus Geometrici funt . Kti*
ndm mala non ft eo nomine quod funt met : Fropterea humilL
ier oro y illos qualefiumqsfnt.^ Tibi tamen debitosy T ua*
que munificentia edit os y S.C,Tua fufeipere dignetur eo vul-
tu y quo me quoque fipplicem fufeepit y atque ea humanitate^
qua cum tanti Principis maieBate coniunBay amorem eli-
cit etiam ab ignoti s % Faueat Deus omnibus votisTuis 3
S»C T uamy imperiumqs diu tueatur 3 ^ augeat *
Serenifs.C.Tua
Humillimus feruus
lEu angeli ft a T orrkellwsl
PRO E-
i
PROEMIFM.
N T E R omnia opera ad Mathematicas difci-
plinas pertinentia, iure optimo Principem fibi
I ocum vindicare videntur Archimedis inuen-
ra 3 quse quidem ipfo fubtilitatis miraculo ter-
rent animos . V erum inter omnes libros egre-
gij Authoris longe eminet ille, qui De S phsera,
& cylindro infcribitur : neque enim pofteritatis tantum confen-
fu, fed etiam iplius Scriptoris iudicio primas tenet . Certe hunc
ipfe in titulum fepulcri elegit, dignumq; pr^ ceteris iudicauit j
qui tanti viri tumulum exornaret , oftenderetque . Hunc tamen
fi quis attentius confiderare, & perpendere velit, magnum qui-
dem inuenmm fiitcatur necelTe eft , fed fortalTe non abfoliitiim.
Loquor equidem de primo tantum libro , in quo partem operis
Theorematicam , & omnem dodrinse inuentionem exequitur:
quo veluti iado fundamento, in fecunda parte poftea, quafi
coronidis loco, problemata quadam tamquam corollaria ad
eam rem.fpedantia ipfe fubne&t. Titulus librieft De Sphaera,
& Cylindro ; que quidem verba apud nos idem fonant,ac fi di-
xiffet De Sphtera , atque vnico folido fphgrali ; fed fphtera-
lia folida , quorum vnum eft cylindrus, multitudine funt infini-
ta, vt mox patebit « Ergo abfolutior fortalfe contemplatio vide-
ri potuilTet, fi eximius Author proportionem, non tantum eam,
qute efl inter fphteram , vnicumque ex fpheralibus folidis per-
quififfct , verumetiam omnem aliam rationem , qute inter ij^h^-
ram ipfam, & vnumquodq; ex infinitis fphteralibus folidis inter
cedit, oflendendam fibialTumpfiiret. Hoc itaque propofitum
erit,
/
^h€Cf»
j^*Ub }}
'■**
6
& inflitutum meum in prtefenti libello . Dodrinam non foliim
de Sph^ra,& cylindro^ leddc fphi^ra, & fphceralibus foJidis
omnibus profequerrur; Mutatifq; plerumque Archinied^is fun
damentis , vniuerfaliori demonftratione illam complcdi cona-
bimur, atque in omni fpecie folidoruin, vel intra, vel circa fph^
Tam defcriptorum , propagabimus .
Ex libro Archimedis De Sphccra & Cylindro duo h^c col-
liguntur fpedantia ad illafolida, quae nos fphseralia appella-
mus : Primum , quod fphsera dupla cft infcripti fibi rombi folidi
jequilateri >quod quidem vnum eft ex folidis fphteralibus, geni
tum ex reuolutione quadrati infcripti,& circadiagonalem con-
uerfi * Alterum^ quod cylindrus ad infcriptam libi fph;^ra;m eft
fefquialter. quod quidem &vnum ex folidis fphaeralibus eft ,
genitum ex conuerftone quadrati circumfcripti , & circa ipfius
catetum reuoluti . Stantibus his , contemplatione dignum mi-
hi videbatur vniuerfalius aliquod problema huiufmodf.
Dato poligono quocunque regulari fue intrUifiue circa cirem
Ium defcrtpto , ^ Jiue circa diagonalem, jiueetrea catetum re-
uoluto, proportionem dicere^ quamfa&um expoljgono folidum
habeat , ad faBam ex circulo jpheeram .
Penitus autem ex voto fuccelTit inftituta contemplatio . Nam
inuenta proportione , fex ifta inferius adnotata Theoremata ita
fe habere comperi , quemadmodum hic fubijciuntur .
Trima fetidorum fph oralium fpecies •
Si intra circulum deferiptum fuerit
poligonum regulare habens latera
numero paria , & conuertatur figura
circa catetum B. Quafitur ratio fph^e
tx ad fadtum folidum ,
Continuetur ratio radij poligoni
ad catetum eiufdem , nempe AadB
in quatuor terminis A, B, QD. Erit
que fph^era ad folidum infeript um ,vt diame-
ter iph.xxx, hoc eft vt dupla ipfius A ? ad vtramqj fimulB, & D ^
“ ^ Secuti
a
ABC»
Secunda fpectesl
Si intra circulum defcriptum fueritpolfgS-
num regulare habens latera numero paria , &
conuertatur figura circa diagonalem A B.
Quseritur ratio iph^r^ ad factum fphscrale fo-
lidum*
Oftenditur. Sphseramefie ad folidum,v£
quadratum A B. ad quadratum cateti A C.
Tertia /pectes.
Si intra circulum defcribatur
poligonum regulare habens late-
ra numero imparia, & conuertatur
figura circa catetum B. Quaeritur
ratio fph^rf ad fadlumfph^ralo
folidum .
Continuetur ratio radi; A. ad
catetum B. in quatuor terminis
A, B, C, D. Eritq; fphiKra ad folid um, vt quadrupla iplius A» ad
B. femel, C. bis, & D. femel fimulq; fiimptas •
Quarta /pectes.
Si circa circulum defcribatur poligonum
regulare , habens latera numero paria , &
conuertatur figura cirpa catetum C. Queri-
tur ratio folidi ad fph^ram .
Oftenditur folidum effe ad infcriptam fi-
bi fpbirram , vt duo fimul quadrata , quoru
vnum fit ex radio D. alterum ex cateto C,
ad d uplum q uad rati C.
^mnta Spectes ,
Si circa circulum defcribatur poligonum
regulare ha bens latera numero paria; & con-
uertatur figura circa diagonalem A. Queri-
tur ratio folidi ad fphsrfam .
Oftenditur folidum ad infcripta fibi fphcC-
ram
iiifo
Mk
ram effe vt radius A ad catetum B.hoc eft vt axis folidi ad axem
fphser^ .
lib.i.
Sexta 9 &vltimc^ Species»
Si circa circulum defcribatur po
; ligonum regulare habens lateranu
\ \ mero imparia, &conuertatur figu-
ra circa B catetum. Queritur ra-
tio folidi ad Sphaeram .
Continuetur ratio radij A ad ca-
tetum po ligoni B, in tribus terminis
A B,C . Eritque folidum ad fph^e-
*Iheor. ram,vtAfemel,BbiSj&Cfemel fimulque fumptae, adqua-
druplamipfiusC.
Sblidorum itaq: fph^ralium fpecies .omnino fex emergunt,
& vniufcuiufq; fpeciei ratio ad fuam fphaeram innotefeit . Pof-
fent fortafle videri tres tantum folidorum fpecies , fi folida ab-
^ . fblute, acfinefuisfph^ris confiderentur. Veriimiiillaadfphae
' ; , ram referantur, ftatim relatio variatur, &proportio alia con-
furgit, iprout cognata folidis ipfis fphaera inferipta fuerit, vel
circumicripta .
Quibus demonftratis, varia pro Corollarijs Theoremata
ftatim emergebant ; cuiufmodi flint . Datis ex predidarum fex
fpecierum folidis duobus quibufeunque , alterius ad alterum
rationem notam facere .
Conum ^quilaterum circa fphseram deferiptum , effe ad ip-
fam fphf ram vt p.ad 4. Nempe duplum fefqui quartum . Pro^
pterea fi circa eandem fphgram coniis , cylindrufq; ^rquilateri
deferipti fint , tria folida , nempe 'conum , cylindrum , & iphf-
ram fore inter fe in continua proportione fefquialtera .
Sph^ram ad conum equilaterum fibi inferiptum effe vt 5 2.
ad 9.
Sphffam ad inferiptum cylindrum equilaterum inefabilem
ratione ) labere, nepe vt diameter quadrati aiiciiius^ ad 3 late-
' ' 4 “
ris
9
riseiufdem.
Rombumfolidum sequilaterum fphserg clrcumfcriptum ad
eandem fph2Eramincomenfurabilemeire, nempe vt diameter
quadrati alicuius ad latus eiufdem .
Sphaerale folidum exagonale circa catetum reuolutum eflci
adinfcriptam fibifph^ram fefquifextum ,
Sph^ram autem ad exagorme folidum fibi infcriptum,& cir-
ca diagonalem reuolutum , eife fefquitertiam .
Et alia huiufmodi , qug quidem altius perfcrutanti innumera
patebunt. Interim fatis fuperque mihi erit aliqua appofuiffe,
qu^ propria claritate vitro fe fe offerunt etiam afpernanti . Ho-
rum maxima pars Corollaria elfe poterant praecedentium fex
Theorematum i attamen illa demonftrabimus ex fola etiam Eu
didis dodrina,fine ope illorum qug de fphieralibus pr^emifera-
mus ; Vt videre efl ad Propofitiones 3 o. & 9, feqq. in fecundo
libro . Caeterum huiiis contemplationis occafionem , mox etia
& feriptionis incitamentum prtebuit mihi acutiflimus librorum
Archimedis ferutator Antonius Nardus Aretinus:huic enim re-
fero , atque ipfius eruditis colloquijs , fi quid vere Geometrica
in hac feriptura exciderit mihi .
S vero pleraque mala erunt, dcfortalfe omnia, hoc vnum
culpandus erit ornatifiimus vir , & genere, dodrina , moribufqj
confpicuiis Andreas Arrighettus Florentinus , qui poft magna
in me collata 'beneficia, editionem mali libri non fuafit> fed
iusfit.
B DEFI-
DEFINITIONES.
Viufcunquepoligoniregularis latera habentis numero
V> paria j Diagonalem voco lineam , qu^e per oppofitos £~
gur^ angulos ducitur . Camum vero voco lineam , qujs pun-
dla media laterum oppoiitorum conneditdiue earumdem lemif
fes. Cuiurcunqiie vero poligoni regularis latera habentis nu-
mero imparia, voco lineam, qu^ abvno angulo per
centrum figura? extenditur .
2 . Si poligonum quodeunque regulare conuertatur, fiue cir
ca diagonalem, nue circa catetum, donec ad eum loc um redeat
vnd e CcCpit moneri , folidum illud quod ex reuolutione circum-
{ctThitwv.fphitrale folidum appellare vifum eft .Parilaterum qui-
dem fi poligonum habuerit latera numero paria , Imparilatc-
rum vero, quando poligonum latera numero imparia habebit .
Si cylindrus, fiue conus, vel etiam coni fruftum plano per
axem dutlo fedum fit : communem fecantis plani , & curua? lu-
perficiei fedtionem vocabimus latus cylindri, fiue coni, fiue fru
fti conici.
Suppofiiones •
Supponimus . cuiufcunque prifmatis circa cylindrum tequeal
tum deferipti , fuperficiem maiorem efTe cylindri ipfius fuper fi-
cie. Cylindricam, vero fuperficiem maiorem efse fuperficie
prifmatisinfcripti, bafimhabentisregularem.exceptis femper '
bafibus . Item pyramidis circa conum defeript^ fuperficiem ma
iorem efTe ipfius coni fuperficie; Infcript^e vero pyramidis & re
gularem bafim habentis, fupponimus fuperficiem minorem efi-
fe conica fuperficie .
D emonftrantur haec apud Archimedem propofi 9. i o. 1 1 . 1 2
lib. I .de Sph. & Cyl. Si quis vero ea tamquam nota adniittet e
velit , torum iibellum noftrum percurrere poterit .
DE
Ii
DE SOLIDIS
SPHAER ALIBVS
LIBER PRIMVS.
PROPOSITIO P%IMA.
I Cylindriredifuperficies fecetur plano op-
pofitis bafibus parallelo \ erunt fegmenta fu-
perficiei cylindricae inter fe, vc fegmenta axis,
fiuelateris cylindri , homologe fumpta -
Efto cylindrus re(5i:us ABCDjfe-
ceturq; plano E F oppofitis bafibtis G
parallelo jDico cylindricam fuperficiem AEFD, ad l
cylindricam EBCF jcfse vtaxis ad axem, fiue vtla- n
tus AE, ad latus EB . ^
Producatur vtri mque in infinitum cylindrus, & ac-
cipiatur reda E G multiplex ipfius EA , iuxta quam- £
libet miiltipJicitatem , fedaque EG in partes ipfi EA
jequales , agantur per punda diuifionum H,T, G; pia- ^
na oppofitis bafibus parallela . Eritque tam multi-
plex recta GE ipfius EA: quam multiplex eft cylindri-
ca fuperficies E L, fuperficiei ED. ^
Sumatur etiam reda E M multiplex ipfius EB,iux-
B 2
• r V
— -fr
D
F
ru
ta
I » De SphAra, 0* f olidis fphAralih.
taquamlibetmultipJicationemifimiliq. perada conitmetione
vt fupra i erit tam multiplex reda E M redse EB , quam multi-
plex ed cylindrica fuperficies EN , fuperficiei E C ,
Manifeftum ergo eft,quod fi reda E G maior fuerit, fiue mi-
nor , vel aqualis , red? E M : tunc etiam cylindrica fuperficies
EL , maior erit , fiue minor, vel aqualis fuperficiei E N : & hotf
femper : Propter ea erit, vt AE ad E B, ita fuperficies AEFD,ad
fuperficiem E B C F. Qi^d erat demonfirandum .
Fropof m IL
S I fuerit quodcunque prifma redum , habens bafim poligo
nam regularem, habenfque altitudinem iequalem quartse
parti cateti fug bafisi erit perimeter prifmatis ajqualis policrono
fu^bafis.
Edo poligonum regulare ABGDEF, fuper quo concipiatur
prifma redum, habens pro altitudine AL quartam partem cate-
ti IH . Dico perimetrum prif-
matis, condantem ex figuris
redangulis aqualibus quaru
vna fit L B, aqualem efse poli
gono fuse bafis .
Ducantur enim diagonales
AOD, BOE,& ereda perpen-
diculari I M , iungantur A M ,
BMi
Cum ergo IH ponatur quadrupla ipfius IM , erit IO dupla ip
lius IM ; & ideo triangulum AOB duplum trianguli AMB ean-
dem bafim habentis ; fed etiam redangulum LB duplum ed
trianguli AMBi propterea redangulum LB sequale erit triangu-
lo AOB ; & fic de reliquis redangulis, reliquifque triangulis :
Qu^re totus prifmatis perimeter , condans ex figuris re dangu-
lis , aqualis ed poligono fute bafis . Quod erat demondrandu*
Ccf ollarium*
Cmjlat ergo yquod fi altitudo prijmatk maior p mimrue fue*
LiherVrimus ; 13
fit » quam quarta pars cateti fua bafis , erit perimeterpri/matis
maior , minorue quam poligonum fua bafis •
Tropo fit io III.
S I fuerit cylindrus rectus, cuius altitudo equalis fit quartse
parti diametri fuf bafis i erit cylindrica fuperficies aqualis
circulo fu£e bafis ,
Efto cylindrus rectus , cuius ba-
fis circulus circa diametrum A B
defcriptus ; altitudo vero A C, g-
qualis fit quartf parti diametri
AB.
Dico cylindricam fuperficiem
equaiem efse circulo fii^e bafis
Ab. vr-
Si enini aqualis non efi: j erit circulus vel maior , uel minor cy-
lindrica luperficie .
Sir primum circulus maior quam cylindri fuperficies ; & fup
pofita differentia G , defcribarur intra circulum aliquod poligo
num ADEB, quod quidem deficiat a circulo minori defectu ,
quam fit fpatium G s &ideo erit poligonum infcriptum adhuc
maius quam cylindrica fuperficies ( quomodo fiat hoc confiat
ex Commentariis in Archimedem , & ex XIL Euclidis ; ) Tum
fupra poligonum ADEB concipiatur prifma rectum eiufdem
cum cylindro altitudinis .
Cum ergo altitudo prifmatis eadem fit ac cylindri,nempe quar
taparsrecrtc AB, erit altitudo prifmatis maior quam quarta
pars cateti fu^ bafis poligonse, & ideo perimeter prifmatis ma-
ior erit quam p oligonum fu^ bafis , & multo maior , quam cy-
lindrica fuperficies ( factum enim efi poligonum maius cylin-
drkafuperficie.) ^^d efi abfurdum : efi enim contra pr^-
mifsas fuppofitiones .
Ponatur deinde circulus minor quam cylinrdica fuperficies;
&fuppofita difcentia G,, defcribatur circa circulum aliquod
£x Corel
lar.
ced.
14 DeSphara» ^ filidis fph^rali^.
poligonutn regulare D E F '' ^
G,quod excedat circulum
fpatio minori quam fit C.
( quomodo hoc fiat confiat ^
apud Commentarios in Ar tVa
chiim&in XIL Euclidis.)
eritq,* etiam poligonum mi-
nus quam cylindrica fuper-
ficies .
^ Concipiatur fupra poligonum erigi prifma eiufdem altitudi-
nis cum cylindro i ericque altitudo prifmaris quarta pars cateti
fu^ bafis poligong . ( cum priimaris altitudo eadem fit atqr cy-
lindri; cylindri autem altitudo eft quarta pars recfi^ AB,
.. , 3?qualis efi cateto poligoni,quod efi bafis prifmatis. )
^ Ideoperimeter prifinatis aequalis eritpoligono fue bafis ; dc
propterea minorquam cylindrica fuperficies . Qwd efi con-
tra pramiifias fuppofitiones .
Erit ergo fuperficies cylindrica eCqualis circulo fug bafis ,
Quod eratdemonfirandum .
Vropofitio IV.
C Ylindri redi fuperficies ad circulum fug bafis efi vt latus
cylindri ad quartam partem diametri eiufdem bafis .
per j.bu*
im «
Efio cylindrus redus, cuius redangulum a
per axem fit ABCD ; fumptaq; BE , qu^e quar
ta pars fit ipfius BC; Dico cylindricam fuper-
ficiem ABCD ad circulum fu^ bafis efie, vt
ABadBE*
. Producatur cylindrus verfus F , fedaque
B F aquali ipfi B E, erit per procedentem, cy-<
lindrica fuperficies F C oqualis circulo fuo
bafis BC.
lam ; cylindrica fuperficies BDjad cylindricam fuperficiem
FCefi
Liber Trimus ' I S
F C eft vt AB ad B F i fuperficies vero FC ad circulum BC ( ob
squalitatem) eft vt F B ad B E; Ergo ex squo erit cylindrica fu-
perficies BD ad circulum B C, vt AB ad BE, nempe vt latus cy-
lindri ad ^.diametri bafis eiufdem . Quod erat oftendendum*
Propoftio y.
C |Ylindri re<fti fuperficies ad circulum quemlibet , eft vt re-
dangulum per axem cylindri ad quadratum femidiame-
triipfius circuli,
Efto cylindrus redtus cuius redfan- (;j j
gulum per axem fit AB, & centrum ba ^
fis H, Ponatur autem circulus quili-
bet cuius femidiameter CD , Dico cy
lindricamfuperficiem ad circulum ex '
CD, cfTevtredtangulum ABadqua-
dratum CD, -A. E H L
Fiat ex AE ( qute quidem 4 , pars
fit reds AL ) quadratum FE, producaturque EG .
Erit ergo cylindrica fuperficies A B ad circulum fu^ bafis, vt per pr<e^
lAad AEjhoceft vtL^adAFjhoceft vtrectanguIum^E ad
1 fet
quadratum FE;fiue,fumptis quadruplis, vt rediangulumAB Trm*6,
ad quadratum ex AH , Circulus vero bafis A L ad circulum ex
CD , eft vt quadratum ex AH ad quadratum ex CD j ergo ex ^,duQdg-
^quo erit cylindrica fuperficies ad circulum ex CD , vt redtan- (im .
gulum per axem ad quadi atum C D, Quod erat demonftran-
dum •
Coroilofium t
Pro Corollario erit Propofitio X IllMb, i . Archim^ de Spha^
ra iy Cylindro . Conflat eni mquodfiCD. media fuerit Ipropor*
tionalts inter lAy AL^ quadratum ex CD Aquale erit re&angu
lo\ AB, ^proptereui ex demonflratiSiCyUndricam fuperfleiem
AlBL aqualem ejfe cireuk ex:CT) neeejfe efl,
- _ . ■ I r '
Tropo^
per prdi-
ced.
per pr<^t*
eed.
1 € De Sfhardi ^ /olidis fphsralik
Frodofttio V /.
C YIindrorum fuperficies inter fe funt vt eorumdem re(51:an-
gula per axem homologe fumpta .
Sint cylindri re6ti quorum redangula per axem fint AB,CD .
Dico cylindricam fuperficiem AB , ad cylindricam CD efTcjVt
redanguliim AB ad redangulum CD .
Accipiatur pro circulo quolibet, cir
culus circa diametrum A E . *
E it ergo cylindrica fbperEcies AB
ad cmcuiiim quemlibet AE , iitredEiog.
AB ad quadratum AF. Circulus vero ex ___
AF ad cylindricam fuperficiem CDeft A. F
vt Iquadratum ex AF ad redangulum
CD ; ergo ex ^quo cylindrica fuperficies AB ad cylindricam
CD , eft vt redangulum A B ad redang.CD. Quod erat ofien
dendum -
Trofojitio VIL
S I refe pyramis bafim habuerit poligonam regularemquc
erit bafis pyramidis ad reliquam ipfius fuperficiem, vt femi
catetus bafis ad catetum fuperficiei .
Efto pyramis re61:a,cuius ba-
fis poligonum regulare AFED.
vertex vero G, & centrum bafis
fiti. Sedo deinde vno latere
bifariam in H,iund:ifq; GH,IH,
erit GH catetus fuperficiei pyra
midisdH vero femicatetus bafisj
quandoquidem omnia triangu-
la in fuperficie funt sequicruria, & £equa]ia inter fe 5 quod etiam
verum eftdc in bafi.
Dico
Liher Primut • 17
Dico bafim ad fiiperiiciem effe vt I H ad HG »
Triangulum enim A I F,ad triangulum A G F ( cum fint in ea
dembaii)eftvrIH,adHG, ergo etiam ipforum ^quemulti-
plicia , nempe bafis , & fuperficies pyramidis, in eadem ratione
erunt, nempe vt I H ad HG . Quod erat oftendendum •
Vropofitio VIll
C Oni re«flibaFs ad reliquam conicam fuperficiem^ eft vt fe-
midiameter bafis ad latus coni .
Efto conus redus , cuius ba-
fis AB, vertex vero C,axis CD.
Dico circulum bafis, ad reli-
quam conicam fiiperficiem,efle
vtDA,adAC*
Si enim ita non eft; erit circu
Ius AB vel maior, vel min. qua
oportet efie , vt ad conicam fu-
perficiem fir cuernadmodum DA ad AC ♦
Sit prim iim ma ior ; & ponatur tanto maior quantum eft: ipa-
tiiiin E . inferibatur in circulo poligonum deficiens a circulo )
nnnori defedu quam fpatium E ; llabebitq; huiufmodi poiigo-
num ad conicam (uperficiem adhuc maiorem rationem, quam
DA ad AC . Sed© deinde vno poligoni latere AF bifariam in
H , iun gamur DH, CH-; & fuper poligono concipiatur pyramis
qutc verticem habeat in C; feceturque DI aqualis ipfi du
cacor ILparalclla ad BC, iun gatm^q.IC, ‘
Cum itaq. poligonum ad conicam fuperfidem maiorem ha-
beat rationem quam D A ad AC; multo maiorem rationem ha-
bebit ad fuperficiem fuse pyramidis, quam DA ad AC , vel D B
adBC. Sed poligonum ad fiipdficiem pyramidis , per proce-
dentem, eft vt DH ad HC ; habebit ergo DH ad HC , fiue D I
adIC , multo maiorem rationem quam D B ad BC, vel quam
DIadIL. EtpropterealCminorelfetquamlL. abfurdum.
G Nam
1 5
ti .
ptf f, hu
iut *
pef pr<e>
I * De Sph^ra, ©* falidis Jphjtralih,
Nam quadratum IC aquale eti duobus quadratis ID.DC;
cum quadratum IL aequale fit tantum duobus ID, DL. Pona-
tur deinde circulus bafis AB minor quam oportet efTe vt ad co-
nic am fuperficiem fit quemadmodum reda DA ad AC , fitque
tanto minor quantum eft fpatium
E . Circumfcribatur circulo AB
poligoniim aliquod excedens
circulum minori excefsu quam
fit fpatium E . Plabebitq. poligo
num ad conicam fuperficie, ad-
huc minorem rationem quam
DA ad AC; ergd poligonum ad
perirnetru fuai pyramidis multo
minorem rationem habebit quam DA ad AC. Sed poligo-
num ad perimetrum fu^ pyramidis eft vtDF ad FC ; propterea
DF adFC, multo minorerationem habebit quam DA adAC;
quod efl: impofTibile . Aequales etenim funt tam DF , DA, in-
ter fe , quam FC, AC , inter fe .
Erit itaque bafis coni redii ad reliquam fuperficiem, vt D A
adAC. Qnpderatdemonftrandum.
Corollarium *
Hinc patet quod curuafuperficies coni^pqualis efi circulo cui»
dam 9 cuius femidiameter med. prop, fit inter C A 9 AD . nem^
pednter latus, iyjemidiametrum bafis coni . N am fumpta me»
dia inter CA^^AD « erit circulus qui fit ex media, ad circulum
qui fit ex A*I ) . vt CA ad AD . Sed etiam curua conijuperfi^
cies^ad circulum ex AD > e fi vt C A ad AD . Ergo aqualis
ejl curua conifuperficiestcirculoy cuius femidiameter media pro»
portionalis fit inter CA9 AD 9
Trof optio IX.
C Viuslibet coni redi fuperficies,ad fuperficiem cuiufcunq;
cylindri redi demptis bafibus , eft vtredangulum lub Ia*
terc,& femidiametro bafis eoni^ adredangulum per axem cy-
lindri?
Eflo
Liher 'Primus' i
Efto conus ABC, cuius bafis AC, axis
vero B H ; & cylindrus cuius tedapgu-
lum pcr axem fit DE . Dico conicam fu-
perficiem ad cylindricam e{fe,vt redan-
gulum BAH,ad redangulum DE .
Nam conica fuperficies ad circulum
fug bafis efi: vt AB, ad AH , fiue vr reda
gulum BAH ad quadratum AH . circulus autem ex AH, ad cy-
lindricam fuperficiem DE, efi: vt quadratum AH, ad redangu-
Ium DE* Propterea,ex sequo, erit conica fiiperficies ABC ad
cylindricam DE, vtredanguiura BAH ad redangulum DE.
C^d eratoftendendum^
A H
tus
Propojifio X.
C Onicse fupetfici^idemptisBafibus, inter fe funt vt redan-
gula fub latet ibus conorum, dc fiib femidiaraetris bafiu
comprsehefife. V; ' '
Sint duo coni redi ABC, DEE. quo
rum axes BG, EH . Dico curuam coni
ABC fuperficieni, ad^ curuam fuperfi-
ciem coni DEF , efle vt redangulum
B AG , ad redangulum EDH . qug ni-
mirum fub lateribus coriorum , dc fe-s , »
midiametris bafium comprsehendun-
tur, ,
Conica enim fuperficies ABC, ad circulum AC,eft yt reda 0.3^
BA ad AG,fiue vt redanguluiri BAG; ad quadratum AG . Gii> ms . *
cuius vero AC ad DFicirciilumiefi: vt quadratum AG, ad DH j
denique circulus DE adcbniCajn fuperfidem DEF, efi vt qua?- ; fer 8
draturri DH,ad redangulum EDH. ergo ext sequo curua coni fu ,
perficies ABC ad curuam DEF , erit vt redangulum B AG , ad
redangulum EDH. Quod erat oftendendum .
20 Be Sph^ra^ Qf folidis fphsralik
A I
D
\h
Lemma .
S i fuerit ABCD frujlum coni reBi^ab»
fcijfum planis ad axem eredis ( hoc enim
modo femper intelligemusfrufia conica }
fecenturque latera A B , DC bifariam in g
pungis BtiyH. iungaturq‘y EH . Dico ^
reBam E H componi ex vtraque BLyAU
nempe ex femidiametris bafium oppofitarum frujli conici .
Jungantur BD y E l yh H y Et quoniam %Al > ID . aquate»
f^‘ funt ; item AEy EB ^aqualeJ: erunt parallela ETy BJ) • &ideo
in parallelogrammo aqualia erunt latera ID , EM * Oh ean*
dem caufam aqualia funt BlyM H . Ergo tota EH aqualis ertt
ipfis ID i BL Jimul fumptis . ^md era(^c,
Definitibnes .
Vocabimus impojlerum breuitatis caufa Utieam EM medii
tAritmeticamfrufti conici*
EeB angulum vero fub EH it* AB latere frujli conici # dtce -
iwtfj redangulum proprium frUUi conici . ;
V r of optio XI •
C Vrua fuperficies frufti conici, planis ; ad axem ere(5is abj-
fcitTi, ad conicam quamlij3etfuperHciem,eft vt redtangu-
lum proprium frufti, ad reiftangultuiifub larereadc femidiametro
ba& ipfius coni .
' Efto fruftum conicS
ABCD abfcilTum planis
ad axenl eredisi iitqud
conu^ quilibet EFG,eu
ius axis EH * Dico cur^
uam frufti ACfnperfici-
em, ad curua coni EFG
fuperficiem,eirejVt reda
A L DE H G
gulutn fub AB,& fub utraque A L»BI contentum, ad redangulu
FEH,
^ -s.
' i Com*
liher 'Primus . i i
Compleatur comis AMD. cuius datum erat fi-uftimi, fa(floque
angulo M AN redfco, &fe<51:a AN ^quali ipli AL. compleatur
redangulumAP. Du(5to deinde diametro MN, & fadaBO
parallela ad AN.erit BO aequalis ipfi Bl.compleatur etiam figu-
ra BQ^
lam fi^erficies curua coni AMD ad fuperficiem curuam co- 1^^*, * ••
ni BMC eft vc redangnlum L AM ad redangulum IBM ; nem- ‘
pe vt redangulum AP ad BQ; & diuidendo> erit curua frufti co
nici ABCD fiiperficies,ad fuperfkiem coni BMC, vt gnomon
A O P,ad redtangulum B Q^hoc eft vt redangulum fub A B; &
vtraque AN , BO , fiue AL , BI , ad reiftangulum IBM . Curua
vero fuperficies coni BMC ad curuam coni EFG, eil vt redlan-
gul.IBM ad rc(fl:.FEH.erg6 ex sequo curua frufti conici ABCD
uiperficies ad curuam coni EFG fuperficiem eft vt redan.cou-
tentum fub AB , & vtraque AL, BI ad redangulum FEH . .j
Corollarium*
Patet ergo quod frufti conici ABCD fuperficies fine hafihus
adfuperficiem coni EFG.eftvt re&angulum proprium frufti ad
teiiangulum FEH. ReHangulum autem proprium frufti com^
prehenditur fub re&a AB> ir fub vlraq; A L^Bh fiue potius fub
A'B$ & media Aritmetka, quam dcmonftraumus aqualem v*
irfqueALfBL
Propofttio X 1 1.
C Viufeunque ff ufti conici fuperficies ad fuperficiem cy lin^
dri redi, eft: vt redangulum proprium frufti ad redangu-»
Ium per axem cylindri .
Eftofruftum conicum ABCD,
& cylindrus cuius redangulum per
axem fit EF. Secetur AB bifaria in
agatur media Aritmetica H I
gquidiftanter ad BC. Dico coni-
cam frufti fuperficiem, ad cylin-
dricam EF,efle vt redangulum fub
HI,5c AB, ad redangulum E F *
Acci-
/
fer pruc-
ed*
per pr4*
ced,
ithufuft
2 2 De Sfhuray [olidis^ ffhdiralih.
Accipiatur conus quilibet LMN, cuius axis MO • Eritq; cur-
uafruilifuperficiesadconicam cumam LMN,vtre(5i:anguIuni
fub AB, HI,adred:angulum MLO;fed curua coni LMN ad cur
uam cylindri EF fuperficiem , eft vt rcdiangulurn MLO, ad re-
dangulum EF;ergo ex sequo curua frufti conici fuperficies , ad
curuam fuperficiem cylindri, eft vt redlangulum fub AB, & HI »
nempe vt redangulum proprium frufti, ad re(ftanguluna EF per
axem cylindri . Q^d erat oftendendum .
Corollarium .
Cuma fuperficies cuiufcunq;
frufti conici ABCD sequalisde-
monftratur circulo cuidam , cuius
quidem circuli femidiameter E
media proportionalis fit inter la-
tus AB frufti conici, & inter F H
mediS Aritmeticam eiufdem ffu-
IH,
Efto quadratum E sequalc redangulo fub BA,FH . fum^ttur-
que cylindrus quilibetlL ;&erit curua frufti conici fuperficies
ad curuam cylindricamlL, vtredangufumfub BA, FH ad re-
dangulumlL ; fiue vt qua dratum E ad rccftangulum IL ; libc eft
vt circulus ex radio E, ad curuam cylindricam IL . Aequales er- *
go funt inter fe cuma fuperficies frufti conici AC,& circul us ex
radio Efadus . quidem Archimedis Propofitio eft 1 6 , li*
bri primi de Sph. & cyl.
• ' ' ' - ' ' • ■ ^ i''.'
Tropejitio X 1 1 1. _
S I circulum tetigerit redfa quapiam linea ^qualiter vtrimq;
producta j &conueitatur circulus circa quemlibet fui ax5
( dummodo axis tangentem non fecet ) erit conici firuft i fuper-
ficies, quse a tangente linea deferibitur, sequalis ftiperficiei cy-
lindri eanderri altitudinem cum ftufto conico habentis, & circa
eandem fphseramdefcriptibilis.
' ' ' . ■ ■ ' . ' ' ■ ' ' . ' ' ' . ':■ '
Efto circulus ADBC, quem duse diametri AB,CD fecent ai
' ‘ ‘ angur-
LiberVnmus. 43
angulos redos . Duas infuper tangentes habeat alteram DG
in extremitate diametriCD, alteram vero vbicunque inI,iSc
^qualiter producatur hinc inde IL
IM j dumodo axem A B produ-
dum non fecent. Agantur deinde
per L, & per M parallelas ad CD,
redas LE , M F . tum figura con-
uertatur circa axem AB. Tan-
gens GH defcribet cylindricam
quandam fuperficiem cuius reda
gulum per axem erit EFHG:Tan
gens vero L M defignabit fruftu
conic^ fuperficiei j deniq; circu-
lus ipfe fphseram circumfcribet.
Dico cylindricam fuperficiem a linea GH defcriptam , & coni-
cam fuperficiem alinea LM fadam trquales elfe inter fe .
Ducatur IP media Aritmetica conici frufti ; & agatur IR per
centrum Qj^eritq; IR perpendicularis adLM: Ducatur etiam
MT perpendicularis ad EG .
C^oniamduoanguliTMTjT LM vniredo funt trquales,
nemp^e ipfi L IQ^demptis alternis TLMJJS, erunt asquales re-
liqui TML, SIQddeoquetriangula.TML,SIQ;Cum redan-
gulafint, fimilia erunt j Ergo vt T M ad M L ita S I ad IQ^
hoc ^fi: ( fumptis duplis ) PI adIR; & ideo redangulum fub
T M , I R ( quod quidem eft redangulum EFHG. ) equale erit
redangulo ftib ML , IP . quod proprium vocamus ff ufti conici •
Proptereaperprjccedentem asqualis eritfuperficies conici fru-
Ri , qu^ a linea ML defcribitur , fuperficiei cylindri EFHG, ea-
dem altitudinem cum ipfo frufto habentis, dc circa eande fphe-
ram ADBC.defcriptibilis. Quod&c.
VropfitioXIV.
S I circulum tetigerit reda linea tequalitd vtrinq; produda,
& conuertatur circulus circa axem, qui cum tangente con-
ueniat
i 4- *DeSphxhra> ^ [olidis fpharalth.
ueniat in extremitate ipdus tangentis , erit iliperficies coni, quje
atangente defcribitur , sequalis fuperficiei cylindri, eandem
cum cono altitudinem habentis , & circa eandem sph^^eram d e-.,
fcriptibilis .
Pofitis ijfdem vt in praecedentis
propofirionisconflrudione; fi li-
nea ML incidat in axem B L pro-
dudu, finrq; ecquales vtrinque IL,
IM, tunc deferibet ipfa ML coni-
cam fuperficiem , Dico conicam
huiufmodi fuperficiem aequalem-,
effe fuperficiei cylindri EFHX^,
eandem altitudine habentis cum
ipfocono, & circa eandem fph^e-
ram deicripribilis.
Fiat enim angulus LMT redus, 8 c cum LM dupla ponatur ip-
fius LI, erit MT dupla ipfius IR , hoc efi aequalis diametro Iph^g
ra?,fiueipfiFH.cum autem , per quarta fextffitvtML adLN,
ita TM ad MN.erit redtangulum LMN aequale redtaiigulo fub
TM, LN, boc efi: recfiangulo fub FH , L N, quod quidem per
axem efi cylindri EFH<5 . Aequalis eago efi fuperficies coni
e CLM, fuperficiei cylindri EFHG. Quod&c.
Tropofitio XV.
S I circa circulum defcribaturpoHgonumhabenslatera nu-
mero paria, fiue a quaternario menfurentur, fiue tantum
a binario , & conuertatur figura circa diagonalem , erit vniuer-
fa fuperficies fadi fphseralis folidi , ecqualis fuperficiei cylindri
circa eandem /phteram deferiptibilis .
Efto poligonum ABCDEF^parilaterum, fiue aquatepa-
rionumerus laterum menfuretur , vt in prima figurajfiuetantum
a binario , vt in fecimda i ^conuertatur figura circa axem AD 3
nem-
Liher "Primus I
A
. -sr^
f
\
nempe arca
diagonalem
poligoni . Di
co vniuersa
fuperiiciern
fadi folidi
fphseralis 9-
qualem eife
fuperficiei ci
lyndri GH
IL eandem
altitudinem
habentis cum ipfo folido , & circa eandem fph^eram defciipti-
bilis.
Superficies enim coni BAF, aecpalis eft fuperficiei cylindri
MZ ; Superficies autem frufti conici, qux inter plana BF , CE
intercipitur , seqiialis eft fuperficiei cylindri inter eadem plana
intercepti : & fic de fingulis partibus fuperficierum , quae foli- ius,
dum Iphseraic circomfepiunt ; Ergo omnes fimul fuperficies am
bientes fphcTrale folidum aquales emnt fuperficiei cylindri
GHIZ. Qjpd erat ofiiendendum .
9
A 7%
Lemmd .
Si circulum duts didmetri AB, CD, dd an-
gulos recios secuerint , etmdemq; circulum
dua dqudles recia lined AF, EG tetigerint in
extremitatibus axis AB. T umfgura circa
axem AB conuertatur , describent AF , BG
duos circulos aquales, cum tpsa aquales Jint,
Oportet segmentum cylindri etred eandem
spharam descriptibilis reperire, cuius super-
ficies aqualis fit duobus fimul circulis ex AF,
BG descriptis .
Fiat angulus H GI reStus, eritq; BI altitudo quafiti cylindri"
N dm propter angulum refium jqGI^ erit reSl angulum HBI aqua
D lequa-
k H
>
V
K
Mi
2 6 V)e SphAra 3 foUdis fph^raM»
le qpiAdr dto BG i re Angulum ABI hoc eH relfdngulum LM
j thuius: duplum erit quddr Ati BG. Propt er eu super fides cylindri L M du~
pia erit circuli ex BG descripti ^ dl ideo aqu Aid Ambobus circu^
Us ex BGj AB Jimul sumptis . ,^u.od (frc,
Propofitio XV L
S j circa circulum defcribatur poligoniim habens latera nu-
mero paria , liue a quaternario menfurentur jliue tantum a
binario , & conuertatur figura circa catetum, erit vniuerfa luper
ficies fadi fphtEralis folidi , aequalis fuperficiei cylindri circa
eandem fpha^ram defcriptibilis , altitudinem vero habentis
qualem iinetc compofitte ex diametro fphser^ , & ex tertia pro-
portionalium , fi fiat vt fphter^ femidiameter ad femilatus poli-
goni , ita femilatus ad aliam .
A H E A
B
C.
/1^
H
D
V.
V
A
E fio circulus
y^ECD , quem
fecentducC dia
diametriv^ C,
B D ad angui.
redos,& circa
ipfum fit poli- p
gona figura ha
bens latera nu Jsl
mero paria, fi-
ue a quaterna-
rio menfurentur , vtin prima figura ; fiue tantum a binario, vt in
fecunda: Tum conuertatur figura circa catetum AC ^ hoc efi:
circa lineam conned:entem bifedtiones laterum oppofitorum ;
Ex reuolutione poligoni foiidum fphserale defcribetur conten-
tum iub circularibus, conicifque fuperficiebus, & vria cylindri-
ca, vt in prima figura, fiue circularibus, & conicis tantum, vtin
fecunda ^ Fiat d.einde vt IC ad CL , ita CL ad Ciif , quod facile
erlt fi fiat angulus XLM redus i & per M . agatur planum NQ .
ere-
Liber Trimus ; a 7
eredum ad axem . Dico vniuerfam fuperficiem folidi Ipharalis
sequalem efTe fuperfidei cylindri ENOH .
Hoc autem patet ex prsemiflis; Nam rota Ipheralis folidi fu-
perfieies , demptis circulis oppofiris , asqualis eft fuperficiei cy- ^
lindriciginterplanaEH ,FGcomprcehenfcev Duo verocircu-
li oppoEti quorum centra A, &C aequales funt( per praecedens 15. hu-
lemma ) fuperEcieicylindricte inter duo plana FG*NO. con-
tentg . Proprerea vniuerfa fimul fphieralis folidi fuperfkies x-
qualis erit fuperficiei cylindri ENOH . circa eandem fpfijeram
deferipti, & altitudinem habentis AM, qute componitur ex dia-
metro fphserse jiC, 6 c ex reda C M , qute quidem tertia propor-
tionalis cfi: ad femidiametrum Ic, & femilatus, CL . Q^d &c.
A
Lemma .
Si circulum ABCD dua diametri AC , BD
secentad angulos reclosy reBa autem linea
CE e udem contingat irt extremitate axis AC
(dr conuertatur figura circa AC; ipsa CE circu
Ium describet . Oportet segmentum cylindri
circa eandem spharam descriptireperire^ cu-
ius super f cies aqualis Jit circulo ex CE de-
scripto .
Fiat angulus AEH rectus , ducto que plano
per H ad axem erecto . Dico cylindricam su-
per Jct em MILN V aquari circulo ex CE , E.JI enim oh angulum
r e cturn AEH ^ relt angulum AC H ^ hoc ejlrect angulum ML^ a-
quale quadrato CE . Propteredfuperf cies cylindri MILN aqua-
lis erit circulo ex CE . ^uod c^c.
C^.
\
H
per f . htt
iit/.
Tropofim X VIL
S I circa circulum deferibatur poligonum habens latera nu-
mero imparia, & conuertatur figura circa catetum poligo-
ni ; erit vniuerfa fuperficies fadr fphseralis folidi sequalis fuper-
ficiei cylindri circa eandem fph^ram deferiptibilis, altitudine
D 2 vero
28 De SphAra, ^ /olidis /phAralik
vero habentis aqualem line® compofit* ex cateto poligoni, &
ex tertia propoitionaliuin , fi £at vt diameter circuli ad femila-
tus poligoni, ita femilatus ad aliam .
Eflo circulus circa quem
fitpoligonum Ei^GHL habens late
ra numero imparia ; &conuertatQr
figura circa catetum EC, nempe cir
ca linea, qii^e ab vno angulo £ per-
ducitur ad bifedion em lateris oppo
liti ; orietiirq; folidum fphserale coil
tentum fub conicis luperficiebus ,
vnicoque circulo -
jFado deinde angulo redo
dudoq; per X plano MN ad axem
credo . Dico vniuerfam folidi fuperficiem aequalem efTe fu-
perficiei cylindri OMNP .
^ Nam fuperficies folidi fph^ralis, dempto circulo ex CEI. de-
^ fcripto, aquatur fuperficieicylindriiuter plana OP, QR con-
tenti : circulus autem ex C H fadus equalis e ft (praecedens lem-
ma ) fuperficiei cylindri inter plana Q^, MN contenti: Propte-
reavniuerfa folidi fuperficies aqualis erit fuperficiei cylindri
OMNP.qui quidem circa eandem fph^ram cum ipfo folido de-
feribitur , altitudinem vero habet lineam E X , qu^ componitur
ex cateto XC, & ex linea CX, qu^e tertia proportionalis eft, fi
fiat vt diameter fph serte , ad CH femilatus poligoni, ita €H
ad aliam. Quod erat &c.
Vropofitio XVII L
\ C ^
H Xmisphterij fuperficies aqualis efl fuperficiei curug cylin-
dri eandem ipfi bafim, & eandem altitudinem habentis.
Xflo hemisphterium ^^C,6c circa ipfiim cylindrus eiufdem
altitudinis , A DEC ♦
Dico
Lihr Primus . z 9
Dico fuperficiem hemifphg-
rij aqualem effe fuperficiei cy- ^
YiXidn ADEC , P
Si enim non eft isqualis, vel p
maior erit ,vel minor. Pona-
tur primum fph^rica fuperfi-
cies maior ; fiatque vt cylinr .S'
dri fuperficies ad fuperficiem
hemifpherij , qua^ maior poni- ^ ^
tur, ita reda AD ad AG: inteiliga-
turq; cylindrus produdusvfquead GF. Secetui*deinde arcus
AB bifariam , iterumq; pordones eius bifiiriam , & hoc femper,
donec poligoni circa femicirciilum A B C dcfcripti femilatus
VL minus fit quam reda DG . (quod fieri pofle confiat ex pri-
ma Decimi ; femilatera enim poligonorum circulo circumlcri-
ptorum ex continua arcuum bifedione femper minuuntur pluf-
quam pro medietate, vt ab alqs ofienfumefi.) Fadum ergo fit ;
&efio poligonum HILMN, conuersaque figura circa axem
LO, fiatexpoligono, femifolidumfphisrale fub conicis fuper-
ficiebus comprxhcnfuoi . Cum itaque red.i DG maior fit qua
femilatus LV , multo maior eadem erit quam LB , & propterea
planum PQ^ produdum per L intra piinda D & G cadet ,
lam quia fuperficies cylindri AE ad fuperficiem hemifphse-
rij eft vt A D ad A G , hoc efi vt cylindrica fuperficies A E ad ^
cylindricam A Fjerit cylindrica fuperficies A F aequalis fphteri-
ca;.. Propterea, fi fph^^rica fuperficies sequaiis fit cylindrica AF.
maior erit quam cylindrica A Q^hoc efi quam conicre omnes
H I £ M N , multoq; maior quam omnes A S I L M R C , quod
eft abfurdum . Eft enim contra principium ab Archimede prsEr-
mifsum.
A[fumpfimus conicam quA deferibitur a lined HS maiorem ef-
fe quam illa fuperficies , qu£ dficribitur d linea A S. quod patet
ex 11. huius . ReEt angulum enim proprium conica fuperficiei
multo maius eH quam reB angulum per axem cylindricp^ quando
quidem fub maioribus lateribus continetur .
Pona-
DOJHf
so Sph^ra, folidis fph^ralilf.
Ponatur iam fphmca ABC
minor qua cy lindrica ADEC.
Fiat vt fupcrficies cylindrica..
ADEC adfpiurrkam, quse
ponitui' minor; ita reda AF ad
FL.Fiatque cx FL femidiame-
tro aliud hemifphcerium LNI>
priori concentricum, & circa
ipfum intelligatur cylindrus
L H M I : Infcribatur etiam
inu a femicirculum ABC . figura laterum aqualium , ita vt late-
ra ipiius non tangant femiarculum L Nl'. (quod Feri poffe
conflat ex Euclide . ) Defciibaturq; alius femicirculiis femidia-
metro FO, qui contingat fingula latera fadteEgurp, &coniicr-
tatur vnmerfa figura circa FB . ita vt fiat femifolidum fph^erale
A VBTC conicis fiiperficiebus circumfeptum;, ex femicirculo
autem FO fiat aliud hemifpluerium, circa quod concipiatur cy-
lindrus RQSP. r /
lamficjfuperficies cylindri ADEC ad fuperficiem hemif-
ph^ri j efi , per confirudionem, vt AF ad FL, hoc efl vt AC ad
€J)uius* redangulum LM,hoc efl vt
cylindrica AE ad cylindricam LM , Quare fph^rica fuperficies
aqualis eiit cylindricas L M, & propterea minor quam cylindri—
9 b 1 5.^« ca R S , hoc efl quam omnes conic^' AVBT C , abfurdum.fphg-
• rica enim fuperficies ABC maior efl quam omnes conicg AV
BTC.»
Hemifphgri; ergo fuperficies f qualis erit fuperficiei cylin-
dri eandem ipfi bafim , eandemq; altitudinem habentis , Cum
demonflratum fit neque maiorem efie , neque minorem • Quod
crat&c.
Tropopio X J X.
I .
C Viufeunque minoris portionis Sphterje fuperficies fqnalis
eft curu^fuperficie-i cylindri circa integram fph^ram de-
feripti.
Liber Primus • j i
fcripti , & eandem altitudinem cum ipfa portione liabentis .
Efto minor fph^re por _
tio A B C, & portio cy lin- ^
dri FDEGicirca integram S
fph^ram deferipd 5 eande ^
^ tamen altitudinem HB cu
ipFi portione fphcrica ha-r p
bentis . Dico fph^ricam
fupcrjficiem ABC aequa-
lem eflcfuperficiei cylin-
dri FDEG.
Si enim non eft equalis , vel maior erit vcI minor .
-Ponatiu' primum maior j & ipfi fphericc fuperficiei ABC.
conftruatur aqualis (vr in prccedenti) cylindrica FLMG:fed '0
deinde arcu AB bifariam , & portiones eius iterum bifanam,&
fic femper , circumCribatur arcui A B C figura multorum late-
rum I N O P Qjterminata ad diametros , qiie ducuntur per pun
. dtaA&C. Sitqueperprgdidambifedioncm arcuum, femi-
latiis R O minus quam reda D L , vt propterea planum S T, du-
duniper O, cadat intra punda D,&L. Quemadmodum in
prgcedenti&c. Conuertatur deinde figura vniiicrfa circa OH,
& cx conuerfione figiirf I N O P Qnaicetur portio folidi fphg-
ralis fub conicis fuperflciebus conttiita .
, lam fic . Qma fphqrlca fiiperficies ABC. aqualis efl per c5
firudionem cylindricae F L M G, maior eadem erit quam cy-
lindrica FST G, & multo maior quam omnes conicae INOPQ,
muitoqi etiam maior quam omnes conicae AVNOPXC.Q^od
eft abfurdum, & contra principia Archimedis .
Ajsumffimuscylmdricdm fup er fidem JF ST G mdior^m ejfe
omnibus conids' INOP M^Hoc enim ^dtet . Ndm ex 1 3.14- &
J S . huius colligi foteft , coni cds INOP ^jequdes ejfe f uper fL
dei cylindricd ccntmtd inter planum ST , dl pUnum quod du-
ceretur per punStd I
-Affumff fimus etiam ^ duU a tangente A V , conicam fup er fi-
ci em j
i 2 DeSphxhra, ©* foUSs [phirali^.
ciem yqu^ fit a linea IV y maiorem efe quam illa qua fit linea AV.
Muod quidem demonfiratur apud Archimedem ad Propofitionem
S7,de Sph^ra (fi cylindro . Sed fi ex nofiris deducipoteft .Nam
Y €Ct angulum proprmmfuperficieiyqua fit Hinea IV y maius e fi
quam r e cl angulum proprium illius qua fit a linea AV . Conti^--
rietur enim fub lineis maioribus .
Ponatur
dcindo
fphasrica
fiiperfici
cs portio
nis ABC
miD. qua
cylindri
ca FDE
G. y O T P (Ti
Fiat vt
cylindrica F D E G ad fphsericam fuperHciem ABQqu^ minor
ponitur, ita FH ad HM , & centro T femidiametro autem HM
fiat hemifph^rium OQP,, circa quod intelligatur cylindrus OL
NP Intra arcum autem ABC figura inferibatur multorum late-
rum A V B X C per continuam bifedionem arcuum ita vt lare
ra ipfius non tangant femicirculum OQP, & conuertatur vniiier
fa figura circa axem BT . Intelligatur autem radio TZ(qui3e t e-
da perpendicularis fit ad vnum latus figiu^te infeript^ } deferibi
fphirram , qute tangat fingula figiirte A V B X C bitera , & ck-
cahuiufmodi fphseram deferiptus concipiatur fuus cylindrus
$. huius ; lam fic . cylindrica fuperficies FDEG per confiriidionem e(h
adfphtericam ABCjVtFFIadHM, hocefl: vtFGadMI. hoc
ex 6 hu- eft vt redanguluni FE ad redangulum MN , hoc efi: vt eadem
* cylindrica FE, ad cylindricam MN . Entideo Iph^rica fuper-
explica- ficics ABC cCqualiscylindrlcaiMN nempe minor cylindrica»#
iursnfra . hoc cfi miiior omiiib. conicls AYBXCjquod efl abfurdu.
Afium’-
Lihef Trimus •• '33
Affumfjimus cyUndricamfuferfciem ® « xqudlem ejjfe omnib,
ecmeis AVBXC. -patet ex demonBrdHs , Sunt enim tam
cylindrus ^t^quam omne s ilU conica eiuf dem altitudinis HB i ^
circa eandem fphardm y i defcribuntur »
Conftat ergo fLiperfidem ABC aqualem elTe cylindricae DP
GE.cum demonftratum fit neque maiorem e fie, ne que mino-
rem . Qipd &c.
Corollarium 1 .
Ex prima duarum pramijpirum Propojitionum
patet fup er fidem integram fphar ^ , aqualem effe
fuper fidei cylindri fihi drcumfcripti , eiufdem
cum ipfa fphara alti tudinis .
Cum enim hamifpharium ABC fuperfiidem ha^
beat aqualem fup er fidei cylindri AEHC^ cfp item
hemtfpharium alterum ADC ^fuper fidem habeat
aqualem fup er ficte i cylindri APGC, erit coniunClim totafpharce
fup er fides aqualis fuperfidd cylindri FEHG i exceptis fempef
bafiibus .
Corollarium II.
ManifeUum etiam efil oxvltimapropofitionCy
fupcrfidem maioris fphara portionis , aqualem
ejfefpip erfidei cylindri eandem cum por tione al-
titudinem habentis ^ ^ circa eandem fphardm
defcriptibilis .
Cum enim integra fph^r^ fup er fides aqualis
ft fup erfidei cylindri IDGL ^ demonflratum
pt fup er fi dem f e gm enti minoris ABC aqualem effe fup er fidei cy
lindri E EGE , erit reliqua fuperfcies fphara AHC , aqualis re^
liqua fup erfidei EILF . ^upd oportebat cfic»
CeroUfZ
Tropofmo XX.
S Vperficiesfph^requadrupU eft maximi eitculi in eadem
fphara defcriptibilis .
E Sit
3 4 S ^ foUdis fph^rali^.
^ Sit Iphtera ABCD cuius diameter AQ & cir-
ca ipram.inteiligatur cylindrus eiufdem altitudi- E
nisFEHG.
pico fuperficiem fph^rse quadruplam elfe ma-
ximi circuli in ea delcriptibilis ,
Superdcies enim cylindri FEHG fine bafi- F
biis , eft ad circulum fu^ baFs circa FG, fiue cir-
ca A C defcriptumsVt EF ad quar. partem ipfius FG , hoc eft vt
FG ad quar. partem ipfius FG ; hoc efi: quadrupla . Proptcrea
corli^^' fuperficies fphaeraeiquae cylkdricae eft aequalis , qua-
$7Jced', circuli circa AC defiriipti , qui in fphaera maximus
efi: . Q^od&c,
Aliter.
Sph^ricdfuperjicies ABCD ^qudlis eB cylmdric^FEHG;cy^
lindrica vero F E HG ddcirculHm.i cuius femidiameter fit AC^efi
vtreB angulum per axemEG ^ ad quadratum ex femidiametro
AC j nempe ad quadratum EG ; ^ ideo aqualis propter e a etiam
fph^ricaf ^tperfcies pqualis erit circula cuius fiemidiameter fit
AC^ergo quadrupla erit circuli cuius diameter fit AQ.^md
«f
Propofitio XXL
C Viufeiinq; portionis iphaerg fuperficies aequalis efi circu-
lo, cuius femidiameter aequalis fit lineae quae ex polo
portionis perducitur ad circulum, qui in eiufdem portionis bafi
|efi.
Efio fphaerae portio fiue minor
fiue maior ABC . cuius ex polo
duifia fit retfia A B . Dico fuper-
ficiem portionis aequalem effe
circulo qui fit ex AB tamquam fe
midiametro.
Cum enim quadratum AB ae-
quale fit redangulo DBE ob circulum , aequale erit & re(fian-
gulo GFIH , quod idem eH ac re(fiang;ulum DBE . Fropterea
F B :
]
F 1
1 1
e'^
Li
n
a
k.
2
G
\L
m
circu-
liber Primas i Jig
circulus ex AB aequalis erit fuperficiei cylindri, cui per axem , »
fit redang. GFIH , 6c ideo aequalis etiam fuperficiei fphaeri-
cae portionis f ABC. Q^d&c.
T ridhdc T hepremMd , qudfeqmntut , ex Archimede defum^
ftdfunt i quod quidemfecimus ne leBor Archimedem adire con-
geretur , fed vniuerfam hanc doUrinam^ in hoc libello haberet o
Profofmo XX II.
S Intduo coni redi ABC, DEF. Sitqjcuruse coni ABC fu-
perficiei equalis circulus DF, nempe bafis alterius coni D
E Fi redi^ vero IH , qu«^ ex centro I du-
citur perpendiculariter ad latus A B , ae-
qualis fit altitudo EL:Dico conos ABC,
DEF , efie aquales . jq-
Nam altitudo B I ad altitudinem E L
eft vt BI ad IH ( ob squalitatem ) fiue vt I CD 1| P
BA , ad a I , nempe vt curua fuperficies
ABC ad bafim AC i fiue vr bafis DF ad bafim AC . reciproce .
Quare aequales erunt coni ABC , DEF . Qipod erat &c.
Corollarium .
Hinc f at et quod fi conus aliquis , ^uta DOF . bafim quidem
habeatHF aqualem curuafiuper fidei ABC , altitudinem vero O
L non ^ qualem -p er fendiculari IH ,• Ita fore conum ABC ad conu
DOF .^vt cftiH ad OL . Nam conus DEF ad conum DO Fi efivt
EL . ad LO . Ergo (fumptis antecedentium aqualibus J conus A
BC ad conum EOF , erit vt I H MOL ,
per
xti .
S* huim
Tropojiiio XXII L
S I fuerit rombusfolidus ABCD, ex duobus conis redis
compofitus i Sitq; conus EFG.habens bafim EG aqualem
fuperficiei curu^ alterius conorum rombi , puta, B AE%ltitudi-
nem vero FH sequalem red^ CL, qu^ quidem ex vertice reli-
qui coni BCD ducitur perpendiculariter in latus A B produdu-
E ^ alte-
3 ^ De SfhAra, ^ f olidis fphsiralib.
alterius coni B AD . Dicorombu
folidum ABCD aqualem elTe co-
no EFG.
Ducatur IN perpendicularis •-
ad B . lam , conus BCD, ad co- g
num B AD, eft vt C1 ad IA 3 & c6-
ponendo , rombus ABCD ad co-
num BAD eft vt C A ad A 1 3 ftue
vt CL , ad IN . Gonus vero BAD
per Cor. ad conum EFG eft vtIN ad FH: ergo ex ^quo rombus ABCD
prsfud. conum EFG eft vt CL ad FH . Ergo aqualis . Q^d erat,&c.
Propofmo XXIV.
I fuerit conus ftue rombus
Holidus ABCD fcdiis plano
EF a 4 |)aftm parallelo . Intelli-
gaturque ex integro folido ABC
D ablatus rombus folidus EBF
D . Dico reliquum folidum ex
cauatu AEDFC quod ftipercft ,
equale efte cono cuidam M , cu-
ius bafis M fttirqualis fruftocur-
uiE fuperftciei conicae AEFC in-
ter plana E/*, AC, intere eptce, '
altitudo vero M ftr tequalis perpendiculari DI , qu«e a vertico
ablati rombi D ducitur in latus B A .
Intelligantur tres coni sequealti L, M, N . quorum vnicuique
altitudo fit aqualis red? DJ 3 bafis vero coni L fit aqualis ciirug
fuperficieiconiEBi^ . at bafis M tequalis fit fegmento conicx
fuperficiei inter plana 'EF , AC intercepto : coni tandem N ba-
fis aequalis fit vtiifque fimul prtedidis bafibus3 finc ( quod idem
eft) integre fuperficiei curu9 coni ABC.
. , Manifeil; um eft quod integrum folidum ABCD aequale erit
cono N ( per alterutram prascedentium duarum Propof. ) fed
u etiam
LihnVnmus- 37
etiam duo coni X &M iimul fumpti cequalcs fiint eidem cono
H. ergo integrum folidum ABGD aequale erit duobus conis L
& M fimul fumptis . Demptis itaque , rombo EBi^D , dc cono
L , qui per prcecedentem funt aequales , reliquum folidum exca-
uatum AED/’C ^uale erit reliquo cono M . Qrod erat &c.
Tropofmo XXV
S I ex cylindro auferatur conus eandem ipfi bafim, dccan-
dem altitudinem habens , erit reliquum excauarum foli-
dum, quod ex cylindro fupereft, aequale cono cuidam, cuius
bafis j^qualis fitpuperficiei curuae cylindri , altitudo vero aequa-
lis femidiametro bafis iplius cylindri .
Edo cylindrus , cuius redtangulum
per axem fit ABCD . & ex ipfo auferatur ^ ^
conus BEQvtdidtumeft. Sumatur au- x /\ _
tem alius conus FlL , cuius bafis Fh x- BON ^ ^
qualis fit fuperficiei curu^ cylindri, alti-
tudo i^qiialis rect? NB.hoc eft femidiametro bafis cylindri . Di
co reliquum ex cylindp folidum , dempto cono BEC, mualc
cfle cono i^IL .
SecetLir BN bifariam in O . Conus ergo /IL ad conum BE
G, rationem habet compofitam ex ratione a iritudinum H I ad
BA , hoc ed N B ad BA ,& ex ratione bafium , hoc efl bafis
qu;s circa i^L ad bafimqute circa BQfiue quod idem edjfuper- 4. bmm
heiei cylindrice ad bafiiTi propriam qux circa BC,hoc ed,lineg
AB ad BO . Erit ergo conus i^IL ad conum BEC , vt NB ad B
O, nempe duplus: folidum etiam cylindricum excauatum,dem-
pto cono BEC, duplum efl; eiufdem coni BEC . Propterea fo-
lidum cylindricum excauatiun iequale erit cono PlL, cuius ba-
Es^quatur fuperficiei cylindri, altitudo vero aqualis edfemi-
diametro bafis cylindri . Quod &c.
8 .huius,
s^,fexn .
3 S • Sph/ira > [olidis [phAtaliL
Fropofitio XXVI.
S I ex cono conus auferatur eandem habens bafim altitudi-
nem vero minorem, erit excauatum folidum conicu,quod
relinquitur, sequale cono cuidam , cuius quidem ba fis ecqualis
fit curuee fuperneiei totius prioris coni, altitudo vero aqualis per
pendiculari,quee ex vertice ablati coni demittitur in latus maio-
risconu
A L
Efto conus retflus ABC ex quo aufe
ratur conus ADc, vti didum efi: . Po-
natur autem conus E/* G, habens bafim
EG,equalemcuru9 fuperficiei coni A
B C ; altitudinem vero H-F aqualem re-
dg DI , que perpendicularitd a vertice
ablati coni cadit in latus AB . Dico folidum conicum excaua-
tum ADCB, dempto cono ADc , aquale effe cono Ef G .
Nam cum triangula BLA^BID, redangula fint, habeantque
angulum communem A B L, fimilia erunt. Sed conus EFG ad
conum ADC rationem habeteompofitam ex ratione bafiiim,.
nempe circuli circa E G, fi ue fuperficiei curu^ coni ABC , ad
circulum circa AC , hoc efi: red^ B A ad AL ; fiue BD ad DI , &
ex ratione altitudinum , nempe HF ad DL, fiue DI ad DL . Co-
nus ergo EFG, ad conum ADC erit vt linea BD ad LD. Sed
conus ABC ad conum AD Cefi:vtBLadLD,&diuidendo,
etiam folidum excauatum ADCB ad conum ADC efi: vt linea
BDad DL. Propterea confiat folidum excauatum ADCB
fquale elfe cono EFG .. Quod &c.
Lemmd
Si ah eadem mdgmtudine A B dua magnitudines inaquales
auferantur AC , maior:, & AD minor fuentq; DC, nempe differt
tia inter ablatas, aqualis differenti^ fiue exceffui , quo maius re^
fiduum BD fuperatquandam magnitudinem B . Dico ipfam E
mino-
Liher Vrimus , . 39
minori refiduo CB aqualem ef ^ ? . ^
Patet hoc . Cum enim maius rejiduum DB fuperet ^
magnitudinem E exceJfuEC ; fi excejfus abijciatur ^
erit reliqua CB aqualis magnitudini E.Propterea ma-- ^ ’
gnitudo E f qualis ejlmihorire/iduo , £^od^c. j;) E
Frofiofnio-XXVIL
S I ex conico irufto conus auferatur, qui pro ba-
£ habeat maiorem ff ufti’ bafim, altitudinem ve- A
ro eandem cum fruft o j Biit reliquum excauarum fo-
iidum sequale cono cuidam, qui bafim habeat arqua-
lem fuperficiei curu^ friifti , altitudinem vero equalem perpen-
diculari qu^ ducitur ex vertice ablati coni in latus alterum coni-
ci frufti .
Edo conicum fruflum ABcD,
cuius maior bafis fit circuluscir-
ca JC. Erexipfo auferatur co-
nus BEC) cuius bafis fit idem cir-
culus circa BC ; altitudo vero -FE
eadem cum ffufto . Dico reliquii
folidum excauatu dempto cono
BEC , equale effe cono cuidam ,
cuius bafis aequalis- fit curuac fu-
perficiei conici frufti ABCD . alti-
tudo verofitlinea EH. quae nimirum ex E vertice ablatico-
ni cadit perpendiculariter in Ai? latus conici frufli .
inferibamr alius conus ApD habens bafim circa AD, & ver
ticeminF’, Ducaturque A I parallela ad £ F , entque totalC
aequalis vtrique fimul femidiametro bafium, r empeipfi^A,
ipfiqj^F^. Fiat deinde circa FB femicirciilus FOF,in quo
applicetur FOaequalisipfiFt,fiue ipfi F^^eritqj circulus ex
femidiametro FO differentia inter duos circulos, quorum femi«
‘ diametri finr ,, FF, FO, fiue FF, &FAamemp€ differentia in-
40 JDe Sphdra, foUdis Jphdralih.
ter bafes oppofitas conici Jfrufti, hoc cft inter bafes conorum
>/^^&>&propterca conus cuius bafis fi circulus ex FO
femidiamciro , altitudo vero FE , differentia erit, fiue exceffus,
quo maior conus BEC fuperat minorem AFD ,
Ponatur reda quaedam L, cuius quadratum aequale fitre-
per Cor. erifqiie circulus, qui fit ex L femidiame^
prop.xy, tro,aeqiialis conicae fuperficiei frufti ABCD .Demittatur 'deni-
bmus . que ex F reda FM, perpendicularis ad , & ex £ reda E N
parall. ipfi HM , eritque fada figura -EHMN .. parallelogram--
mumredangulum. •
lam cum propter parallelas HM , J?N,fint aequales anguli
D, N^D , demptis redis I^D , FEjy , erunt reliqui B^I ,
N£-F aequales ; & ideo triangula N EF , cum redtos ha-
beant angulos ad I& Naequiangula erunt .
s. fecu» c um autem redangulum BIC fimul cum quadrato Fl aequa
^ ' le fit quadrato -F B, vel quadratis O , O B, d emptis aequali-
bus BO, Fl , . erit reliquum redangulum BIC quadratoF’ O .
aequale.,
C oncipiatur iam conus A FF> detrahi ex conico frufto A b
^,bu- c Z), eritq;reliquum excauatumfolidumdcmptopraedido co-
* no, aequale cono cuidam cuius bafis femidiametcr fit L, altitu-
do vero /'M,
Iam : quoniam ob fimilitudinem trianguIoru,efi; N-F ad FE,
, vt BI ad B A, hoc eft ( fumpta communi altitudine ) vt redan-
gulum BIC ad redangulum B A in IC , hoc efi:,funiptis aequa-
libus,vt quadratum FO ad quadratum ex L reciproce, aequales
erunt coni reciproci quorum alter altitudinem habeat FE,& fe-
•midiametrum bafis FO j alter vero altitudinem habear F N , &
femidiamerrum bafis L . Sed conus ille qui altitudinem habeat
FE, & radium hafis F Oi, efl exceffiis inter ablatas magnitudi-
nes , nempe inter conos BEC , AFD ; Conus vero ille qui alti-
tudinem habet FFT, dc radium bafis L , efl exceffus quo maius
»4. hn- refiduum totius magnitudinis (nempe conus cuius altitudo FM,
* & radius bafis L ) fuperat quandam aliam magnitudinem, nem-
pe conum, cuius altitudo , fiueEH, radius aurem bafis Li
>Liher 'Primus i «f i
erit itaque haec magnitudo, per Lemma prjemiflTum, aequalk
minori refiduo ; ergo conus prsedidus , cuius altitudo EH^^c
bafis circulus cx L sequalis fuperficiei conici frulli , srqualis erit
minori refiduo, hoc eft reliquo conici frufti ABC D. dempto
cono B E C . Qiwd erat &c.
Alifer .
Sed e anemur idem oBendere minus UboriofddemonBrdtionei
fi pojjibile erit ex dificultate mdterU,^ verius ex tenuitate
genjj.
Sit conicum frufium A BC D
cuius maior bafis B C , ex iffh
auferatur conus BEC ^ altitudi-
nem habens eandem cum frufio ,
i^probafi^ maiorem ipfiusfrufii
bafim . Compleatur conus BGC ,
cuius datum eratfrufium , duBa- ® P
que EH ad angulos reBos ipfi BG^
ponatur IL media proportionalis inter GB, BF , eritq; circulus ex
iLfemidiametro deferiptus , aqualis fuperficiei coni BGC .fiat per Crr;
circa ILfemicirculus IMLyin quo aptetur I M media proportio-^
nalis inter G^A ,AE ^ eritq', circulus exfemidiametro IM faBus
aqualis fuperficiei coni AGD ; Reliquus circulus exfemidiame^ %.buiLl
troML faBus aqualis erit fuperficiei conicafruftiABCB. (fi
enim ab aqualibus aqualia demas reliqua funt aqualia ,J
Bic 0 reliquumfolidumfrufti conici A BCD, ablato cono BEC^
aquale effe cono cuidam.cuius altitudo fit EH ; bafis vero aquL
lisfuperficieiconicaipfiusfiiruBiihoe e fi circulus ex f€mtdiame-‘
tro ML defer iptus.
Cum .n, duo circuli ex radqs IM.LM faBixquales finteif-
culo ex IL de fer ipto, fi altitudo vnic uiqut eadem ajfumatur EH ,
erunt duo conifimul ( quorum altitudo communis EH , bafe s ve^
YO circuli ex radqs l M^LM (aquales cono , cuius altitudo eadem
MH,bafisverUirCulus ex IL i iBe vero conus aqualis eB folido w
conteo BECG, dempto cono BEC, ergo duo illi coni aquales erunt
folido BECG , Propt er ea ablatis vtrinque aqualibus conis , nem
F pe CQ,
4s» Sphioem &foUdis [pharaliL
^econO y CmuHaJis ex IM eB^ Mtudo EH, dr cono AGU (funt
enim a^qudl es per 2. 2 . huius ) remanebunt aqualia yfolidum nem-
pe excauatumfrufiiABCDydetraBo cono BEC ^ & conus cuius
altitudo EH JsaJis circulus ex LM radio faBus^qui quidem aqua-
lis ejlfup er fidei conic^ fruBi ABCD . ^od drc .
Definitio ,
S i ex cylindro cylindrus auferatur aquealtus , ^ circa eunde
axem defcriptus y folidum excauatmn quod relinquitur , T ubum
cylindricum appellabimus .
E G: i.'
Frofo/Itia XXVIII.
C Ylindrus ad tubum cylindricum teqile altum, efl vt quadra-
tum femidiamctri bafis cylindri ad redang ulum bafis ip-
fius tubi cylindt ici,
Efto cylindrus AB cuius axis
GD . Tubus vero cylindricus EF
(dempto nimirum cylindro GH)
^'queakus fit cum cylindro AB.
Dico cylindrum AB ad tubum E ^ ^
F cffe vt quadratum AC femidia-
mctri bafis cylindri , ad redangulum EGI,nempe ad rcclangu-
Ium bafis tubi , hoc eft quod fit a differentia EG . & ab aggre-
gato GI femidiametrorum bafis ipfius tubi .
Nam cylindrus integer EF ad cylindrum GH,efi:vt quadra-
tum EL ad LG . quadratum . Et diuid endo , Tubus cylindricus
EF ad cylindrum GH eft vt redangulum EGI ad quadratum G
L. Sed cylindrus GH ad AB cylindrum eft vt quadratum G L
ad quadratum BC . Ergo ex tequo erit tubus cylindricus EF ad
cylindrum AB vt redangulum EGI ad quadratum AC. Con-
uertendo igitur patet quod propofitum erat •
Fropofmo XX IX,
D Ate figurte folidte rotundae figuram infcribere,alteramqiie
circumfcribere ex cylindris cequealtis, ita vt defcripta-
rum differentia minor fit quolibet dato folido .
Efto
JB
H
I
/
i
r
- -R L
-
t
f
t
0
P
V
\
j
“7
/
r'
M.
M
V
1
Trimus i 4d>
Efto cylindrus ABC
D,cuius axis EF : datoq;
intra cylindrum folido
AED circa eundem axe
EF reuoluto, fiue hemil-
ph^riujfiue conus, vel co
noides fit, oportet ipfi fo
lido AED duas figuras
ex cylindris sequealtis c6
pofitas, alteram quidem
infcribere ^ alteram vero circumfcribereita vt circumfcripta fu-
peretinfcriptam minori exceflu qua fit quodlibet datum foli-
dumK.
Secctur bifariam cylindrus AC plano HG ad axem EF ere*
do ; iterumq; cylindrus HD bifariam fecetur plano I L j & hoc
fiat femper donec cylindrus aliquis puta AL minor remaneat
qudm folidum K . T unc diuifo toto cylindro AC in cylindros
jcquealtos ac ipfe AL , oriantur in folido AED fediones M N,
OP. QR . Concipiamus fuper vnoquoq; circulorum MN, OP ,
QR , duos cylindros , alterum quidem verfus E , alterum autem
verfus partes F conuerfum . Eruntq; omnes fimul cylindri qui
verticem habent verfus F , aequales omnibus fimul cylindris
verticem verfus E habentibus(cum finguli fingulis aquales fint)
Ergo fi omnibus cylindris qui verticem habent verfus E, addas
cylindrum AL,fuperabit iam figura circa folidum AED deferi-
pta,figuram eidem inferiptam, differentia AL; Nempe minori
exceffu quam fit folidum K. Qiwderat&c.
Corollarium ,
Hinc fatetqu))d data figura folida^ftue hemif^herium fit,fiut
conus yfiue conoides dpfi du^ figurpfoUd^ ex cylindris aque^
altis comfofit a altera infcrtbi foteft ^altera vero circumfcribiiita
vt differ entiainter datam folidam figuram defcriffarualtetH
tram.,minor fit quolibet dato folido K y
Hfferentiaeniminter figuram datam (fi alteram def cripta^
fum minor vtiqi erit quani differ entia inter deferiptas (efl enim
P z pars
fer 19 ^.
humst
44 foltdis fph^ralih.
fars ewfdem ) ergo mulio minor quam f olidum K .
Fropofmo XXX.
S Pbara quadrupla eft coni cuiufdam, qui quidem cohus ba~
fim habeat aqualem maximo fph^rae circulo , altitudinem
vero eiufdcm iphsere femidiametro £equalem .
Efto circulus
cuius centrum
Ai quadratum
ipficircumfcri
peum iit BCD
E ; iundifque
EA, AD,
conuertatur E
■
Y
P l\
!i
A. T
\
[ — — .
K
gura circa-,
axem F G ita
vt a quadrato
fiat cylindrus, ,,
a fphsrra circulus ; a triangulo £ A D , conus £ A D ,
. Dico fphseram quadruplam eile coni E AD . Niii enim qua-
drupla iit, non erit hsemilpharium equale folido ^quod de-
feribitur a triangulo EHA . circa axem FG, conuerfo (cum hoc
folidum duplum iit coni EAD . ) Erit itaq; hemifphserium vel
maius, vel minus folido trianguli E HA, 5
Efto primum maius,!! poteft eile ; iitque exccilus seqiialif fo-
. . ,« »/^4 . ^ 1 • 1 • •
fitfoiidUm K . Et erit figura inferipta adhuc maior quam foli-
dum uianguli EHA. Secetur etiam axis AG in tot partes aqua-
les in quot fedtus erit AF. Dudifqjpcrpunifta fe^tionum pla-
nis ad axem eredis , intelligatur in folido trianguli E FI A . in-
feripta figura ex tubis cylindricis, sequcaltis conflans , quorum
vnus ijit,. ‘cuius fedio eft rcdangulum HO.
iam cylindrus IL ad tubum cylindricum HO^eft vt quadra-
tum
Liber Trimus .
tum IP ad redangulum MON . Sed quadratum I P aquale eft
redtangulo FPG , nempe ipfi MON ( nam F Prequalis efl redas '
BR , fiue ME, fiue MO , & reliqua PG reliqu^ ON ) ergo cylin-
drus IL sequalis efl tubo cylindrico HO . Hoc modo proceden-
do oftenduntur omnes cylindri in h^mifpherio icquales omni-
bus tubis in folido trianguli EHA . Q^re figura in hemifph^-
rio infcripta ex cylindris conflans, cequalis erit figursein folido
trianguli EHA defcript^ ex tubis cylindricis compofit^. Sed
figura in hemifphiKrio defcripta maior erat integro folido trian
guli EHA . Ergo necefTe efl quod figura infcripta in folido E
HA eodem folido maior fit . pars fuo toto . Quod effe non po-
tefl .
Efio deinde, fi fieri
potefl , hemifphceriu
minus folido triangu
li E H A s fitqj ciefe-
dus aqualis folido k
Circumferibatur
ipfi hemifph^erio fi-
gura folidaex cylin-
dris asqiiealtis con-
flans , ita vt excefiiis
figurce fuper hemif-
pherrium minus fit folido K . Tunc enim circumferipta figura
adhuc minor erit folido uianguli EHA. Concipiamus deinde
folido trianguli EHA aliquam figuram effe circumferiptarn c6-
fiantem cx tubis cylindricis cequeaitis ac cylindri ex quibus c6-
flat figura hasmifph ^rio circumferipta .
lam primus cylindrus HV figurae circa hemifpberium deferi
pti^,j^qualis efl primo tubo cylindrico figurse circumferiptis fo-
lido trianguli EHA ; nam & ifle tubus , cylindrus eft H F .
Secundus cylindrus G lad fecundum tubum LM , efl vt qua
dratom GN ad redangulum LTF , nempe seqiialis (quadratum
enim GN , jequale efl redangulo ONP, fiue LTF, nam reda O
huius»
c
pefr%.
huius ,
Nre-
4 6 De Sphara, 0 * f olidis fikjiralilf.
N redic BQ^fiiie L E , fiue LT , ualis eft , & reliqua NP relt
quiE T F . )
Ergo omnes fimul cylindri Egurse circa hernifphgrium deicri
pta>, hoc eft eadem figura , aequalis erit omnibus ftmul tubis cy- '
iindricis circa folidum trianguli EHA deferiptis, cum ftnguli
ftngulis ecquales fint * Sed figura circa hemifphserium deferip-
ta minor erat folido trianguli EHA. NecefTe igitur eft quod fo-
lidum rt ianguli EHA maius fit , quam figura fibi circumferipta .
pars fuo toto. Quod effe non poteft.
^ Hemifpheerium igitur neque maius , neque minus erit folido '
trianguli EHA, fed ipfi erquale,foIidum vero trianguli EHA du
pium eft coni E AD,erg6 hemifphieriu duplum erit coni EAD ,
Sph^ra vero eiufdem quadrupla erit , Quod erat propofirum.
CoroHdrium •
Hinc fdte tfphdTdmfi{hfefqmatter4m^Jf€ cylindri, cuius hd*
fis dqudlis fit mdximo ffhdTd circulo r 4ltitudo vero diametro
fphdra aqualis . '
Hamjfh. ofteditureffe ad conum MAb vt 4, ad^unu, conus ve-
to EAD ad cylindru EBCD eB vt vnu ad (f. ergo ex aquo ffha-
ra ad cylindrum EBCD erit vt 4, ad ^ NcmpefuhJ efquialtera .
DE
47
DE SOLIDIS
SPHAERALIBVS
LIBER SECVNDVS.
Propoftio Prima.
O N V S quilibet circa fph^eram defcriptus, ec-
qualis cft cono cuidam, quibafim habeat 2C-
qualemvniucrfelupcrficiei circumferipti co-
ni accepta etiam bafi , altitudinem vero aequa-
lem radio fph^recs
Efto circa fpheeram , cuius centrum
Ay deferiptus conus BGD, (qui videli-
cet fphseram tangat & lateribus , & ba-
il ) Ponaturq; alius conus EFG, qui Ba-
! Em habeat EG aequalem tum curule fu-
! perEciei , tum etiam bafi coni B C D ,
i altitudinem vero HF habeat iequalem
1 radio Iphfr^AL.
i
Dico
4 ^ De Sphdra, £ 5 * foMis Jph 4 ralih»
Dico conos BCD , EFG ecquales cfle ♦
Solidum enim conicum excauatum quod Ht cx reiiolutione
%6 p.par trianguli CB A circa axem IC, ecquale eft cono cuidam, qui ba-
• fimiiiabeat ecqualem curiiee fuperficiei conicec B CD » altitudine
vero ecqualem perpendiculari AL, nempe radio fpha^rec : Talis
ergo conus vna cum cono B AD (cum habeant eandem altitu-
dinem) ecquales erunt cono EFG; CJuandoquidem conus EFG
baiim habet vtriq^ fimul bafi ecqualem, altitudinem vero alteru-
trec ecqualem. Propterea & conus BCD, qui duobus praedidlis
conis eequatur , ecqualis erit cono EFG . Q^d &c.
Aliter .
Ducatur JM aquidi ftdns ip fi AL . (fr qud-
^xti l niam angulus CBI diuidituriifariam a linea
BA , erit vt CB ad BI , ita CA ad AI.
8 . pnml Superficies ergo coni BCD fine bafiy ad cir
pardf . culum fua bafis efl 'vt C B ad BI y nempe vt
CA ad AI y (jp componendo y d^per emuerfio^
nem rationis y erit vniuerfa fuperficies coni
BCD cum bafi y ad fuper fidem eiufdem coni
fine bafi y vt IC ad C A, hoc efl vt IM ad AL.
Propter ea fi reciproce adhibeantur bafies , dl altitudines , erit
conus cuius altitudo AL y bafis vero aqualis vniuerfp fuperficiei
coni BCDcurn bafiiy aqualis cono cuius altitudo fit I Mybasisve--
ro curua tantum fuperficies conica BCDyhoc e Ii cono BCD( tqud
les enim funt , cornus cuius altitudo IM , bafis vero conica fupet'-
fides BCD id conus BCD .per 22. huius .)
4
Vropofitio I /.
C 'Oniis quilibet circa fphetamdefcriptu$, cil adfpheeram ,
vt coni ipfius vniuerfa fuperficies acce)pta etiam bafi , ad
fuperficiem fph^r? .
Efio circa fpheeram ABC deferiptus conus DEF; Dico hu-
iufrno»
Liher SeeUndui"^ 4p
iufmodi coQum cfTe ad fph2eram,vt co-
ni fuperficies vna cum bafi, ad fuperfi-
ciemfph^r^ •
Ponatur conus HIL vtin prseccdl-
ti , cuius bafis aqualis fit integro peri-
m^etro coni D £ F vna cum hafi, altitu-
dovero P I aqualis radio fph^re O C^
eritq; conus HIL aqualis cono DBF •
Agatur per centrum O planum MN ^ P !•
ad axem eredum, & in hemifph^rio M
CN concipiatur conus MG N .
. lam conus DBF ad conum HIL ( ob squalitatem ) eft v t to-
tus perimcter coni DEFD ad bafim HL , conus autem H I L ad
conum MCN, (cum eandem habeant altitudine) eft vt bafis
HL ad bafim MN, conus denique MCN adfphsra , eft vt bafis
MN ad fuperficiemfphgrsC nempe in ratione fub quadrupla^
quare ex squo erit conus DEF ad Iph^ram, vt vniuerfus perime
ter coni DEF ad fuperficiem Tph^rg . Quod &c.
Propojitio ///.
C Onus quilibet circa Iph^ram deferiptus , eft ad fphsram,vt
redangulum contentum fub latere & femibafi coni tam-
quam vnalinea , & fub femibafi , ad quadratu diametri fphgrs ,
Efto circa fphgram , cuius diametei:
DE, deferiptus conus quilibet ABC.
Dico conum ad fpheram effe vtredan
gulum fub B AD tamquam vna linea, &
fub ADcompraehcnfum, ad quadra-
DE.
Curua enim fuperficies coni ABC
ad circulum fuae bafis eft vtBAadA
D, & componendo erit totus coni peri-
meter ad eundem circulum bafis vt B A , AD fimul ad AD ; hoc
G eftvt
fer
ced.
zotet
p. imth
8 *p.par»
S 0 De Sfhsra, CJ* foUdh fphxraM,
cft vt redangulum fub linea BAD, & fub AD ad quadratum A
D j circulus vero bafis coni , ad circulum circa D E , eft vt qua-
dratum AD ad quadratum DF, circulus denique circa DE ad
fphaerae fuperficiem , efi: vt quadrarum DF ad quadratum DE,
ergo ex aequo vniuerfus coni ABCA perimeter ad fuperirciem
fphaerae f hoc eft conus ipfe ad fphaeram per praecedentem J
erit vtredangulum fub reda linoa BAD, & fub AD, ad qua-
dratum DE. Qupd&c.
Corollarium^
Pro Corollario fote fi ofiendi conum aquilaterum adihfcriftM
fifh^rdm , cjfie njt p.dd 4. Pofito enim latere A C. O". erit re^an^
gulumfub later e cum femibafi^ ^femibafi 2 j, quadratum 'uer^o
PD 2 /.(jr quadratum DE 12, ergo conus ad ff horam erit vt 2 y
ad 12 .fiue vt p. ad 4*
Scholium.
PoJJent hic T heorematdnon faucafrofoni circafolidorum cir
cumficriftionem , (fi inferiftionem : qualiajunt\
Si circaffh^ram frifimaconcifiatur^ quod fingulis fuis fdraE
lelogrammisfifhdram contingat; fit que eiufdem altitudinis^Erit
frifima ad fif haram yVtferimeter bafis frijmatis ad duas tertias
ferifhari( maximi circulififhara ,
Si vtr)) non eiufdem sit altitudinis ; ratio frifimatis ad sph^^
tam componetur ex pr a di Et a , (fi ex ratione altitudinum ; ait it u^
do autem fph^ra diameter efi .
Si cylindro circumferibatur prifma, quod singulis fuis paraU
lelo grammis fuperficiem cylindri contingat ; sintq; eiufdem aE
titkdinis . Erit prifma ad cylindrum vt basis ad basim; nem-^
pe , vt perimeter basis prifimdtis ^ ad feriphariambasis cylindri;
idem verum efi de cono yfi pyramidibus c irc umferiptis ,
Si vero prifma , (fi cylindrus non eiufdem altitudinis fuerint;
ratio componetur ex ratione perimetri adperiph^riam, fi altitu-^^
dinis ad altitudinem . ,
Si intra cylindrum infer ibatur prifma eiufdem altitudinis ^
habens basim poligmam ^regularem ^ fi parilateram ; Erit cylin
drus ad prifma , vtperiph^ria basis cylindri ad f erimettum poli-
liher Secunius i ff
gbnlfegulAris in e&dem circulo defcriptl^quod hahedtldteramul
titudine fubduplafoligombasis prifmdtis, etidm
dccom , ^ fyrdmidihus infcriptis .
^dndouero busis frifmatis impdrildt er d fuerit , siuereguld-
fis ysiue irregularis : Erit fylindrus ad infer iptum frifmUy ut
feriph^ria basis cylindri ad omnes sinus arcuum a late ribus ba^~
sisprifmatisfubtenforum . Dummodo nullus arcus femicireuU
maior sit , Scando uero arcus aliquis femicircuio maior sit ; cJ*
quando figurarum altitudo non sit eadem , alia huiufmodiyO m
nia demonlirari pojfunt facili quidem negotio ; fedinjiitutum n§
firum € fi non omnem folidorum in feriptionemy (fi circumferiptio^
nem profequi i fed illam y tantum^qu^ circa fph^rameB y uelin-^
tra ipfam y Er opter e a ad inceptum reuertamur ,
Tropo fitio IV. *
S I circa circulum deferibaturpoligonutn habens latera nu-
mero paria , fiue a quaternario , fiue a binario menfurata
& reuoluatur figura circa diagonalem, erit fa(5i:um fphaerale fo-
lidum aequale cono cuidam qui bafim habeat aequalem fiiper-*
ficiei folidi , altitudinem vero femidiametro Iphaerae aequale.
Hoc autem quandib numerus Ia
terum menfuratur a quaternario
demonfiratumfuit ab Archimede
Prop. 2 p .fiue mauis 2s. lib.p, de
fph. (ir cylin. ^piando vero lateru
numerus etiam a binario tantum
fncnfuraturyofiendemus fic , erit-
que demonfiratio (exceptis qua
de V It imo f olido cylindrico dic en
tur) eadem cum ea quam ajfiert Ar
chimedes ,
/
EftopoIigonumABCDEFG habens latera a binario tan-
tum menfurata, vtin prima figura. Ergo femipoligonum AB
G 2 CDEF
f % ‘De Sph*i‘iii i ^ JoUdtsJph/iraM.
■ CDEF habebit latera numero imparia, latufque vnum tanget
eirculum in pun6i:o T , atq; ideo cylindricam fuperficiem in c6-
uerfione defcribet . Intciligatnr conus M NO, cuius bafisfit
circulus MO sequalis vniuerfe fupcrficieifolidi fphjieralis j alti-
tudo vero PN,asqualis Iit radio fph-^rje. Dico fph^rale foli-
dum aquale effe cono MNO .
Rombus enim folidusfadus in conuerfione figurae atriangu
iS-ppar lo ABQjjequalis eft cono cuidam cuius bafis aqualis fit coni-
^ ’ e^ fuperficiei defcript:e a linea AB, altitudo vero fit radius QR,
Solidum autem excauatum fadum in conuerfione a triangulo
BCQrcequatur cono cuidam cuius bafis aequalis fit conicae fu-
perficiei defcdptie a linea BC. altitudo vero requalis radio fphg
TtE QS . & fic femper procedatur. Vltimum denique folMum
z^.ppar cylindricum excauatum defcriptum a triangulo C T Q^, sequa-
' le efi; cono cuidam , cuius Bafis ^gqualis fit fuperficiei cylindri-
cae a linea CT fato, alritudo vero sequalis fit femidiametro cy-
lindri , QT ; Et fic dei olidis circa alterum hemifphserium TF V
defcriptis . Ergo vniuerfum fphaerale fGlidum,i;equale erit om-
nibus pr^edidis conis fimul fumptis, .• ijfdem autem omnibus
pr^didis conis sequalis efi conus MNO (ciim bafim habeat om
nibus fimul illorum bafibus aqualem , nempe fuperficiei folidi
fph^ralis, -altitudinem vero vnicuique illorum equalem , nem-
pe radio Iph^re . ) Propterea pr^didum folidum Iph^rrale gqua
le erit cono MNO . Q^d &c.
"Prop bfi t io P'.
S I circa circulum deferibatur poligonum habens latera nu-
mero paria , & conuertatur figura circa diagonalem : ha-
bebit fadum fphaerale folidum ad fphteram fuam eam rationi ,
quamvniuerfa folidi fphaeralis fuperficies habet ad fuperfi-
ciem fphaerae.
Manente praecedentis Propofitionis confirudioneg Efio
fphaerale folidum cuius diagonalis , atque axis fit AB, centrum
autem fphaerae fit C . Dico fpliaerale folidum ad inferiptam
fibi
Lihr Stcmdtis i 'S3
fibi fphaeram ef-
fe,vt fuperfides
folidi ad fuperfi-
dem fphaerae.
Infcribatur.n.
in hemifphaerio
conus DEF,&po
natur conus GIH
cuius bafis G H
aequalis iit vni-
uerfacfuperficiei
folidi fphaeralis
vtin praecedenti
altitudo vero LI
aequalis radio fphaerae, & erit per praecedentem fphaerale fo-
lidum aequale cono G I H.
Propter aequalitatem ergo , erit fphaerale foHdum ad conu
GIH vt fuperfides vniuetfa fphaeralis folidi ad bafim coni G I
H3 conus autem GIH ad conum DEF (ob aequalem altitudinej
efl: vt bafis circa GH ad bafim circa DF 3 conus denique DEF
ad fphaeram , efl vt bafis circa DF ad fuperficiem fphaerae(nc-
pe in ratione fubquadrupla . ) Propterea erit ex a equo fphae-
rale folidum ad infcriptam fibi fphaeram vt vniuerfa fphaera-
iis iolidi fiiperficies ad fuperficiem fphaerae . Qi^d dcc.
Fropofiio V L
S I circa circulum deferibatur poligonum habens latera nu-
mero paria, &conuertatur figura circa diagonalem, erit
fadum fphaerde folidum ad infcriptam fibi fphaeram vt axis
folidi ad axem fphaerae .
Manente praecedentium confirudione .3 efto fphaerale foli-
dum, cuius diagonalis, atque axis fit AB,centroiii verb fphaerae
fit C, & diameter HI .
-A. jA.
Dico
fer I
p: fartis,
liffar
tis.
prima p,
partis .
s^^fexsi.
oi$ats
p
A
M I:
ON
m
De Sphard,
Dico fphg
rale folidu
ad infcrip-
tafibi fphg
ram efle vt
AB ad HI*
Circum
fcribatur n.*
circa Iphse-
ram cylin-
drus NLM
O . agantur
que per extremitates axis A, B, plana ad axern cre«5i:a DG , EF.
per extremitates vero diametri HI. plana LM, NO .
Erit, per prtecedentcm, iphasrale folidum ad fphceramvt fu-
perficies fphseralis folidi ad fuperficiem fphicrte ; hoc cft, ( fum-
ptis aequalibus )vtfuperficies cylindri DEFG, ad fuperficiem
cylindri LNOM , hoc eft vt AB ad HI . Quare fphterale foli-
dum ad fphicram eft vtaxis folidi ad diametrum fphaerje . Q^d
dcc.
/ »
J
O
Propofitio V 11.
S I intra circulum defcribatur poligonum habens latera nu-
mero paria, &conuertatur figura circa diagonalem , erit
fphaera ad inferiptum fibi fphterale folidum , vt quadratum dia-
metri fpheerte , ad quadratum cateti poli goni .
Sit.n .circ. cuius cent. A, & diamet. BC poligonum regulare,
cuius diagonalis fit linea BC,& conuertatur figura circa BC.Di
co fphicram circumferiptam ad inclufum fphserale folidum, dfe
vt quadratum AC, ad quadratum cateti poligoni AD . Ducatur
enim DE ex D . perpendicularis ad BC , & EF perpendicularis
ad AD,eruntq; in continua proportione quatuor red^ AC, AD,
AE , AF . Concipiatur etiam radio AD aliam fph^ram deferi-
I
Liher Secundus t
bi, qua* fingulas conicas fuperficics fo-
lidi Iphseralis continget ; necnon cylin-
dricam, fi quam huiufmodi fphserale fo
lidumliabebit*
Erititaque lph^ramaiar ad fphsera
minorem, vt C A ad AF i minor vero
Iphasraadfphfrale folidum, quod fibi
circumfcribitur { per prsecedentem ) cft
vtDAad AQhoceft, vt AFad AE;
Propterea ex sequo erit circumfcripca..
fphjera maior, ad infcriptum folidum
fphserale, vt CA ad AEmempc vt qua-
dratum CA ad quadratum AD. Quod
erat&c.
^ropofitio V 11 /.
S I circa fphserale folidum, natum ex reuolutione poligoni
circa diagonalem f euoluti , fphsera circumfcribatur , & al-
tera infcrib atur • Habebit circumferipta fphsera ad folid um,du^
plicatam rationem illius, quam habet folidum ad inferiptam
fpheeram .
Repetita figura Propofitionis prsecedentis ; cum fit circum-
feripta fphgra ad folidum vt quadratum C A ad quadratum ADj
folidum vero ad inferiptam fibi minorem fphsera m,vt C A ad A <5. hmmx
D ; patet rationem cireumfcriptse fphsera ad folidum fphserale
duplicatam elfe illius quam folidum habet ad inferiptam fphse-
ram . Q^d &c.
Tropo/ttio IX,
S I circa fphserale folidum, natum cx reuolutlone.poligom
circa diagonalemreuoluti , fph^ra circumfcribatur, & alte-
ra inferibatur: Erit fuperficies folidi fpheralis media proportio-
nalis inter fuperficies duarum fphaerat um .
Manan-
s6 De Sph/ira, fblidis fhhAraM,
Manente figura , & conftrudione
praecedentium propofitionum ^ Dico
tres fuperficies , nempe maioris fpha e- B
raejfoiidi fphaeralis,minorifq; infcrip-
tae fphaerae s effe inter fe in continua
proportione.
Superficies enim circumfcriptae fphg
rae eft ad fuperficiem infcriptae, vt qua
. dratum C A ad quadratum ADifuperfi-
cies autem folidi ad fuperficiem eiufde
ojfendi- infcriptae fphaerae, efi: vt reda C A ad
^huiu AD:£rg6 tres fuperficies prae-
* didae funt in continua proportione ; &
quidem perimeterfphaeralis folidi medius proportionalis cft
inter fuperficies duarum fphaerarum . Qi^d &c.
Fropoftio X,
S I circa circulum deferibatur poligonum habens latera nu»
mero paria , fiue a quaternario , fiue tantum a binario men
furata j &conuertatur figura circa catetum j Eritfadum fphae-
rale folidum aequale cono cuidam , cuius quidem bafis aequa-
lis fit vniuer-
faefuperficiei
folidi fphac-
ralis, altitu-
do vero ae-
qualis radio
^h^rae .
Efto circa
circulum fi-
gura poligo-.
na aequilate
ra ABCDE
H. habens la
-
^ /
Liier Secundus i $ f
tcra numero paria , & conuertatur figura circaptetum IL,oric*
turq; folidum contentum fub conicis , circularibus , & vna cy-
lindrica fuperficie , quando numerus laterum a quaternario me
furatur ; quando vero a binario tantum,tunc erit folidum fphsc-
rale fub conicis, & circularibus tantum fuperficiebus comprjse-
hcnfum . Dico vtrumq; fphserale folidum aquale elTe cono cui-
dam MNO, qui bafim habeat sequalemvniuerfie folidi fphsera-
iis fuperficiei , altitudinem vero FN sequalem radio fph^rsc .
Hoc ofiendetur fimiliter vt propofitione 4 . fadum eft. Nam
conus qui fit d triangulo I A Q^n conuerfione circa axem I L •
aquatur cono qui bafim habeat aqualem circulo qui fit ex radio
IA, altitudinem vero aequalem radio fphserse QI, quia idem
prorfus eft . Solidum autem excauatum,quod fit a triangulo
ABQ^sequaie probatur cono cuidam , cuius bafis sequalis
fit conicse fuperficiei fadse a linea AB , altitudo vero fitQR.ra- *
dius fphaerse . Vltimum denique cylindricum folidum excaua-
tumjfadumatrianguloBQS (quando poligoni latera a qua-
ternario menfurantur, alias cylindricum folidum nullum efl )
3cquaaircono cuius bafis aqualis fitcylindric? fuperficiei fa( 5 i: 2 e
a linea BS. altitudo vero fit QS^; & fic de altero hemifph^rio •
Propterea vniuerfum fphasrale folidum aquale erit omnibus
praedi^^is conis fimulfumptis i & ideo aequale erit etiam cono
MNO , qui omnibus illis fimul fumptis aequiualeti(quandoqui-
dem bafim habet omnibus fimul illorum bafibus aequalem ex
fuppofitione i altitudinem vero viiicuique iliorum aequalem ,
nempe radium fphaerae # ) Qupd&c.
Prcpojtiio X /.
S I circa circulum defcribaturpoligqnum habens latera nu-
mero paria , & conuertatur figura circa catetum , habebit
fadura fphaerale folidum ad infcriptam fibi fphaeram eam ra-
tionem , quam vniuerfa foiidi fphaeralis fuperficies habet ad
fuperficiem fphaerae •
3»
v8 De S^h^rait^ folidisJphArali^t
rale folidu
CUIUS carc-
tus, &axis
Ait l \U i v-cil-
trum autem
fphaerae Iit
C . Dico
fphacrale fo
ad«ii
^fcriptam fibi
iphabramef
le vt ynmer ■
fa ipiiiis foli
diiuperfici-
cs ad fiipcrficiem fphaerae» ^ ;
Concipiatur ciaimf n hemifphacrio conusDAE^&intelliga»
tufalhis conus FGHo Onius balis^ffi fit vniuerfie fu-
perficiei folidi fphaeralis, altitudo vcralG aqualis radio fphae-
rae i & erit per praecedentem Iphaerale folidum aequale cono
FGH»
Propter aequalitatem ergo, erit fphaerale folidum ad conu
FGH, vt fuperficies vniuerfa iphirralisfolidi , ad baiim coni
IGH 5 conus aiitent FGH , adconumDAE fob, i^equalem alti-
tudinem ) eft vtbafis circa FH, ad bahm circa D.E3 denique co
nus DAE , ad Iphieram, eft vt bafis circa DE qd fuperncicin
fpbserae (mepe in ratione fubquadrupla:)Propterea erit ex gquo
Iph^rale. folidum ad infcriptamiibi Iphtcram, vt vniuerfa Iphse-
ralis folidi iuperhciesad fuperl(ji%af|liie^ . Quod &c.
hm
S I circa circulum de&ibatur poligonuni habens lataa
numero paria, & conuertaturhgura circa catetumjHabi^
bitfadumfph^rale folidum ad infcriptam fibifphasram, pam
rationem, quanihabet con^oEtareda linea ^ex diametro
ra?,&exteruapt^oruoifeli.(fifiatvtiemiterad:er Ipi^ippad
^ ' iemi-
Tiher StiiUtittsi > S9
femilatus poligoni, ita femilatus ad aliam,) ad diametrum Iphf-
r^.
Manente pra?
dentium propo-
fitionumcoftru-
dione,efto fphg
ralefolidu cuius
catetus, & axis
fit AB ; centrum
autem fphiiere fit
C. Fiat angu-
lus CDEretflus, eritq; BE tertia proportionalis ad femidiame-
trum CB> & iemilatus poligoni B D . Dico fphserale folidum
ad itifcripta fibi {phxrS. efle vt E A ad AB ; nempe vt compofita
ex diametro fph^er^e AB, & tertia proportionali BE, ad diame-
trum fpheerir AB . Concipiatur circa fphaeram deferiptus cy-
lindrus FLMI,& perpuncta A; B;E .producantur plana FI,LM,
GH , ad axem ereda r
Erit ergo, per prsecedentem,fpbxrale folidum ad inferipta
fibi fph^ram, nfuperficies folidi ad fuperficiem fpbser^j hoc i6,prn
cft , fumptis aequalibus, vt fuperficies cylindri FGHL ad fuper- •
ficiem cylindri FLMF; hoc ell vt linea AE ad AB • Qi^d &c* -
"Tropoftio X 11 L
S I circa circulum deferibatur poligonum habens latera nu-
mero paria , &conuertatur figura circa catetum ; erit fadu
Iphgrale folidum ad faam fpheeram , vt duo quadrata, nempe vt
quadratum diagonalis , & quadratum cateti limul , ad duplum
quadrati eiufdem cateti.
Efto circa circulum , cuius centrum A , deferiptum poligo-
nurn habens latera numero paria, & conuertatur figura circa ca-
ttum BC : fa^toq; angulo re^to ADE, erit (per preccedentemj
H 2 Mi-
De Sph^rdi
folidum fphsEraic
ad fuam fpha^ram
vt EB ad BC Di-
co infuper folidu
fphcerale ad fuam
iphceram cfTe , vt
quadrarum ex A
£>, fimul cum qua
dratocxAC, ad
duplum quadrati
ex AC.
M t *
ms^
Nam EA ad AC cft vt quadratum DA ad quadratum A C ;
& componendo, erunt EA > & A C fimul , hoc eft tota E B , ad
AC , vt duo quadrata DA , AC fimul ad quadratum AC ; fum-
ftf ptifque confcqucntium duplis, erit EB ad BC (hoc cfi folidum
Ijph jcrale ad fphirram ) vt duo quadrata DA 5 AC fimul , ad du-
plum quadrati ex AC . Quod &c.
^ropofitio XIV.
S I intra circulum defcribatur poligonum habens latera nu-
mero paria , & connertatur figura circa catetum; erit fphas-
ra adinfcriptum fibi folidum , vt integra diameter fph^r^jad fe-
cundam fimul, & quartam proportionalium, in ratione femi-
diametri iphaera e ad femicatetum poligoni .
■4 - » '
Sit in circulo cuius diameter AB po-
ligonum habens latera numero paria,
& conuertatur figura circa catetu CD :
Ducanturque perpendiculares D E ad
redaHE,& FI ad HDj deerunt qua-
tuor lineae EH, HD, HF, HI, in conti-
nua ratione femidiametri HE ad femi-
catetum HD . Dico fphaera ad infcii-
ptum folidum efle,vt dupla HE ad v-
' tramq?
Liher Secundus . 6x
titamq; fimul DH, HI . Vel vt integra diameter fphaerse ad C 1 •
Intelligaturalia fph^ra intra iolidum infcripta. Erit ergo
exterior fphj^ra ad interiorem , vt EH ad HI , fiue vt dupla E H
ad duplam HI; interior vero fphaera ad folidum fphserale ell, dueded-
vt duo quadrata ex HD , ad duo quadrata 'HD , H£ , hoc eft vt '
duo quadrata ex HI , ad duo quadrata ex HI , HF , hoc eft {vt^er ,
infra oftendemus ) vt dupla HI ad HI , HD ; Propterea erit ex
sequo fphsera exterior ad inferiptum fibi fphaerale lblidum,vt du
pia HE , hoc eft integra diameter fpheera^, ad HI , & HD fimul ;
quas quidem funt fecunda, & quarta in ratione femidiam. Ijph^-
rseadfemicatetumpoligoni. Quod&c.
^odautem\aJfumptum eH ofiendemus , Dico vt duo qua-
drata ex HI ad duo quadrata fimul HI, HF . ita elfe duplam H I
adHI,HD.
N am ob angulum redum H F D , erit vt quadratum F H ad
quadratum H I , ita redaDH ad HI , & componendo, fumptif-
que confequentium duplis, erit vt quadrata FH, HI, ad duo qua
drata ex HI , ita duas reda? DH , HI, ad duplam HI. Conuer-
tendoergo, erunt duo quadrata ex HI, ad duo quadrata HI,
H F . vt dupla HI , ad H I , HD fimul . Quod erat &c.
VTOpofltio XV.
S I circa circulum dcfcribaturpoligonum habens latera nu-
mero imparia, & conuertatur figura circa caterum poligo-
ni, erit fadum fphierale folidum sequale cono cuidam, cuius ba-
fis aqualis fit vniuerfa? fuperficiei folidi 5 alticu^ vero radio
Iphtersefitapqualis.
Efto circuli centrum A, polig. vero perimeter BGDEFGH.
Et fint latera eius numero imparia ; conuertaturqiie figura circa
‘caterum BI , vt oriatur folidum fphserale contentum llib conicis
fuperficiebusvnkoquecirculo circa diametrum EF defer ipto .
Ponatur iam conus L M N , qui bafim habeat sequalem vniucr-
fe fuperficiei fphjeralis lolidi , altitudinem vero Oivl a?quaiem
radio
1
6 i ‘DeSph^ra , ^ [olidis fihAralih.
radio fpha^ra: AI . Dico folMum
fphseraie irquale effe cono LMN.
Agatur per centrum fphcer^ pia
nuin PQad axem ere dum , quod
tranluerse, fecahit aliquod latus
poligonijputa CD ^
Erit iam rombus foiidus , fadus
a conaeriione triang. BCA, ^equa
»3 p-paf cono , qui bafim habeat sequa-
th. lem conica fuperiiciei fadce a li-
nea BC ; altirudinem autem aqua-
lem radio iph^rg AR* Solidum
vero conicu excauatum quod fit
t^.p.par gyro trianguli CP A, aquale erit
th, cono, qui bafim h ab eat gqualem ruperficiei, que fit a linea C P»
altitudinem vero gqualem radio iphgrg AS. Solidum quoque
47 *p.par excauatum , fadum ex reuolutione trianguli PDA , gquatur co-
no, qui bafim habear equalem fupcrficiei conice que fit a motu
lineg PD, altitudinem autem gqualem radio iphgrg A S . Ea-
dem prorfum eodem modo dicuntur de folido conico excaua-
to,fado a triangulo DAE; &de vltimocono fado a reuolu-
tione trianguli EIA . Propterea totum fphgrale folidum gqua-
le erit omnibus prgdidis conis fimul fumptis , vel cono L M N ,
qui omnibus illis prgdidis gquiualet .‘(habet enim bafim omni-
bus fimulillorum bafibus gqualem, altitudinem vero gqualem
vnicuiqs illorum .y Quod&c*
SchoUum .
Attulimus in hdc Propojitione T heoT»2 s >2 2j,p. pdrtis i
ISI am ex gyro trianguli BCA oritur rombus fol idus vt in 2 3 p par
tis . Mx gyro trianguli CPA oritur folidum quoddam excauatu^
quale relinquitur Jt ex cono auferatur rombus foiidus : vt in 24,
p. par tis . Denique ex conuerfone. trianguli DPA oritur folidum
quoddam excauatum hahens bafm circularem P^^ quale relin-
quitut fi cxfrufto conico conus auferatur hahens bajlm eandem
cum
r
Li i er Secundus . 63
cummAtore hdfifrufti conici , altitudinem c[uoqUe eandem vtin
Pr0p.2y .^.fartis i
Tropofitio X 11»
S I circa circulum defcribatur poligbniim habens latera nu-
mero imparia , & conuertatur figura circa catetum j habe-
bit fadum fpherale folidum ad infcripram fibi fphgram,eam ra-
tionem quam vniuerfa Iph^ralis foii di fuperficies habet , ad fu-
perficiemfph^rg.
Manente procedentis propofitio-
nis conftrii6tione , fit fpherale foli-
dum cuius catetus , fiue axis fit AB,
centt um vero fph aera e fit C . Di-
co fphaeraie folidum ad inferipta
dbilphaerameffe , vt ipfius folidi
integra fuperficies ad fuperficiem
fphaerae^
Concipiatur in heniifphaerio
conus DEF ; & intelligatur conus
GHIcuiiisbafisGIoqualisiitvni-
. nerfie fuperficieiToiidi fpha altitudo vero L H aequalis
j fitradib iphaerae,, deerit per praecedentem, fphaeraie iblidu
aequaleconpGHI. \ ^
Propter aequalitatem ergo, erit fphaeraie folidum ad conu
G HI, vt fuperficies vniudrfa fphaeraiisfolidi, ad bafim coni-G ’
HI ; conus autem GHI ad conum I)EF ( ob aequalem altitudi-
nem) efi:vtbafiscikaGI,^dbafimbxrcaDll. conus denique
.I)EF, ad fphaerame circa DF ad fuperficiem fphae-
rae (nempe in ratione fubquadrupla. ) Propterea erit ex aequo,
fphaeble folidum adinfeript^ fibi fphaera,vt vniuerfa fphae-
jalisfolidifuperficksadfttperficiemfphaerae. Qupd&c.
64 - De SphoTA, Cf folidis fphitrAlih,
Tropofttio XFIl,
S I circa circulum defcribaturpoligonum habens latera nu-
mero imparia, & couertatur figura circa catetum poli^^oni,
habebit fadumfpiiaerale foiidumad inferipram fibi Iphaeratn
eam rationem ,quam habet linea compofita cx cateto poligom
& tertia proportionalium ( fi fiac,vt diameter fphaerae ad femi-
latuspoligoni, ita feiniiatus ad aliam,) ad diametrum fphaerae*
Manente praecedentium conflru6Ho
ne, fit fphaerale folidum c uius catetus,at-
que axis fit AB , centrum vero fphaerae
C, & diameter DB . Fiat angui us redus
DEF , eritq; BF tertia proportionalium ,
pofita diametro DB pro prima, & femila
tere poligoni B E pro fecunda . Dico
fphaerale folidum ad inferipta fibi fphae
ram effe vt tota AF ad DB .
Concipiatur circa fphaeram cylin-
drus MNOP , & per punda A, D, B, F, plana agantur ad axem
ereda*
Erit ergo, per praecedentem, fphaerale folidum ad inferipta
fibi fphaeram, vt fuperficies fphaeralis folidi ad fuperficiem
, fphaerae ; hoc cft , fumptis aequalibus , vt fuperficies cylindri
cT iV./. GHIL ad fuperficiem cylindri MNOP j hoc eft vc reda AF ad
BD per primam p. partis. Quod&c.
Propojftio XVI II.
S I circa circulum deferibatur poligonum habens latera nu-
mero imparia, & conuertatur figura circa catetum poligo-
ni ; habebit fadum fphaerale folidum ad fphaeram eam ratio-
nem quam habent quatuor fimul termini nempe, maximus, mi-
nimufq; cum duobus medijs j ad quatuor minimosjf quando ra-
tio
Liher Sccmdus i
do redae GB ad GD continuata fuerit in tribus terminis #
Efto circulus cuius diameter AB» cen-
trum vero Gj ipfiq; circumfcribatur poli-
gonum habens latera numero imparia,
cuius catetus fit CB , & conuertatur figu-
ra circa CB ; Fadoque angulo GDF. re-
do, erit ratio redae GB ad GD continua
ta in tribus terminis GB,GD,GF; vtipro
pofirum eft . Dico folidum ad fphaeram
effe , vt GF, GB, fimul cum GD bis fum-
pta , ad ipflim GB quater fumptam .
Fiat alius angulus ADE redus ; eritq?
folidum ad fphaeram per praecedentem , vt CE ad diametrum
fphaerae AB, hoc efl vt EG, GD fimul, ad diametrum fphaerae
f funt enim aequales G C ,G Dj hoc ef! vt dupla £G ,& dupla
G D. ad duas diametros , hoc efl vt F G , G B cum dupla G D ,
ad quatuor femidiamerros GB. Quod erat demon. <Scc. ' tutmfm
G
s \ 1
N \ #
V \ /
' \ A
\ /i
\ \ /l
/
/
E
<
^md autem ajfumptum fuit:, oHendemus ftc , Dico ipfam EG
bis fumptam , aequalem elfe duabus FG, GB .
Quoniam ob angulum redtim , redangula ABE , G B F, ae-
qualia lunt eidem quadrato BD,aequalia erunt & inter fe; ideo-
que lafcra eorum reciproca, nempe vtABad BGfubduplam,
ita erit FB ad BE fubduplam,‘acquales ergo funt FE, EB. & tres
redae GF, GE, GB . funt in proportione Aritmetica j ideo E G
bis fumpta aequalis erit duabus F G, GB . Q^od
^rop[mo XIX.
S I intra circulum defcribatur poligonum habens latera nume
ro imparia , & conuertatur Egura circa catetum poligoni ,
erit fphaera infcripmm fibi fphaerale folidum , vt funt quatuor
Emul maximi termini , ad-maiorem reliquorum femel , & me-
dium bis j de minorem femel fumptura { quando proportio CD
I adCE
i(S De Sph^rat 0 * foUdis fphxraM.
CE continuata erit in quatuor terminis ,)
Sit circulus cuius diameter AI , cen- A.
trumvero C, «Scinfcribaturpoligonum
hsbcns latera numero imparia; tum con
uertatur figura circa catetum AD. Fiant
que anguli CEB & CBF redi , eritque
ratio CD ad CE continuata in quatuor
terminis CD,CE,CB,CF.Dicofphae-
ram ad infcriptum fibi folidum fphaera-
le elTc, vt CF quater fumpta , ad CB fe-
mel , C E bis , & C D femel , fimulque
fumptas,
Intelligaturaliafphaera cuius femidiameter CD: infcripta
in folido . Erit ergo maior fph^ra ad minorem vtcubus EC ad
rntima cubum CD. vel reda FC ad CD,uel ut FC quater, ad CD qua-
■uodeci- minor infcripta, eft ad folidu fphf rale,fperpre-
cedentem ) ut CD quater fumpta , ad CB femel , CE bis,& CD
femel : Propterea erit ex f quo, maior , fiue circumfcripta fph^-
ra , ad fuum fph^rale folidum, ut CF quater fumpta , ad CB fe-
mel , CE bis 5 & C D femel fumptas . Quod &c.
Scholium .
Bd^emsfex ftdicifMd T heoremdtd de fotidis fphdrdlihus de«
mmjlrdta funt , S equuntur nunc quddam fcitu non iniucundd ,
dd docirindm fpectdntid .
Fropoftio XX.
S I intra fph^ramdefcriptum fit fph^ralc folidum parilate-
rum , circaq; diagonalem reuolutum: erit fph^ra ad excef-
ium , quo ipfa folidum fiiperat, in duplicata ratione diametri
fph§r^ ad latus poligoni .
. Sit in circulo cuius ccutrum A defcriptum poligonum habens
^ latera
Liher Secundus^,
latera numero paria , & coiiuertatur cir-
ca diagonalem B C . Dico fph^ram ad
exeefTum , quo ipfa folidu fuperat, efTe ut
quadratum BC ad quadratum CD.
Ducatur AE ex centro perpendicula-
ris ad latus CD> & producatur.
Quoniam per demonftrata, eft ut fphg
raadfolidum fphf rale ita quadratum F
A ad quadratum AE , erit per conuerfio-
nem rationis fph^ra ad exceifumjVt quadratum F A ad diffe-
rentiam quadratorum F A , AE , hoc eft ad redangulum F E G,
fiue ad quadratum EC. Conftat ergo fphseram ad exceffum
quo ipfa fuperat inferiptum fphjiejale folidum effe vt quadratum
F A ad quadratum EC, fiue vt quadratum B C ad quadratum C
D. QiK>d&c.
Vropofitio XXL
S I in eadem fphscra duo folida parilatera , & circa diago-
nalem reuoluta, concipiantur, erit differentia vnius a fph^-
ra, ad differentiam alterius a f^hi^ra, homologe in duplicata ra-
tione laterum ,
Sint in circulo cuius diameter AB duo
femipoligona ACB, ADB; & conuertatur
figura circa diagonalem AB . Dico diffe-
rentiam inter fpheram , & fph^rale folidu
ACB , ad differentiam inter fph^rram &
fphjrrale folidum ADB, effe vt quadratum C
CB ad quadratum BD.
Demonftratum enim efi differentiam ^ fcr pmi
ACB , effe ad fpheram , vt quadratum B C , ad quadratum AB,
fed fphtrra ad differentiam ADB, eil: vt quadratum AB ad qua-
dratum BD, ergo extequo erit differenria A C B ad differen-
tiam A D B vt quadratum BC ad quadratuni B D . Quod &c. "
- l % Propo-
6S ‘De Sphafa , £ 5 * [olidis Jph^erali^,
‘Propofitio XXII. .
S I eidem fphcerse duo folida parilate'ra, & fimilia , circaque
diagonaiem reuoiuta ^ alterum circumferibatur, alterum
: vero inicribatur; fuper£cie5 Iph serte media proportionalis erit
inter fuperficies duorum folidorum .
Sit drculusj cuius diameter AB
atque ipfiduo^oligona, alterum
drcumlcribatur 5 alterum vero in-
feribatur, habeatq^ vtrumq; latera
numero paria » & fit numerus late-
rum vnius tequalis numero lateru
alterius, vt fph^ralia folida fimilia
euada nt • T um conuct tatur figura
circa diagonalem CD % .
Dico fuperficiemfadse fpbterte
mediam proportionalem e (Te in-
ter fuperficies fadorum folidoru *
Ducatur ex centro G reda G L ad
contadus M & L ,& radio GM fiatfph^ra IM H *
lam fuperficies folidi AF ad fuperficiemjJ)hter^IM intra ip-
fum infeript^ efi vt folidum AF ad fphseram IM, per 5. huius ,
nempe vt axis AG ad GM,per 6 , huius, hoceil vtredangulum
AGM ad quadratum GM ; Superficies 'verb ^hserte IM ad fu-
perfciem fplwte ALF cft vt quadratum GM ad quadratum G
A . Ergo ex aquo fuperficies folidi AF ad fuperficiem fpharx
AL erit vtredangulum AGM ad quadratum GA^ nempe vt re^
da MG ad GA. vel vtreda LG ad GC. 'Sed fuperficies fphsc-
XX ALF ad fuperficiem folidi CE eft vtEG ad GC . (quod pro-
batur eodem modo vt fadum fuit fupra ) ergo in continua pro-
portione funt fuperficies vniuerfa folidi AMF, fuperficies fphse
tx AL F « & fuperficies folidi CE ^ Quod erat &c .
CoroU
l iber Secundus i
Corollarium .
Hinc fAtet etiam quod fi eidem fol ido ffhardli fdrildtero cir^
C4 diagonalem reuoluto dua ffhara , altera circumferi^atur,alte^
ra TJ ero inf cr ib atur ^tr e sjuf er fides in continua frofortione erunt
mterfe^
Propofitio XX IIL
Phasralia folida parilatera circa diagonalem rcuoluta, & ci
dem fphcer cT, vel aequalibus fphseris circumfcripta , inter fe
funtvtaxe^^
Sint circa circulum cuius centrum A duo
poligona diffimlia ,, quorum latera numero
paria fint , & conuertantur .circa diagona-
lem, Sitq; alterius fadorum folidorum B
FCjaxis BGj alterius vero nempe DGE,
cfto axis DE>, Dico folidum BFC, adio-
Hd um DGE eife vt BC ad DB .
Hoc autem patet , Quoniam folidum B
FC ad fphjcram ell vt BC ad diametrum HI; fpEsera vero.ad aD e.hmm.
terum folidum D G E efl vt diameter H I ad axem DE ,, erit ex
teqiio, folidum BFC, ad folidumDGE,vtBCadDE, Ouod
crat&c,
- H ine fac ite pftendi fot.efiexceJJum.^:quo fotidum B FCjuper at
ffhdram , ad cxcefium quo folidum HGBfuperat emdem fpha-.
ram^eJfevtB-H ^adHF>,,
C um enim-pudum BFC,ad ffhmdm fit vt BA4dJH,em di-A.huim.
mdeudaexctfiMsBFCadfif:h.4ram, vtBHadHA. BMemra-
time fif haa ad (xceJfiumBiGE em, Vt H Aud H D;ergo ex^que,
txcejfius BBC adexceffumDCB. ,fufr4 ffhxratn erit vt BH , ad '
BD ,, J^uc ^ ^
70
De Sph*rd, (f folidis JphuraMi
TropofiHo XXIV.
S Olida fphgraliaparilatera, eidem, vel sequalibus fpha^ris
infcripta , & circa diagonalem reuoluta, funt inter ie in du-
plicata ratione catetorum .
Infcribantur in circulo cuius diame-
ter AC duo femipoligona ABC, AD C,
& conucrtarur figura circa diagonalem
AC, vt defcribantur duo folida fph^ra-
lia vt imperatum eft.
Dico folidum fph^crale facium ex po
ligonoABC, ad folidum fphseralefa-
d:um ex poligono ADC, efle vt quadra
tum cateti I E , Jld quadratum cateti IH •
T, huius. Solidum enim ex ABC ad fphseram, eft vt quadratum I E ad
quadratum ICj fph^ra autem ad folidum ADC, eft vtqua-
^ * dratum IC ad quadratum IHj ergo ex ccquo folidum ABC ad
folidum AD C erit, vt quadratum IE ad quadratum IH . Q^od
erat &c.
Vropofttio XXV.
S I intra aquales, vel eandem fph^eram, cuius diameter AB,
deferipta fuerint duo folida fph^cralia parilatera, quorum
duo latera fint B C , BD s demittanturque cx pundis C, D , per-
pendiculares CE, DF ad diametrum; erit folidum cuius latus
BC , ad folidum cuius latus BD, vt AE ad AF *
Ducantur enim ex centro I ad latera BC , BD perpendicula-
res IG,IH,
Reda E A ad redam A B , eft vt quadratum A C ad quadra-
tum AB ( ob angulum in femicirculo redum ACBJ reda autem
BA ad AF , eft vt quadratum AB , ad quadratum AD , ergo ex
sequo
A
71
hiher Secundus .
^quo reda EA ad redam AF,eft vt qua-
dratum AC ad quadratum A D , hoc eft
vtquadratumIGad quadratum IH, hoc / \ per prf
cft vt folidum cuius iatus eft BC ad foli- /T / \ W
dum cuius latus eft B D . Quod erat
6cc.
Tropofitia XXVL
S I intra fphseram cuius diameter AB defcriptum fttfolidum
fphserale parilaterum , & circa diagonalem reuolutum;
demittaturque ab extremitate lateris BC quod diametrum
contingit, reda CD perpendicularis ad diametrum circuli AB,
erit conus cuius bafis circulus A F-
CBE^lritudo vero fit AD , fubduplus
folidi fph^ralis ; conus vero , cuius ea-
dem fit bafis, & altitudo DB , erit fub-
duplus diffcrenti£e,qu£E inter fphsrram,
& iblidum fphjerale eft .
Sphaera enim ad inferiptum folidum
eft vt quadratum diametri ad quadratum cateti AC (eft enim ' *
AC ob angulum redum ACB,^qualis cateto poligoni,) hoc eft
vt BA reda ad redam AD .
lam quia conus, cuius bafis AFCBE altitudo vero fit AB 5
«qualis eft hamifphaerio in eadem bafi conftituto ; erit didus
conus , hoc eft hemifph«rium , ad conum cuius bafis eadem A *
FCBF, altitudo vero AD, vt AB ad AD . Sed hemifph^rium
etiam ad femifolidum eft vt AB ad AD j vt oftendimus fupra •
Propterea conus cuius bafis circulus A F Cj^B E, altitudo autem
AD , erit «qualis femifolido fph«rali,fiue fubd uplus folidi fphe
ralis, Quod&c. ^ ^
Similiter inferetm.tomm cmm bdfis eadem AFC BE, altita-
donj€YbE>B^ [ubdu^Hm effe e^ccepsilUm , qm fphara Cdidum
fuferat . j
7» De Sphxra, ^ foUdis JpharaliL
SchoUum .
Jbemonfiramus etidm JingulaUlafoUd/i rotunda anmlarid^
defer ibuntUY in reuoluHone figura a hilineis mixtis , quale
vnum eB FC , dr folidum fpharale circ undant aqualia effe fin^.
gulis fphar oidibus ^ quarumvnuifcuiufqy maximus circulus Jit
circa diametrum FC . Axis v edo aqualis fit jiortioni reBa ex AB.
qua intercipitur inter duas perpendiculares ad ipftm A B duBas
€X punBis F <drC fic de reliquis . S ed hoc ali bi •
Tropoptio XXVII.
S I eidem circulo duo poligoiia parilatera alterum circum-
feribatur, alterum^ veto inferibatur ; & conuertatur circum
feriptum quidem circa catetum , inferiptum vero circa diago-
nalem ; erit difFerentia inter circumferiptum & fpharam, ad dif-
ferentiam inter fpharam & inferiptum, vt quadratum lateris cir-
cumferipti ad duplum quadrati lateris inferipti *
Eflo circuli diameter AB , latus
. vero poligoni circumferipti CD . &
inferipti A E. Dicoexceflum, quo
maius folidum fphafam fuperat, ad
exccfrum, quo fpheera fuperat minus
effe vt quadratum CD ad duo qua-
drata ex AE i.
1 1# 'ha- Solidum enim circumferiptum efl
iui . ad fph^ram vtduo quadrata CI , IA
ad duplum quadrati ex I A ; ergo dluidendo » erit exceflus folidi
hu-' fupra fpbseram^ adipfam fph^ramy vt quadratum G A ad du-;
pium quadrati ex lA,fiue vtquadr. GD y ad duplu quadr. ex AB
Sph^ra autem ad exceffum » quo ipfa fuperat minus iolidum,eft
vt quadratu AB ad quad r attim AE , vel vt duo quadrata ex AB
ad duo quadrata ex AE. Proprerea ex tequo excefliis folidi ma-
ioris fupralph^ram , ad excelTuti) fphprte fupra minus folidum ,
C A D
liher Secundus : 71
erit vt quadratum ex CD ad duo quadrata ex A E . Quod tot
Tropofttio XXVI II.
Q Vodlibet fphserale folidum circa diagonale reuolutum
(cuius latera numero quidem paria fint, fed nullo
modo a quaternario menfurentur^vtfunt 6 . i o, 14,
18. 2 2 . &c* ) inferipti libi rombi folidi dupliim eft»
' Sit folidum quale didum ell AB
CDEFG.circa axe liue diagonalem
DI reuolutum . Manifeftu eft quod
duo latera oppolira BL.FM. contin-
gent fphseram in extremitatibus Aj
G, diametri AG, quse quidem per-
pendicularis Iit ad DI. jquadoquide
laterum numerus a binario tantum
menfuratur, non autem a quaterna-
rio.
inferibantur iam duo coni ^ nempe ADG in femifolido, ba«
bens altitudinem HD . ; conus vero AIG in hemifphirrio . Erit
igiturfemifolidum ABCDEFG ad IiemifphMum vt axis ad
axem, nempe vt DH ad HI , hoc ejftvt conus ADG ad conum
AIG ( cum lint in eadem bali & permutando femifolidum ad
fuum co num ADG, erit vt hemifphserium ad fuum conum AIG|
quare duplum erit . Propterea omne folidum, quale diaum eft
duplum erit inferipti libi rombi folidi, Qiwd&c«
Lemmd,
Si hetr^fphmum J EC , conus quicumque reSius X)BE ean-^
dtm dlmuctinem habuerim FS-,erithemiffhxriHm adfrxdiitum
conum vt duflum bajis hemiffh^rij adbajm eiufdem coni.
S it vt ponitur ; Et infiribatur in hemifphxrio conut ABC.
£mtrgo conus ABC ad conum DBEvt bajis AC adbafimDEi
K fum~
74- 2 )^ Sphaera , ^ foliSs fiharaM-
dntec edentium dHflis\erit he^
mifphdrium ABC ad conmn DBE vt du-
ptum bdjis AC ipfius Bemifphar ^ , ad DS
b4JlmconL^od erat (drc.
•i:'.-
kuHi e
Propcfnio XXIX.
p A
Vod libet fpb^rale folidum circa diagonalem reuolutum,
cuius latera a quaternario menfurentur , ad iofcrip-
tum fibi rombum folidum , eft; vt fuperiicies inlcrip-
tiK fi bi fpbf rae , ad femifuperficiem circumfcriptce ,
Sit folidum quale df(ftum- efl ABCD-
fi. cui infcribatur femirombusjhoc efi; co
nus ACE; ad altitudinem vero hemifphe
^ . 4.
rij fit canus AFE in ba fi AE ►.
A Erit ergo femifolidum ad hemifphae^
rium vt axis ad axem , hoc elF vt CG ad
GF,fiuevt conus ACE, ad conum AFE:
f funt enim in eadem bafi;& permutando
erit femifolidum ad fuum conum AG E ,
vt hemifphgriumadalterumcoiiiim AFE, lioc efi: per lemma
pr^miffum , vt duo circuli ex fil , ad circulum ex AE , vel fum-
ptis duplis, vt quatuor circuli ex HI , ad duos circulos ex A£ ;
hoc efi: vt fuperficies infcriptae intra folidum fph^er^s , ad femi-
fuperficiem circumfcriptae, Propterca etiam dupla eandem
rationem habebunt, hoc efl totum iphserale folidum ad infcri-
ptum fibi rombum folidum erit vt dxdum cfc . Qiiod &c.
-- Voterat etiam concludi fili dum fpharaU pradictum ejfe ad in
Jkyiptum Jihi rombum^vt infcriptus inpdigono circpdus ad fe7nd
circulum circumfcriptumyruelvt quddratutn cateti GHadfemi-
quadr dtum diagonalis G A eiufdempoUgoni .
Lemma.
Si in trpdnguhaquildterc infer iptus fuerit circulus . Erit
cifcu^
Liher Secdndm 7f
eif culus ditet culus dldmet er fit Vatus trUnguU >
t i circuli.
I tficrih at ut circulus ABC in trhrtg, ctquu
latero lyEF , Sit que G puuSlum ^ centrum eja
circuli ^ trianguli > propter e a DG dupla ip*
s ius G C , hoc e fi ipsius GA . Ergo quadr, DG
quadruplu e B quadrati ex GA. (jr quadratum
DA triplum erit eiufdem GA ; ^uaye etiam
circulus cuius femidiameter sit DA triplus
erit circuli cuius, femidiameter sit CA. ^jtod
eratfdi^c.
D A f
Tropo fit io XXX.
S I circa circulum d efcriptum fuerit triangulum jequiIaterUni
& reuoiuarur figura, c ritfadus conus tequilaterus ad inferi
ptam fibi fpha:ram v t p. ad -4.
Efto circa circulum ABC trianguluni
icquiiaterum DEF , & conuertatur figura.
Dkofaiilom conum eqiiilateriim cfie ad
inferiptam fphseram in propoi tionedupla
fefqiiiquarta, nempe vt p. ad 4.
Concipiatur in hcniifphpido GAI conus
G AI . Erit iam per lemma prcecedens cir-
culus cuius diameter D F triplus circuli
cuius diameter GI ; fed conus DEF ad conum G A I rationerti
habet compofitam ex ratione altkudinum EA ad AL ; qu^ trip-
la eft : Et ex ratione bafium , nempe circuli DF ad ckeuium GI
qux fimiliter tripla eft .* quare conus D E F ad conum GAI erit
vr 9. ad vnum , fumptifqj confequentium quadruplis , erit conus
DEfe ad fphaeranifibi inferiptam, vt p. ad 4, Quod erat &Gc
E
fi De Sfhuray&fiUdisfphAraliL
Propofdo XXX L
S I ^irca eandem fph^ramdefcripti fint eonus, & cylindrus^
ambo cequilat^i; erunt tria folida, nempe conus, cylia^
drus, & Iphcrra in continua proportione fefqiiialtera »
Hoc autem patet, Pofita enim fphirra vt 4. etitfper Corol«
larium Prop. 3 o,p, partis^ cylindrus vt i conus autem often-
fus eil in pr^rcedenti elTe vt 9, Quare tria folida erunt inter fe in
continua proportione fefquialtera, Quod&c®
Fropejlth XXXIL
S PHcera adinferiptum fibi conum tequilaterum eil in ratione
numeri 3 2, ad 9,
Sit in circulo cuius centrum Ain-
C
Ducatur diameter EF ad angulos ^ :
redos ipfi CH , & concipiatur in he-
mifphserio conus ECF : Pandum A
erit centrum tum circuli^ tum etiam trianguli ^quilateri BCD ,
propterea C H fefquialtera erit ipiiiis C A ,
Sed cum etiam ICL Ft triangulum sequilaterum, erit CA po-
tentia tripla ipfius AI , ergo ,& circulus ex C A , Fue ex A E tri-
plus erit circuli ex AI; ideoq; conus ECF, triplus coni ICL , vi -
delicet vt 24« ad 8, Conus autem I G L ad conum BCD ob F-
milirudinem , efl vt cubus A C ad cubum CH, nimirum vt 80
' ad 2 7« Quare ex tequo erit conus ECF ad conum B C D vt 2 4«
ad 27. Redudaque ratione ad minimos terminos , erk conus
ECF ad conum BCD vt 8.ad 9, Sumptis igiturantecedentium
Liher Secundus . 77
quadruplis fph^ra ad infcriptum fibi conum s^quilaterum erit vt
32.adp, C^oderat&c.
Fropofitio XX XIII,
R Ombusfolidus^equilaterus circa fphsrram defcriptus eft
ad ipfam fpharam vt diameter quadrati ad latus eiufdem.
Efto quadratum ABCD circa circu
lUm cuius centrum E i & voluatur figu-
ra circa diagonalem BD ; Dico rombu
folidum sequilaterum fadum ex reuo-
lutione , efie ad fphasram vt diameter
quadrati ad latus eiufdem ,
Intelligatur in hemiTph^rio conus F
GH, cuius bafisFH^ altitudo EG, &
ducatur IM,
Erit iam conus ABC cuius bafis A€, fimiliscono FGH,vtcr
que enim redus & redangulus efi: . Ergo conus ABC ad conu
FGH erit vt cubus BE . ad cubum EG, nempe vtreda BE ad E
L. ffiintenimEB,EG,EI, EL in continua ratione) fumptis
autem confequentium duplis, erit conus ABC ad hemifph^riu^
vt BE ad EG> & propterea totus rombus folidus ad totam fph^-
ramfibiinfcriptameritvtBEadEG, hoceftvt diameter ali«
cuius quadrati ad latus eiufdem, Quoci&c,
Trofofith XX XIV.
S Ph^ra ad infcriptum fibi cylindrum srquilaterum efi: vt dia-
meter quadrati ad 3 . quart. lateris eiufdem ,
Deferibatur intra circulum cuius centrum A quadratum B C
DE, & voluatur figura circa catemm AG.Dicofph^ramadcy- ''
lindrumBCDEjeflevt diameter alicuius quadrati ad 3. quart,
lateris eiuidem, ^
Intek
/8 Sph^ra, ^ foltdts Jphxralt^»
Intelligatiir circa fph^ram aiter cy
lindrus ^rquilatcrus FILM. &produ-
da AM iunganrur AD , GO . Erunt
ob fimilitudinem triangulorum, in |
continua ratione F A, AD, AG , AP 5
Bt quia cylindri funt fimiles, nempe
^quilateri , erit cylindrus IFML ad
cylindrum BCDE vt cubus FMad
cubum CD, hoc eftvtcubusFDadcubumDG, fiuevt cubus
FA ad AD , hoc eft vt reda F A ad quartam AP . Sumptifque
antecedentium fubrequialtens , eritfphsera ad cylindru BCDE
vt du§ terr. ipfius F A ad AP ; hoc eft vt tota FA ad fefquialte-
ram ipfius AP i tiue (quod idem, eft}vt FA ad 3 .quar. r edje AD.
Confiat ergo fphirram ad inferiptum Ubi cylindrum i^quilate-
rum elTe vt FA ad 3. quar. ipfius ADj hoc eft vt diameter alicu-
ius quadrati ad 3. quar. lateris eiufdern , Qgpd &c,
Fropoftio JCX X V.
S Olidum exagonalea hoc eft fphterale folidum gehitumab
exagonq circa catetum rcuoluto, feptuplum eft coni ean-
dem fibi bafim , & altitudinem; habentis.
■ Eft o exagonum a:quilaterum,& ^qui-
angiiliim ACDEi-B &conuertatur cir-
ca catetum HI; infcribatiirq;, conus AI
B,. Dico exagonale folkium fadtum ex
reuolutione 5 leptuplum efte coni A I B .
Producantur G A, FB donec concur-
raait in aliquo punfto L> eruntque ob exa
ooniim , quatuor triangiilacequilatera O-
GA,OABj OBF, ABL,-tequaliainterfe.
Concipiatur ergo conus CLF perfedus; eritque conus AIB du-
plus con i ALBjqiiandoquidem eande habet bafim AB,, fed al-
titu-
/
Tlther Secundus l
7 9
dtudinemhabetHIduplamipfius HL. -
lam conus CLF . ad conum ALB , erit ob fimilitudinetii , vt
cubus CL ad cabum LA , nempe vt 8. ad i j & diuidendo femi-
folidum CABF eritad conum ALB » vt feptem ad vnuiTi ► Pro-
ptcreaetiamdupia eandem rationem habebunt, hoc eft folidu
exagonale integrum feptuplum erit coni AIB. Q^d erat &c.
S I circa circulum defcribamr exagonum , & reiioluatur fi-
gura circa catetum ; erit fphsera fextupla coni, qui eandem
bafim , & eandem altitudinem cum folido habeat *
^ Efto circa circulum cuius centru C H D
A G F
lextuplain efle coni AHF r •* -
Goncipiantur duo alij coni; nempe LHM in hemifphjerio , &
Alp liiper bafi AF conditurus ad centrum
Eiit ergo propter exagonum , triangulum AIF cequilaterurt;!» -
& ideo ipla IG tripla erit potentia. ipfius GA . Condat igitur
quod circulus cuius diameter LM ( dupla fcilicetipdus IG ) tri-
plus erit circuli cuius diameter AF , & propterea conus L H M
triplas erit coni AIF. . Sphsera autem duodecupla erit coni AIF »
& ideo fextupla coni AHF . . F^od erat &c^ *
Fropofitio XX XVIL •
S I Gircacirailum defcribamr exagonum , & voluatur dgu-
ra circa catetum ; erit fatonfolidum ad fatuam fph^eram
fciquifextuin»- ■
JEdo
per pr^
ced.
S o De Sphttra, f olidis fpharaM.
Efto circa circulum cuius centrum I
exagonum ABCD EF. & conuertatur fi-
gura circa catetum GH . Dico folidum
^^hcErale fad:um , efie ad fph^ram vt 7,
ad 5 .
Concipiatur enim in folido conus A
HF, vt in d uab us procedentibus propofi-
tionibus •
Erit ergo i^per 3 5. huius) folidum exa»
gonale ad conum AHF vt 7.ad vnum,co
nus autem AHF ad fphtera efi vt i . ad <^*iqaareex ^quo ericf6«
lidum ad fphjKram vt 7. ad 6* Qipod &c*
Lemmd,
_ Linea didgondis exagoni potentia fefquitertideB eateneiuf
dem ^
sit exagonum ABC cuius centrum L) ^
Dico diagonalem AC potentia effe/efqui
tertiamcatetiEF i B
Hoc autem patet . IStam duLta DB. erit g
ABD triangulum stquilaterum , ob exagO
numi ^ AD latus erit potentia ( '^fquiter A
tium perpendicularis DE j ergo fumptis li
neis duplis y etiam AC fefquitertia erit po
tentidipJiusEF . S^od^c.
Vropofim xxxvin.
S Phsera infcripti fibi folidi exagonalis circa diagonalem
uoluti s fefquitertia efi e . - ^
Sit in circulo cuiu^ centrum A deferiptum exagonum BCDEF
G 3 iuildtifqj DH>DL ^ DM ^ DI, conuertatur figura circa diago-
nalem DG# Dico Iph^ram infcripti folidi exagonalis fefqui-
ter-
Liher Secundus i $ I
tertiam effe ^ Circulus enim, cuius dia
meter H I, fefquitcrtius eft circuli cu-
ius diameter LM ( per lemma praece-
dens ) ergo conus HDI fefquitertius
eft coni LDM, fumptifque quadru-
plis, erit fphaera fefquirertia folidi exa
gonalis. Quod erat &c.
AJfumf tum fuit foUdumexagonaUquddruf Ium ejfe €emLI>
M . emm fattt ex frofofitione 2 S . huius .
Propfuio XXXIX.
S I idem exagonum dupliciter reuoluatur, nempe circa cate-
tum,& circa diagonalem; Erit folidum circa catetum' rc-
uolutum , ad folidum circa diagonalem,in fubduplicata ratione
numerorum 49. ad 48. Nempe vt radix q. num.49, ad radicem
q. num. 48,
Efto exagonum sequiangiilum , & ae-
quiiaterum ABCDEF,quod vtroq; mo-
do concipiatur reuolutum , nempe circa
catetum HI & circa diagonalem DA ; vt
inde fiant duo folida fph^ralia inter fe
diuerfa fpecie;& intra vtruq; intelligatur
fphsera inferipta . Manifeftum iam eft
( per lemma Propofitionis praecedentis)
diagonalem AD potentia fefquitertiam
efTe careti HI . Si ergo ponatur HI ratio
nalis < 5 . erit AD radix quadrata numeri 48.
Manentibus his . Solidum circa catetum reuolutum , ad in-
fcriptam fph^r. eft vt 7. ad 5 ; Sphtera autem ad folidum reuo-
lutum circa diagonale eft vt HI, ad AD, nempe vt ad rad. q,
num. 48. Qiiare ex jequo erit , folidum circa catetum , ad foli-
dutn circa diagonalem vt 7. ad radicem quadratam nun^eri 48.
L Nem-
D
A
57 Mei*
S i JDe Sphara, 0 * folidis fphiralih.
Nempe in fubduplicata ratione nmneromm 45. 48. Quod
ClTilt
Lemma .
Siymiffhmum4lthudmemhahueritfubdupi4malicuiusc»
m; erit htmifphmum 4d conum fnediaum , -vt hajis 4d h4(im .
Habeat hamiffharium ABC altittidinem
H B fubdu^lam aLtitudifzis HE coni LE F.
Lifo hemtf^hdnum ad conu F>EF , ej^e vt
€ir cuius AC ad circulum LF.
C onciftantur enim duo aly coni ABC in
hemif^hario dr LBFfu^er baji LF, Erit
ergo conus ABC ad conum DBF y vt bajis
AC ad bafim DF j fumftifqy duplis^ erit hc-
fnifpharium ad conum DE F vt bajis AC ^ ^ ^
4td bafm DF . ^upd erat cJc.
Vropafiiio X L.
S olidum paf-ilaterum circa catctum reuolutum ad infcriptum
fibi conum, rationem habet quam AB ad B C i fado fcili-
cet angulo DEB redo ,
Efto poligonum FGHILE habens Ia
tera numero paria , deferiptum circa cir-
culum cuius centrum D. & conueitatur
figura circa catctum C A $ fiatq; angulus
DEB redus . Dico folidum ad infcriptri
Ebi conum F AE , elTe vt AB ad BC .
huiut ■ Erit enim folidum ad fph^ram vt B A
ad AC 5 fumptifq^ confequentium dimi-
dijs, erit folidum ad hemi%ha?rium vt B
A ad DC , fed ( per lemma prsecedens )
hemifphserium eft ad conum F AE, vt circulus ex DC ad circu-
iumex CE rfiuevtredaDG adCBsergoex^quo eritfphasra-
^ kfo-
K A I
Liher Secundus i SI
le folidum ad infcriptum fibi conum F AE, vt AB ad BCrQ^od
crat&c.
Tropejitio XLI.
C Onus infcriptus in folido circa catetum reuoluto , xqualk
eft exceflui quo folidum infcriptam fibi fphseram fiipcraf.
Manente figura & conftrudione praecedentis . Dico fi fphsc-
f a auferatur a folido FGHILE , quod rcfiduum, quod fupereft t
ablata fphasra, sequale erit cono FAE .
Eft enim fph^raie folidum ad fphseram vt B A ad AC; dcper i » hmus
conuerfioncm rationis, folidum ad illud refiduum erit vt AB ad
BC . Sed ( per prcecedentem ) folidum ad infcriptum fibi conui
eft vt AB ad BC . Aequalis efi: ergo conus FAE, in folido fph^-
rali infcriptus , omnibus fimul folidulis annularibus quae circa
fphaeram funt; fiue differenti ?,quae efi: inter folidum infcriptam-
que in folido iphseram . Quod erat &c.
Tropofitio hXlL
H Emifphsrrium ad exceffum quo fua fphaera fuperatur a fo-
lido fphaerali circa catetum reuoluto , duplicatam ratio-
nem habet diametri [phxrx ad latus poligoni , ex cuius reuolu-
tione folidum genitum fuerat. _ ,
Manente praecedentium figura, &confi:rudione. Dicohc-
mifph^rium, ad differentiam inter folidum , «Sc inclufam fphse-
ram, effe vt quadratum AC , ad quadratum FE .
Efi; enim fphjera ad folidum circumfcriptum vt CA ad AB; whulm
& diuidendo , fphsera ad differentiam inter fphaeram & folidu ,
erit vt AC ad CB ; fumptifque antecedentium dimidijs, erit he-
mifphseriumadprasdidamdifferentiamjVtDCadCB, hoc eft
vt quadratum DC ad quadratum CE ; vel vt quadratum AG ad
quadratum FE. Quod erat dcc.
L 2 wf//-
L 2
84 He SfhdrA} folidis fphAraliL
Aliter .
1 j huma f olidum e Ii vt duo quadrat d ex CD ad duo fimul qua
drat aCD , DE . Ergo diuidcndo erit fphara ad differentiam in-
ter ipfam olidum %)t duo quadrata ex C D ad quadratum C E
fumptifq-, antecedentium dimidijs ^erit hemifpharium ad dffe-:^
re miam inter fpharam ^ f olidum , 'vt quadratum EC ad quadr.
C Effue vt quadratum- A C ad quadratum E E , M^od c^c.
Corollarium .
Qonjl at etiam hemifpharium ad conum F A E infcriptum i»
fpharali f olido ^effein duplicata ratione AC ad FE , nempe axis
coni ad diametrum bajis eiufdem . ^ptandoquidem conus FAE
demonftratus eji aqualis dfferentia inter folidum fpharale in^
Jcripiamq Jihi fph^ram ,
Fropoptio XLlIl.
S I cxagono regulari fimile exagonum infcribatur, ita vt in-
fcripti anguli punda media circumferiptorum laterum ob-
tingant, &conuertatur figura circa catetum maioris exagoni>
erit folidum exagonale circumferiptum ad inferiptu vt 1 4.ad
Sit vt ponitur Conuertaturq ue figu-
ra circa A B 3 circaq; A B diametrum co-
cipiatur fphasra , qu^ quidem maiori po-
ligono inferipta erit , minori vero circfi-
fcripta. '
fer 11. £rit iraq3 folidum nmius ad fpli^ram
^uius , y t y 2.6. d.nempe vt 1 4. ad 1 2 ; fphaera ve-
1*6 ad minus folidum erit vt 1 2^ ad 9. Er- •
go ex srquo folidum maius ad minus erit A.
vi:i4.ad9^ QiKKierat&c.
Lihr Secundus . 8$
Propofttio XLIV.
S olidum fphgerale fadumex reuoliitione alicuius poligoni.
circa diagonalem, ad folidtim ex reuoliitione ciufdcm po-
ligoni circa catetum ; eft vtre^tangukim fiib diagonali, &ea-
teto , bis fumptum , ad duo fikiul quadrata , quorum alterum cx
diagonali fit , alterum autem ex cateto ,
Eftopoligonum regulare quodeum-
qiie , habens latera nnmero paria , cuius
diagonalis fit AB, catetus vero C D. Et
concipiatur poligonum conuerti duplici
axe 5 nempe primum circa diagonalem
AB 5 & iterum circa catetum CD . Dico
foiidum ex diagonali ad folidum ex ca-
teto efie, vtre< 5 anguium BED bis fum-
ptum , ad quadrata ex & ex ED : fi~
ue vt eorum quadrupla .
Fiat angulus E B H redus , feceturqf bifariam DH in I; eritq.
EI media Aritmetica inter £D,EH : lam folidum ex diagona-
li ad inferiptam fibi fph^ram eft, vt AB,ad GD i fptera vero ad
folidum ex cateto, eft vt CD, ad CH; ergo ex sequo folidum ex
diagon.ad folidum ex cateto, erit ut AB ad CH,fiue utEB ad EI,
(funt enim femifies redarum AB, GH . ) Cum autem BE me-
dia Geometrica fitinter HE , ED ] ipfa uerb EI media Aritme-
tica sit inter eafd. erit folidum ex diagonali ad folidum ex ca-
teto ut media Geomef.ad mediam Aritinetinter redas HE,ED
Sed ratio red^ HE ad ED,ea(h cfi: ac quadr. BE ad quadr.ED;
propterea erit foiidum ex diagonali ad folidum ex cateto, ut fpa
tium medium proportionale Geometricum ad fpatium medium
Aritmeticum inter quadrata BE , ED . Spati um autem mediu
Geometricum inter quadrata B E , ED . cft redingulum B E D;
medium vero Aritmeticum eft quadratu ED, cum femiife qua-
drati DB. Ergo folidum ex diagonali ad ioiid um ex cateto erit
yire-
6, huius
1 X huius
8 6 *De Spbdra , foUdis fphAralti.
vcredangulimi B SD ; ad quadratum ED cum femifle quadrati
DB ; Vel ( fumptis duplis ) vr rcdangulum BED , bis fumptum ,
ad quadratum £D bis , cum integro quadrato DB . Siue vt re-
dangulum BED bis fumptum , ad quadrata B E , ED . Quod
erat &c.
AffumpJimusreCidngulum BED ^ medium froportionale ej^e
inter quadrata BEyED . Hoc enim patet in propojitis quih^uf^
cunque reciis duabus lineis ^
AJfump fimus etiam quadratum ED cumfemtffe quadrati DB,
ejs f medium Aritmeticum inter quadrata BE^ ED . M^d patet
quadratum enim EEfuper at quadratum ED quadrato BD.
Corollarium ,
Hic pro Corollario demonflrari potefl ^folidum ex diagonali fa
Bumfemper minus ejje folido y quodft ex cateto ; quando idem
poltgonum conuertatur circadiagonalem, c!r circa catetum . De^
monflratur hoc modo \
Quoniam reiiangulum BED his fumptum, minus eji duobus
quadratis BE, ED ( funt enim in continua ratione quadtatum
E Byreiiangulum DE B, (jr quadratum E Dyideoq; dupla media ^
minor eft duabus extremis magnitudinibus ,) Etefivt reH an-
gulum BED his fumptum ad quadr, BE, E D fimul, it a f olidum
ex diagonali ad folidum ex cateto ; Erit f olidum ex diagonali
minus quam folidum ex cateto. S.uod erat rfrc.
Si quis autem quar at , qUo e xcejfu folidum ex cateto Juperet
folidum ex diagonali . Hoc modo illum proportione notum habe-
btt
Faciat vt duo quadrata BE , ED fimul, ad quadratum quod
fit ex differ enti arcularum BE, ED , ita maius folidum ad aliud:
Bt habebit excefium quo maius folidum fuperat minus .
Fropo^
' Liher Sccmd$ts> • 87
l^ropofno X LV.
S I intra poligonum regulare parilatcrum infcribatur fimilc
poligonum , ita vt anguli infcripti bife6iione$ laterum cir-
cumfcripti contingant;conuertafurq; figura circa catetum maio-
ris poligpni; Erit maius fo licium fph^rale ad minus, vt funt duo
fimul quadrata duarum diagonalium , ad duo quadrata minoris
cateti .
E fto poligonum parilaterum ABC &c.
intra quod infcribatur fimile poligonum
AlC &c. vti didum eft , Conuertaturqj
figura circa AC catctum maioris poligo
ni . Dico folidum fph^rale A BC^ad fo-
lidum A I C effe vtduo quadrata fimul
duarum diagonalium, nempe BD, DC.
ad duo quadrata minoris cateti DI. Cir*
cumfcribatur folido AlC fua fph§ra,qu5
alteri folido infcripta erit,
lam folidum ABC ad infcriptam fph^ram , eft vt duo qua-
drata fimul BD,DC ad duplum quadrati D C ( per 1 3, huius ,)
Sph^ra vero ad infcriptum folidum efl:,vt duplum quadrati DC
ad duplum quadrati DI ( per 7, huius ) Ergo ex tequo maius fo-
lidum fphterale ad minus erit vt duo fimul quadrata BD,DC ad
duplum quadrati DI . Quod erat dcc.
Fropofmo XLVI.
I lfdcm pofitis: fi conuertatur figura circa diagonalem maioris
poligoni G C . Eritmaius folidum ad miaus , vt integer axis
AC maioris folidi , ad vtramque fimul , nempe femicatetum D
G minoris^ & quartam proportionalium GF s fi fiat vt femidia-
gonalis minoris ad femicatetum j ita femicatetus ad tertiam , &
tertia ad quartam ♦
Eflo folidum quale pofitumeil ABCH* cui infcriptum fit fo-
lidum
M
A
S 8 De foltdhfph^ralih
iidumIBD.vtididumeft. Duca-
tur , D£ perpendicularis ad GB,&
EF ad GCjeruntq; in continua pro
portione CG, GB,GD, GE GF.ob
angulos re(fios.
lam folidum maius ad fph^am
eft vt AC ad HB Fper d.huius^/fph^
ra autem ad folidum minus eft vt
HB ad vtramque fimul D G. GF
( per 1 4. huiiis^ Qimre ex sequo fo-
Edum maius ad minus erit vt h G
ad vtramque fimul DG. GF . nem-
pe quod propofitum fuerat .
CorolUrium.
Scando foltdd fr^diBa ab exdgom genita fuerint: demo n frd
tur quod fojita recta aC 32.DG.(drGF nota funt * nempe D G,
GF, p . Ergo in hoe cafu folidum maius ad minus efet vt
sz.adzi.
Super eft nUnc vt folida fpharalia ahfolute conftderata inter fe
conferamus^ dr hoc quot modis fieri poterit : quemadmodum in
proemio operis nos ejfe f alturos promif eramus ,
Propofitio XLVIL
S olida fphfralia parilatera circa diagonalem reuoluta, inter
fe funt vtparalielepipeda bafi quadr. cateti, altitudine ve-
ro diagonali eorumd em .
Sint duo folida fphseralia parilatera cir
ca diagonales AC, DF reuoluta . Sintq;
HI,LV perpediculares ad latera CB , FE,
Dico folidum fphaerale ABC ad folidum
DEF . elfe vtpatallelepipedum bafi qua-
drato HI altitudine uero HC jad paralie-
liher Secundus i
cp. bafi quadrato LV , altitudine LF .
Intelligatur vtrique circumfcripta fph^ra fua* Tunc enim fo^ f , hum:
lidum ABC ad fphseram fuam erit vt quadratum IH ad quadra-
tum HC,fiue ( fumpta communi altitudine CH ) vt parallelepir
pedum bafi quadrato IH, altitudine HC , ad cubum HC. Sphig-^
ra autem ABC ad fphseram DBF , eftvt cubus HC ad cubum
LF . At fphsera DE F , ( vt nuper in altera oftendebamus ) ad
folidumfuum DEF.eil vt cubus LF,ad parallelepipedum bafi
quadrato LV , altitudine LF : ergo ex a?quo erit folidum ABQ
ad folidum fphicrale DEF , vt parallelepipedum bafi quadrata
HI , altitudine HC; adparailelepipedum bafi quadrato LV, al-
titudine LF. Q^derat&c.
SchoUum ,
idem cencludetm etidm fi concipianturfphctrdtHxtd ff, huius
intra data fol id a inferipta ,* fiue altera tantum inferipa , dlterd
vere circumj cripta iuxtd d.dr 7 >huius ficut experi enti patebit .
Tropofm X L F 1 1 1.
S olida fphceralia parilatcra circa catetum reuoluta inter fc
funt, vtparallclepipcda bafi quadrato diagonalis,aItitudi-
neveroqucB fitsequalis cateto, & quarcse proportionalium, fi
fiat vt diagonalis ad catetum , ita catetus ad tertiam , & ita tertia
ad quartam .
Sint duo folida fphseralia circa catetos
B, & D reuoluta . Continueturqiie ratio
A ad B in quatuor terminis A,B,E,F . Ire
ratio diagonalis C ad catetum D conti-
nuetur in quatuor terminis C,D,H,I . Di-
co, primum folidum ad fecundum eflevt T r I
parallelepipedum bafi quadrato A, altitu . . 1 1 1 ] ] I I
dine vero B & F ; ad parallelepipedum AE B ^ PK I
bafi quadrato C. altitudine vero D & L
M
Abis
I
90 SDe Sphara , foltdts fpharaM.
A bis fumptam.Mcceptaq; communi baii quadrato A ; erit foli-
dum primum ad fphteram fuam , vt parallelepipedum baii qua-
drato A , altitudine vero B &F fimul, ad duos cubos A . Sph^-
ra autem prima ad fecundam fph^ra eft vt duo cubi A ad duos
cubos C . Sph^ra tandem fecunda ad folidum fuum, eft vt duo
cubi C , ad parallciepipcdum baft quadrato C altitudine vero
D, Sc I fimul (quod oftendirur vt nuper fa6tiim eft in prima fph^
ra ) ergo ex aequo primum folidum fphaerale ad fecundum , erit
vt parallelepipedum bafi quadrato A,altitudine B & F fimiiftad
parallelepipedum bafi quadrato C altitudine vero D Sci fimul •
Qupderat&c.
Scholmm .
Idem concludi foteB fi fph^Tde. eoncipantut intrdipfa fiolidd
infcriptd tuxtuPropofimonem i ^.huiusj fmeaUerainfcripta^dL
teravero circumfcriptdiuxtd I 1 4. huius . Quando vero,
termini proportionis Mij euadant } prepofitis^ vtin hdc ,
quentibus ':ids proportionem ft mper edndem efie , in quthufcUm
que tdndem terminis euenidt, i/
Propofitio I L.
S Olida fph^raliaimparilatera funt inter fe vt parallelepipe-
da , bafi quadrato perpendicularis , qu^s ex centro pollgo-
ni ducitur in latus eiufd em, altitudine vero aquali pr^did^e per-
pendiculari, vna cum dupla eius , qute ex centro ad angulum po
ligoni ducitur, & cum tertia proportionalium ad duas prsedi-
das . .
Sintfolida fph3eraliaimparilateia,circacatetosB,&D. re-
uoluta . Continuetur ratio perpendicularis B ad radium poligo-
ni A in tribus terminis B, A, E . Item ratio D. ad C in tribus ter-
minis D,C,I, continuata fit . Dico folidum primum ad fecun-
dum eflevt parallelepipedum bafi quadrato B, altitudine vero
aquali B femel , A bis , dc Etfemel , fimuiq; fumptis, ad paralie-
lepipe-
Liber Secundus i 91
lepipedum bafiquadr. D. altitudi-
ne vero aequali D . femel , C. bis ,
& I femel limulq; fumptis . v \
Concipiatur in vtroq; folido fph^ /vBr^
rali fua iph^ra infcripta, eritq; foli- -
dum primum ad fphseram fuam vt ,
B & E fimul cum dupla ipfius A ad
quadruplam B.fumptaquecommu j .
ni bafi quadrato B . erit folidum B -A. Ei
primum ad fph^ram fuam vt paral-
lelepipedu bafi quadrato B.altitudine vero B & E cum dupla A*
ad quatuor cubos B. Sphicra autem prima ad fecundam efl,
vt quatuor cubi B ad quatuor cubos D; Sphaera tandem fecunda
ad folidum fuumcft, vt quatuor cubi D. ad parallelepipedum
bafi quadrato D« altitudine D &I cum dupla ipfius C ( quod
oflenditur vt nuper fadum eft ) ergo ex aequo patet quod propo
fitum fuerat, dcc.
Tropojitio JJ.
S Olidum fphseraleparilaterum circa diagonalem reuolutu,
ad folidum fph^rale parilaterum circa catetum reuolutum,
eft vt parallelepipedum bafi quadrato cateti , altitudine diago-
nali bis fulnptum , ad parallelepipedum bafi quadrato cateti fi-
mul diagonalifque , altitudine vero cateti .
Sint duo folida fph^-
ralia , quoru alterum
circa diagonalem A
fit reuolutum, alterum
vero circa catetum G.
Dico folidum primu
circa diagonalem, ad
folidu fecundum cir-
Xf pwfldepipedfibafiquadr. Balti^^^ A
M a bis
■"i- .
$ X De Sphai^a, 0* foUdis fpharalih.
bis fumptum, 5idparailclepipedumbafi^qiiaJiquadratisC,D,
altitudine vero C. -
hmu$. Intelligatiir in vtroque folido infcripta fua fph^era. Et erit fo«
lidum primum ad fph ceram fuam , vt reda A ad Bjfiimptaq; ea-
dem bafi quadrato B ; erit folidum primum ad fph^ram fuam,
vt paraliclepipedum bafi quadrato B altitudine vero A , ad cu-
buiTiB.fiuevr duplum didi parallclepipedi ad duos cubos B.
, Spb^ra vero prima ad fecundam eft , vt duo cubi B, ad duos cu
13 mus Sphara tandem fecunda ad folidum fuum eft, vtduo
quadrata ex C, ad duo quadrata C , & Dj fumptaque communi
altitudine C, efl, vt duo cubi- C, ad paralklepipedum bafi aqua
Ii quadratis C& D . altitudine vero C. Propterea ex aquo pa-
tet quod propofitum ei ac •
Tropofitio LI.
S olidum fph^rale parilaterum circa diagonalem reuolutumj
ad folidum fpharaleimparilaterum efl, vtparallel epipe-
dum bafi quadrato cateti, altitudine diagonali quater fumptumj
adparallelepipedum bafi quadrato reda illius qua ex cenrro
poliigoni imparilateri perpendiculariter ducitur in latus eiufde i
altitudine vero aquali pradida perpendiculari^ vna cum dupla
illius qu^ ex centro ad angulum dmte, & cum tertia propor-
tionalium ad duas pradidas.
Sint duo folida fpharalia, nempe
primum parilaterum circa diagonale
A conuerfum, alterum vero imparila-
terum circa catetum C reuolutum.Co
tinuetur ratio C ad D in trib.terminis
C,D,E. Dico primum folidum ad ^ t 1
fecundum efre, vt paralielepipcdum ] 1 ;
bafi quadrato B, altitudine A quater • ^ DM
fumptum , ad paralielepipcdum bafi
quadrato Cjaltitudinc ver6 ^eq^ali redis G> 6C E cumdupla D'.
fimul
Liher Secundus { . 95
fimul fumptis .
Nam iolidum primum ad fphceram fuam eft, vt re(5la A ad B j
fiue fumpta communi bafi quadrato B-j vtparalklepipedum ba-
fi quadrato B altitudine A , ad cubum B 3 Vel ut parallelepipe-
dum pi ^edi(5tum quater fumptum , ad cubum B quater fumptum
fphserauerb prima ad fecundam eft utquatuor cubiB ad qua-
tuor cubos C, Sphasra denique fecunda ad folidum fuum ( ut
oftenfum eft in qp-, huius ) efl utquatuor cubi C , ad parallele-
pipedum bafi quadrato C, altitudine uef 6 aquali redfis C & E
cum dupla D . limul fumptis, Proptcrea ex aquo patet quocf
propofitum erat ,
Trofofitio L II.
S olidum fpharale parilaterum circa catetum reuolutum , ad
folidum fph.imparilaterumjefi; ut parallelepipedum bafi
aquali quadratis diagonalis &cateti altitudine cateti bis jflim-
ptum , ad parallelepipedum bafi quadrato linea qu^ ex centro
ducitur perpcndiculariter in latus poligoni imparilatcri , altitu-
dine uerb aquali pr^di(5ia linea , una cum illa que ex centro ad
unum angulum perducitur, cum tertia proportionalium ad
duas pr ad idas •
Sint duo folida fpharalia? alterum
parilaterum circa catetum A reuolu*
tum ; alterum imparilateriim circa C
conuerfum . Et ratio C ad D , conti-
nuetur in tribus terminis C,D, E, Di-
co primum folidum ad fecundum ef
fe, vtparallelepipedumbafi aquali’
quadratis B & A , altitudine vero A,
bis fumptum; ad paralleiepipedum
bafi quadrato C , altitudine vero aquali C , & E, cum dupla ip-
fiusD.
, Nam folidum priaium ad fpharamfuameft,vt duo quadra- ishmm
ta B ■
j?4 . De Sphdra, (f Jolidis fiharaliL
r4iB& A, ad duplam quadrati A. iiuefumpta commntii altitu-
dine A . vt paralielepipedum bafi aquali quadratis B & A, alti-
tudine A ad duos cubos A . Vel vt didlum paralielepipedum
bis fumptum , ad quatuor cubos A . Sphsera autem prima ad fe-
cundam , eft vt quatuor cubi A ad quatuor cubos C . Sphsera
denique fecunda ad folidum fuum eft vt quatuor cubi C,ad pa-
rallelcpipedum bafi quadrato C altitudine ecquali C& E, cum
dupla D.( ut oftenfum fuit in Propof. 49, huius* ) Ergo ex ^quo
patet quod propofitum fuerat .
FINIS,
DE M O T V
G R A V I V M
Naturaliter defeendentium ,
£t Proie6lorum
L 1 B K I D V O.
In «quibus ingenium naturae circa para-
Dolicam lineam Ludentis per mo-
tum oftenditur ,
Et vntuerfa TroieBorum dcBrina njnins
de [eri ft tone femicir culti
aifolmtur.
1
F
f'
- 9 .
«i.
• '-K--
f
i
..;^vr
\ ••
IT-. . ^
-^p ..
u/i. .\iL
\«t 1- (j s’!
•-f''
..■■•« - yt 'i
v-*;' ■ .j, ■> .
/
?■
r
ot-^T
. s
•O'.'
: '-•■ j."
■i',: ■ ‘ '
.:' ':iri . ■
■ i; .•-•■■" ■ ■:'vV-’' 'Sr ;u.
i-M-.
•i -4 '
' '-icO'
" '-i •■■' •' ,V
f
9 ?
DE MOTV GRAVIVM
Naturaliter defcendentium .
LIBEK PMIMVS.
CIENTI A M demotuG.&Pr.apIu
ribus quidem tradata, ab vnico (quod
ego fciam ) Galileo Geometrice de-
monftratam, aggredi iib et. Fateor,
quod ille totam hanc fegetem tamqua
falce demefTuit, nec aliud fuperefl no-
bis, nifi vt tam feduli melToris vefligia
fubfequentes, fpicas colligamus, fi qug
ab ipfo vel relid^e fuerint, vel abiedse :
fin minus, Liguftra falteiu, &: humi nafcentes violas decerpa-
mus ; fed fortalfe 3c ex floribus coronam contexemus non con-
temnendam.
Principio qusedam de momentis grauium proponemus , vt
aliqua fuppleamus , quse quodammodo opportuna videbantur
ad icientiam . Deinde qusedam de parabola , qusr nobis ad
propagationem huius do drin^e vtilia videbuntur, Reli-
quum libri primi propofitiones erunt de motu accelerato j
iilarumque ordo quo . ad fieri poterit in tam diuerfis rerumu
tnaterijs , negledus penitus non erit* Libellus alter de Mo-
tu proiedorum tradabit, ampliata Galilei dodrina , & de-
monfir atlonibus plerumq; mutatis . Tabulas certe , quas ipfe
iludio , ac labore compofuit , omnes ex tabula finuum a nobis
foliustranfcriptionis moleftia , decerptas exponemus nam hy-
pothefis noflra, iuxta quam proledhones furfum fiidas contcm
piamur, aperte indicauit nobis tabulas a Galileo elaboratas in
ipfis finuum, ac tangentium tabulis exprcfse inclufas , & infer-
N tas
p 8 ^De motu rmmm defcsndent.
tas eife debere .. Poftreino noriiias ciuaidaiumilitarisconfir ii-
dionem fubijctmus , qu.^ cum diueria fit a v ulgari norroa , cu-
ius ope vniucrfa res tormentaria adminifiratur, cerre , & feien-
tificephylofbphos docebit quantum axis cuiufq; tnacbina?pro-
icientis, eleuari debeat , vc illius iadrus propoiit^ , ac determi-
natae menfur^ euadat . Quin etiam omnia problemafa iucun-
da fcitu, vfu non inutilia, qua circa hanc materiam proponi pof
funt, foluta vnico intuitu in arpedum dabit .• vt ibi fiifius expli-
cabimus . Definitiones omi fimus, & genere feriprionis contra-
do , laconicoq; vfi fumus , quia dum vniuerfam Galik i dodri-
nam pro fuppofitione praiiittimUs ledori erudito feribere pro- ■
fitemtir^
AHuyus de Motu nutur diter Accelerato Galileus prine ipum
fupponit ^ quod ipf e non admodum euidens putat dum illud
parum exacto penduli experimento nititur comprobare . hoc e.B .
Suppo- velocitatis eiufdern mobilis fuper diuerias planoru in-
clinationes aquifitos,tuncelIe aquales 5 GumeoruiTide planoru j
li lai c^euationes aquales fint . Ex hac petitione dependet quafi^vni-
aer f a illius doctrina de motu tmn ac celer at b , tumproi edi orum .
Si quis de principio dubitet de ijs qup^inde aBJEquuntur certam-
omnino f dentiam non habebit . Scio Galileum vkimis <vjt£ fua \
annis fuppojttion em illam demonitrare conatumyfed. quia ipfius 5
argumentatio cumlib.de Motu edita non ejt paucahacXdemo-^ 4
mentis grauium libello noBro prdfgenda duximus ; vt appare-, |
atqu))dGalilHfuppofitio demonfiraripoteft t‘dr quide}n tmntp |
diate ^ ex illo Th eoremate quod' pro demanBrato ex Methanicm
ipfe defumit infecunda parte fextcB. Propofitionis de motu acc ei S
lerato^vide licet . Momenta, grauium aqualium fuper planis inge J
qualiter inclinatis efe inter fe vt funt perpendicula partium
aqualium eorumdem planorum . V erbi gratia .. |!
Sintpland. ‘Cih in<icquaUt er inclinata^ ^fumptisaqud- b
libas a b y c b . ducantur perpendicula ad horimntem
b fit Supponit Galileus pro demonftrato y momentum in plano a 1|
ad mom en tum in plano cb, ita ejje vt e B zc. .ad c f . Nos
quia m hniufmQdi T heoroma non incidimus., hoc primumaliqua ' \
demon^- ;i
Lther Primus i
^emonfirdfioni confirmaUmus: protims
ad oflendendum id quod Galileo frincifi^
umjlue petitio e fi , accedemus .
Ty amittimus ^
Duograuia fimulconiunda ex femo-
grauitatis ipfomm defGendat.
^^i^^ duograuia ita inter fe coniunB afuerint ad
motum vnius motus etiam ait erius confeqUatur , erunt duo illa
grauiatdmquam grauevnum etc duobus compofitum^fiue id li^
bra fat,fiue troclea ,fiue qualibet alia Mechanica ratione.gr A*
ue autem huiufmodi non mouebitur *vnquam, nificentrumgra^
uitatis ipfius defcendat . ^ando 'vero ita conftitutum fuerit
njt nullo modo commune ipfius centrum grauitatis defcendere
pojft ygraue penitus in fuapofittone qmefcet\alias enim frufira,
moutretur i hori^ntali , fcilicet latione ^ qua nequaquam deot^
fum tendit*
TROPOSir 101.
S I in planis inaequaliter inclinatis» eandem tamen eleuatio»
nem habentibus, duo grauia conftituantur, quae inter fe
eaedem homologe rationem habeant quam habent longitudi^
nes planorum, grauia aequale momentum habebunt .
Sit ^ . horizon plana in^qualiter
inclinata ca,cb, Fiatvt^c ad cbykz
graue aliquod adgraue ir Etgrauia ^
hcTC in homologis planis collocentur, in ■ ^ ^
pundis a, 3cb, eiufdem horizontalis
line^i'" Connedanturetiam aliquo imaginario funicule^ per a
cb , dudo , adeo vt ad motum vnius motus alterius confediia*
. Dico grama fie difpofita aquale momentum habere: hoc eft
N j in ea
loo De motu grmmm defcenient.
in cainqua funt poiitione aquilibrata coiiquiefcerb, neq^fur-
fum aut deorfum moueri . Oitendcmus enim centrum commu
ne g-i\iuitatis eorum defcendere non polfe , fed in eadem fem"
per horizontali linea ( quantumlibet grauia moneantur ) repe-
riri.
Non habeant fi poiHbile efi: aquale momentum ^ fed altero
pr^ponderante moneantur, &afcendafgraue /sf verfus c, de-
fccndafq; graue h . AiTumpto iam quolibet pundto cum gra
ue d futui in e, & ^ in ^5^, erunt iiriea ^ aquales , quia
idem funiculus efi: , tam acb^ quam ecd . Demptoq,mommu-
ni e ch remanent aquales ae^ bd. Ducatur e/^parallela ipfi
&connedlanturpun(fta e Eftigitur graue ad graue
Txempil hoc efi: vt ad ^/,hocefi: hd, ad ef^hoc
Archim. efi dg ad g e reciproce . Eff ergo pundfum g centrum grauita
^puipon tis commune grauium connexorum, & efi: in eadem linea horD
zontali in qiia fuerat antequam grauia mouerentur . Duo ergo
grauia fimul colligata mota funt , & eorum commune centrum
grauitatis non deicendit . Quod efi contra pr^mifiiim aquili-
brij legem. '
I
PROPOSITIO II. I
M Omenta grauium aqualium fuper planis inaequaliter in^ q
clinatis , eandem tamen eleuationem habentibus , iiint
inreciprocaratione cum longitudinibus planorum. 4
Sint plana‘ 4! ^ ^ c insequaliter incli- : ; ^ |
nata, & ad idem pundum eleuata-^. ft ^
Sintqj in eilHem planis aqualia grauia d
& c , Dico momentum grauis ad mo- I
mentum grauis ^, cfie reciproce, vt 4 ^,. i
ad Fiatvt 4^,ad graue 4 . $.
ad graue aliud deponatur 4 ^. in plano : . |
Ergo per procedentem erunt ipforum 4,8cd. momenta |
aqualia. . 4 ■ I
Momentum autem <■ . ad momentum ^ efi: v t moles ad mo- |
!em ( gula iimt in eodem plano^ hoc efi: vt moles 4 , ad molem i
dihoc
Liber Vrmtis . loi
d \ hoc eft vt db j ad ^ . Eft ergo momentum c.^A vel ad
momentun^ d . ipfi momento d . sequale bc . Quod
eratdcc.
AUtet .
idem t^uod hic demcnflrauimits exFrma. Frofofmone
fumpo frincipo deduc ehdt ud impojjib/ie, oslendetur etiam ab~
folute, dr djprmatiue ex iffis Mechanica princtfijs .
Lemma,
Momentum totale grauis ad momentum quod habet in pla-
no inclinato, eft vt longitudo ipiius plani inclinati ad perpendi
culum .
Sit circa centrum z* fphara grauis in
fhno eleuato hc,tjrft plani perpendicu-
lum c e . dico momentum totale grauis a
ad momentum peculiare quod habet in
piam hz^^effevthc.ddct.
Produc aturrcB a d a . per contaUum d,
^'per centrum a . qua ideo perpendicula^-
ris erit ad planum hc.elr quolibet centro
i. jiant quadrantis portiones 6. g,ah . & ducatur i ^ . heri-
x,ontaUs ^ (jr d i , a 1 . adhorinmntem perpendicularis .
lam Angulus f d c , vellus ejl , ^ anguli b , c .fimul aquales
funtreClo , ergo ablatis l Ac, dee, alternis parallelarum , re-
manent aquales lA\,^\i , Sunt ideo Jt milia duo triangulare-
Uangulai A i ,hct,Iamfic ,
Sed quando graue circumfertur d femi diametro f h , fue f a ,
manente punil o f tunc momentum totale eius , hoc eB , momen-
tum quod habet infitu h , ad momentum qpiod habet in fiw a ,
efi njt h£ . ad i \ , jhe a f . ad fl , hoc eB d f . adii , velh c.
ade e . ob fmilitudinem triangulorum . ^ttod erat (fc,
flmd autem idem momentum fit grauis confiButi , fiue 'in
:■ pun Lio a quadrantis zh^fiu^ in punBo d .quadrantis A fi-
uein
102 I>e motu Crauium defcendent.
U€ in fm&o d,j?l 4 ni tangentis.^ dubitandum non 'videtur; quan
doquidem angulus contingentia inclinationem non minuit ^ ne’‘
que auget .
Hinc Propoiltio fecuada iterum .
Momenta grauium aequalium fuper planis inaequaliter inclina-^
tis funt in reciproca ratione cum longitudinibus planorum ,
Momentum in 2L,ad totale memen
fer pr AC e deus Icmma^ efivt
totale autem momentu admo
^.ejl'ut ^c.ad c d ; ergo per perturba
rationem^momentum a ad momentum
eji reciproce , c f, .ad c hdrc.
Corollarium .
Hinc colligitur momentu fphcera granis fupfr diuerfas pla-
norum eleuationes femper efle vtlinea illa horizontalis quse a
contaduin ipfa fphirra ducitur .
Sit fphara granis circa centrum
plano b c 'utcunque inclinato ; dr duca-
tur b d . hortTfntalis a conta&u: oflen-
demus momentumfphar^ in fitu in quo
eB , ejje lineam b d , {pofitafemper dia-
metro fro momento maximoyfiue totali,)
Pro ducatur horiZiOn d b demittatur
que perpendiculum c£,J quolibet fun-
Mo ; df ittngatur. e d .
Angulus e Aqualis efl angulo d bh . per $2, tertq ; eidem
d b h . ^ aqualis c b i^ ad 'uetticemiergo aquales funt inter fe
anguli e 5 ^ c b { funt infuf er triangula e d b . b c £reBangu-
la 5 ergo fimiliafunt inter fe . Sed tam oBendimus momentum
tot ait fphara ad momentu quod habet in eleudto plano €jfcvth,C
ad c £ynempeujttp/a diameter e b • ad horizontalem b d, qus
intr a Jpharam a cora aci u ducitur ,
Si verograue non fit fphArafed quodcunqi f olidum a * habe-
bimus
Lihsr Primus^ l ioj
bimUs nihiUmmus finguU eius momen- ^
td infingulis planorum eleuationibusfd ^
citime . Solue.mus etiam Proh lemd Pap-
pi lib* 8 .Propopp . famofum apudGuido--
baldum^i dp Cabeum (jrf,.
Sit gr au e di. in plano -dih , dp q^<&Y a-
tM in hoc fitu momentum eius\ fiue potentia^ a qua in hoc plano
z\> .fufiinetur ..
Ponatur momentum totale grduis ; *vel-ipote 'ntiam quafujli-
net pondus a . in plano perpendiculari ejie bcyd^ circa b c ere-
ctam ad harimntem jiat femicir culus c d b, . qui fecet ab . in d
Dic a momentum granis a ^Jiue potentiam qua illud fu-Ttinet
in plano a b .ejie b d . Ducatur perpendicularis e f.a quolibet
punBo e. & erunt triangula c b d, b e i.jimiliar, quia cum jint
'Vtraci\ reciangula ^ anguli etiam c b d . c funt alterni. lam
qttia momentum tot ale granis ad momentum quod hahet in pla-
no c h .ejlvt^h .ad e erit etiam vt cb , adb a. ob fmili-
tndjnem triangulorum y Djl igitur mom entum grauis , in plano
a b . vt linea intercepta, b d . ( po jit a jemp et diametropro totali
momento.)':
^t^o ad propo fit ionem Pappis manifeftum e ft\ f potentia bc
ttquatur totali momento b c . potentiam b d . t^quari momento
in plano b d .^uare potentia: b d fujiitiebit pondus a .in propojittt}
plano btdpc,
vSchoIlum::
Tam d 't monjir ari primum pote il Pro-
pojitio fextardatitei de motu accelerato ..
Sit enim angulus a b c reMusi dr 2s:. pet
pendicularis ad hon^pntem. c d ..dpp^^-
ducatur a b d.Erunt d a, a c-tfOiContinu^
proportionales \ at per 2. huius momentu:
in a c.ad momenta in a d.efi reciproci vt ad ad ac. hoc ejUvt-d. c*.
ad: a b -i Ergo eji homologe , momentum, in. a c ^ admomeMtumdn:
a.b,,9,
Ajfumi-*
tuT a Ga
ULin < 5 .
de Motu
accel,^
1:04 De motugrMium defcendent.
a b , vtfpatwm a c , adf^^tmm a b ; eodem tempore perd-
gentUY ipfa fpatid a c a b; Supponimus hic cum ipfo GalileOy
^ijelocitMes in diuerjis planorum ihelindiionibus ^ itd ejfevt
funt momenta qudndo eadem fuerit moles , Sed cum angulus
a b c. ponatur rcpfus.^erunt b c. ab in cirGulo cuius fublime pun
Cium eJi a, dr diameter ac . S^od c^c.
p R 0 p 0 s I r I o III.
M Omenta grauium ^'qualium fuper planis inaequaliter in-
clinatis , funt in homologa ratione cum perpendiculis
partium gqualium eorumdem planorum •
Sint partes jrquales ah, ac» planorum ingqiialiter inclina-
torum, & eorumdem perpendicula Hmhd» ce. Dico momen-
tum grauis in plano ^ ad momentum jeiufdera in plano c d^^i
ItQMt b d y 2 id c e .
Ducatur hf, ipfi c a . gquidiftans . Erit-
que per fecundam huius momentum in b
a , ad momentum in bf hoc eft in ac,
( funt enim plana bf, ac parallela )vc
fhyS)i6. b d. hoc eft: vifby adeaf cum fint
^quales partes b a a) vel vt bd,aAce, ^
( iunt enim gquiangula triangula /'^ a
ge. oh lineas parallelas , ) Ergo momentum In b a, ad mo-
mentum in Cdy eftvt bdyzd ce. Quod erat &c.
Corollarium.
M mc manifefum eji motnenta grduiUm fhper planis indqud^
Uth inc linatis ejfe vt funt f^s re Cii angulorum eleuationis ,
Quando vero fphfra non moueatdr in aliquo plano Uberafed
alligata ad ex iremum femidiametriy manente alio extremo^ ipfa
per quaaramem circumferatur^ erunt mometa tiusvt funt/mus
gompkmmti angulorum eleuationis, Uam momentum a, ad
momen^
Libet ^rmns. ?oS
mminium b , 'tBm c ^ * d. e » hoa ^fi
afvW h^nemfevtfinus cj>f Umenti 4 n"
gukrum eUnMionU^ ^ ,
Aliter habebimus menfurUm momenU^
rumjph§rp A ftmidiametro circumduB a y
invnoquoqy quadrantis f urici & . OBende^
mus enim.
Momentafphar^ fer quadrantem cir<eumduB^ ejfevt funt li*
ne a horizjontaks y qua a funBo connexionis ffhar^ cum diame^^
troyintra fph aram ducuntur , A
Sit quadrantis centrum ^yj^hara .
grauis circa b ,: dpunko connexio-^
ms c. ducatur horizontalis c d . JDu
€0 momentum f^hpr^ eJP -
femper diametro fpbp a pre maximo. (t-
ue totali momento i) Demittaturper^
.fendkulum be« 'Momentum totum
fphs^a ad momentum quod habet in b.
eB vt z iy ad a e , ^el'ut b a ad a
hoc eB b c . ad c i , ^ fumptis duplis^ vt h C ^ diameter ad C d
horizontalem in fphara y qua-ducitur a punBo connexionis ^
^uod erat
Si ‘vero graue circumduBum mn fit
fphara dabuntur nihilominus fingula
eius momenta hoc modo . Sumpto in ho~
eizontali linea quolilf et interuallo a b •
fiatckculus adg. I>ko circulum
fingula fingularum eleuatvonum
$a metiri : Es momentum grauu
fe lineam interceptam a d . pofita fem«
per diametre d.%.pro totali momento ) E fi enim momentum /#-
C0 ffioc cBvtc SLadaf.velvf
ad lineam interceptam
Eadem d^ ^ ^eritfiotedtia qdi^Jufiine^^^^
10 6 De motu gyamuin aefcendent.
fondmusfotentidm qu<z illud fu flinet i}i e . ejfe a g .
, AJpifnp fimus triangula k c f , a d g . ^ fimiWa , quid cum
tcliangulafint ah ent angulum communem ad a.»
Scholium*
JD emonfirari fecundum fote fi Propofitio feuta Galilel dc Mi
m ac celerato fer tertiam huius , pr^milfb hoc Lemmate »
^ ' tcmina,
Si circa eandem r ellam lineam a b fue*
rit femic ir culus y ifr quadrans ^ ^ in quadran
te ducatur qualibet femidiamet er b c . Prit
b d, interce ftainficjnicir culo dqualis iffi c
e . ferpendieiilari in quadrante . 'BUcatur B
enim a d . tunc triangula a d b i b c e . erunt
•utraq; reclangula , (B^angtili a b H b c c , fuiit alterni^ er^
funt aquiangula y hafies autem a b , b c . fiunt aquales , qdard^
etiam b d > c e . later a aquali a fiunt . Sjiod erat probandum*
Propofitio Galilei Sexta •
^ um tffio G ahleo Mechanici d;emqnfirata^
S ft circulus ad horihontem ef eBus a c' d ,
b. Btco tempora lationum fer c b . d b. ^
ejfie aqualia.
Sunt enim fiu fer planis c b s d b . fert er ^
tiam huius , momenta ztt t g, fh , hoc efivt 3
ch * ad di b. fer lemma procedens , Brgo cum
fint mome nta 'Ut longitudines planorum y€0^
dem tempore percurrentur iffdplana c b d b y quod erat propofi»
demonlirarec^c.
CjAtitei J
^ €tm
p R o p OS I r I o I K
T Emporalatiofiiiiio ex qiiiete per plaoa eandem eleiiatio-
a‘e m fuint liomoioge v i fongitudlnes planoru*
3.
FrimM • i<>7
Sint p]#n^ ai p4 f. eandem elenatio -
nem habentia * Dico tempus latio-
nisper ^ iT ad tempus per efTevt
ad^^.
Sit ipfarum ai , a c tertia proportio- ^
Halis A e * Momentum ergo in pJ ano ^ ^
ad momentum in plano ah ^ ab ^
ad ^ r . ( per fecundam huius ,) hoc eft vt ^ ad ^ if *. Quare
lationes per ac ^a e temporibus sequalibus abfoluentur: quan-
doquidem ita funt momenta vt longitudines fpatiorum . Pona-
mus iam tempus per a efle mediam proportionalem a e . Erit
tempus per a b . ipfa ab ,• tempus ergo per a <f yfiue per aq .(x\%
«qualia tempora funt ) eft ac , ^^^r ah eft Iph a b &c. Q^od
erat &c.
Aliter.
Prpcedens T heorema poter at demonftrari fine^ulla fuppoJitl&
ne . Demonfirat ^nim GaUleus in Prop. (f. demotu accelerdm
tOytempora lationumpev chordas omnes m circulo aqualia effe^
idqy tribus modis probat <,inpTimo y ^ tertio fub e fl principium
fuum non fatis euidens lin fecundo ver)} nihilfupponitur , pra-^
tertam diUum T heorema Mechanicum \ quod f^ipfo teSlCy defl>
monliratum antea fu er at y ex ipfo immediatey tamquam Corolla-^
riumy necejfaria illatio fua tertia Propofitionis y immo dr fu§
petitionis , denuari poterat . Sed quia ipf ? tertianifudm Propo-
sitionem y qu^ nobis quarta ef , mediante fua petitione probat ^
nos illam abfolute oflendamus ex propojitionibus ipsius Galileft)
qu§ nullum pojlulatum includunto
Sint duo plana a b, a c . quorum eadem ele
uatiosif ad» Dico tempus lationis per ac»
ad tempus per a b yefe vt: a c . a b .faHo
€ nim angulo a b e . reBo , agatur circulus cir
ca diamemm z tyqui transibit per hydr pro-
ducatur a c f Ltlt ab » media proportiona-
lis inter f a , a c , & erum tempora per ab, a f aqualia , vt
2 ^ "
A»
I o 8 De motu grauium defcendent.
p endit G alileus smfliciter illo Theoremate Michdnicd sm^^
jua fupfo siti One .
Si trgo ponamus temfusldttovis per f effe ipfam 3.C erit me
dia pYcportionalis a b , tempus per ‘di ^ hoc eji per fe ipfam a b ^
c are tempora lationum kx quiete per plana eandem eleua-
ticntm habentia funt homologe *ut longitudines planorum^ ^
hoc dtmonBraumusJine illap e titione , cuius v eruat em f eque n
uXheoremateoJienekmus .
Gslfki
p R 0 P O S I T 10 rv
G Radus velocitatis eiufdein mobilis fuper diucrfas plano*
ruminclinatioaesacquifiti , tunc aquales fimt cum eo-^
rumdem planorum eieuationes arqualcs dnt .
Sint duo plana a B^ a r . in^qualiter inclinata, quorum cie*
uationesimt Aquales, vel iit eadem ad. Dico gradus veloci-
tatis acquiiitos in per defcenfum ab , &in c . per defcenfuni
A- . sequales inter fe eife ..
Quicunqj enim iitgradiis velocitatis aqui-
fitusin by accepto eius iubdupio, graue mo--
tuiequabili, .& tepore cafus currit idemipa-
tiumcafus ba. iterum ; quicuncp fit gradus
velocitatis aquifitus in c , accepto eius fub-
duplb, graue motu irquabili*? & tempore cafus currit id em fpav
tiuffi cafus ca,..
lempora igitur , Sc fpatia fLiutproportionalia nempe. T em-
pore b a curritur fpatium b a. motu a^quabiliriempore autem cd
fer s. dt curritur fpatium m.otu aquabilfergo gradus velocitatis funt
metu jcqiialcs.Quare etiam iilorum dupii aquales erunt,-- & ideo gra
fqmhiil velocitatis iii b & in c .. funt aquales ..Quod erat &c..‘
Aliter per circulum fcxtdPropoJitionis Galilei facile
prabitur eadem conclupo hoc modo .
Px T heoremate Mechanico deduxerat GaMeus tempora per ^
B . aqualia efe„ Xtico ergo yPmpetusmpunliisiyd&c» grd
Liber Primus ‘l 109
aium ah eadem altitudine , de ex quiete in a defcendentium ,
aquaUs ej^e i
^iaenim z.h ^ ^ diqmUtemferefeYa^
gmnuT ^ erunt im fetus in b,c^ f . funeiis^vtfuut
[fatiaferABa ab, af. ( Acceptis enim eorum
jubduflis (Zquali tempore^ ^ motu Aquabili cur-^
runtuT fpdtia b a . f a, quure fubdupU iLU impetus
funt ^fpatid ^ ^propter e a etiam illorum dupli
eadem fpatid erunt •) Impetus ergo b .. ad im
petum f . efivt ab ^ad a f , impetus vero in f. adimpetum in
e i esi vt f a , ad d.h- . ( nempe vt tempora , quia ab, media
proportionalis eji inter f a . a c^) Ergo ex diquali , iinpetus in
b . adimpetum in c.. efi vs a b >. ad ipfotnmet a b » £luare^
impetus in b, dr c . funt aquales • V elfia ^
Gr adus impetus in ad -^adumin efivt ca» ad ab,
vel b a , ad zb-, cum tres g a , a b', a f . fint in cant^nua pro^
portione. Se-dgradus etiam impetus in b. ad gradum in iy
efi vth^i ad a f ( vtfupra demonfirauimus .} ^jpare vterque
gradus c, db .ad eundem f . eandem ratione habet ; d ideo
aquales junt . filuod dfi^ ■
Coroliarium^^ •
Bine pro CdYollarlo extrhaemus id quod in ipf&
pTOgrejfu demonfirationis oBenfum efim^mpe. Im
petus graulum in fine chordarum circuli ^ qUi& ex
punEtofublimidefcedantdtaeJJe vtfunt ipfitrnet
chordig vhoe efi mpetus inpunBu b j, G > d itat
eje vtfunt a b , a c ».ad .dc..A .
Scholium r ■ ‘
Cum deinceps fuiuTus fitfermo de lineis quas pOfabotas
eant , non erit inconuenitns^ antequam illarum pafitones in or-^
dine admotum confideremus^ pauca qu>ada§n neceffasia nobis
pramonfirare ^ SuenmfietvtparatktesacudeYepofiimns ad’
per prrnl
G^l. ae
m, AiQ.
I IO Demotu Gramum defcendent.
Qontem^l/indAfn lineam fro moiibHs non fplum proieSlorUm ^feei
etiam ( quod non fcrtfJitGalileus ') naturaliter cadentiam^a na^
tur a vnice faB am . Promittimus ftmf er tamquam Juj^fofitum
*vniuerfam Gali lei do Br i nam de motu : illius enim vejiigia fe^ >
quimur^ odppuucMlaqustdam Theoremataahi^fo negUBa colli-
gimus , H ic fraci^uefu^ponuntur dua Propojitionis de Para-
hola^quas ipfe operi fuo de Motu ProieBorumprofigity alteram
Apollonqi quidem fed Marte proprio demonjlratam d Galileo
ait eram vedo penitus ex Apollonq lih, j.prop. 3 3 . defumptam j
^demonjlratam.
Prima eBhuiufmodi .
Linese, qux intra parabolam bafi paraiklse ducuntur , fune
in lubdupla ratio ne portionum diametri ad verticem paraboif
interceptarum.
Secundans ero ejlhu .
Siin parabola aliquod pun dum a fuma-
tur ex quo linea ducatur bafi parallela a h ,
& portioni dianle^ri^^ r , ad verticem inter-
cept^V ^qtialis reda linea c d . ponatur in di-
red:um. Reda linea da^ qux ab extremo
pofitse lineae termino :^rad pundum a in parabola fumptum j
ducitur^parabolam continget , cJ d nobis aliquo modo 0 Be^
detur poji Prop. i 0 .
Hacipje. Hisprfmijjis reliqua nobis opoftuna demonjlra-
bimus .* Et primo animaduertendum eB^quod vnaquaqiparabo-
laquandamrePlam lineam pecuUar emchabet y cuius proprietas
pracipuabac eB * DuBd intra parabolam quacunq; linea bafi
p araliela y quadratum duBaptquale efi reHanguloyquod fub illa
peculiari linea , (J portione diametri ad nj enicem parabolo ah-
fcifia y continetur ^ ExempLg. Quadratum reBa ab
eB reB angulo fub b c illa peculiari linea contentOy hoc fen^
per njbicumq-yfuerit duBa a b
Vocatur autem peculiaris illa linea Latus ReBum ^
^uanjero ducuntur aquidifiantes bafi y Ordinat im applipa-^
t a dicuntur .
PRO^
Liher Primus i i i i
P £ 0 P 0 S I T 10 V 1.
^arahoU latus jcUum demftnftr Are ^
M Anente fi gura „& conilrudione ea-
, dem quam ponit Galileus in prima
iam didaram propofitionum de Parabola ► ^
Fiat vt ^^dad ^r.ita bb.zA ue. Dica
efle latus.redtum .
Sumatur enim quodlibet pundlum in pa-
rabolaquod fit^ & ducatur/^, parallelaip
db y item per g. agatur i g / .parallela ad ^
eb, eritq; b glh pai\iIlelogramiim.£rquia
fadumeftvt aby ad ita bhz.dk a e erit Ag ad g t^ntAb ad
b c , hoc eft vt b k ad a. e fiue vc gly zd a e w Redangulum er-
go ^ ^^.a?quaieeritredangulo /^/> hoceftquadratoy^ ,Eft
ergo latus redum.
" ' Corollarium .
Hinc manifejlum efi y fi linea fg . ordinatim AffUcAt A fre>^
ducaturvfij^y advltewiorem femiparAbolAm in miippim gm
qualem for e ip/i fg. e&dem enim mado o fi eMdhurquadtAmm g
m , Atfy ^uadramm ^ .f^uAsiteUangulo i g I etc.
F R O F a S I T I O V T I.
S VMlmitas parabolsc apud Galileum, quarta pars efi late-
ris redii eiufdem parabolae ,
Maneat coniirudiio Propofitionis V..deMom proiedoru
Gaiilei,quafpfereperilfuMiim^^ parabefa.^
Fadum ibi fuit vt ab, altktido>.ad'^«?/ aqualem nempe di-
snidio bafis de,Jka b.er^. adafiam» qu^ fit I dy Sc h^c erat fub-
limitas apud GalilemMfobahiamfqiipla^ efie quartam lare^
■flsre^.'parcem^d'. .
/ i $ motu {^rmmmde^
Quadratum ea . quadruplum eft quadrati
y c . hoc eft redanguli a h fper conftrudio
nem ) ergo etiam redangulum fuh ah , & la-
tere redo quadruplum erit ciufdem ah d \ fed
communis ab altitudo rcdangulorum, er- A
gobafes, hoc eft latus redum, quadruplum
erit fublimitatis h <^.,Qupd &c.
d.
17 ^
B
A
Definitio
S^andOy vt 'w fractdenti figura fiumitarm axe fdrahhlf ex
vertice linea b i . qu^ aqualis fit qudrt a farti lateris reBi^ tunc
funBurn i vecatur focus fdrabol ^ , ManifeBum ergo eH\ f un->
Bumfuhlime d , et focum i , squali ter di B are dvertice parahe^
la i nempe tantum vtrinq; quanta efi quarta pars lateris reifi.
P R 0 P 0 S I T f O r l P
R Eda linea qu3B ex foco parabolae ordinatim applicatur,
dupla eft portionis axis ad verticem interceptae , Vei •
aequalis eft femifii lateris Redi .
Sit latus redum ^ ^ & focus d. Redangu-
Ium quadruplum eft quadrati ad. ( quia
cum habeant communem altitudinem ady ba-
fis ^ ^ . quadrupla eft bafis ad.) ergo etia qua- ^
dratum c d . quadruplum eft eiufdem quadra- ' ^
Vi ad. Eft igitur c d dupla ipfius d a ; fiue ^qua c b
lis iemiffi lateris redi * C^d erai
■ < i Ti'
•i ' ' J
P r:;,
S # pattbol^quotcurtqfccirc^ eandemdiatri^tbih fin
quaeinillis ordinatimducuntur, prc^qrfiqnaleserunt.
Sit diameter communis ab, ord inatim autan dudis fint c d
€0,^b/\bg^ Dico cfle vt et tidgb^ ita dct^d fb.
Sum
Sunt enim quadrata , e ^ , ad ^ ^ , vt re-
^la ^r.ad dh^ Qjndrata etiam de ^Afh
funt n dc y^A ah . Ergo in eadem ratio-
ne funt quadrata inter fe 5 quare vt reda e c
d,dL gh > ita eft ad/^ . Quod erat &c.
-i
-B
PROPOSITIO X.
T Empora lationum , quseex quiete fiunt per plana qu^cun
que funt inter fe vt linese i n parabola applicate ad fpatia
per qu^ grauia defeenderunt .
Sint fpatia qualibet ah ydCy£\-
ue perpendicularia fiue incHnata ,
& circa diametrum a cBat parabo
la quselibet ad e . atqj ordinatiin-.
ducantur hd, ce. Dico tempus
K
per ^^adtempusper^i^.effevt ^ / p / /
ad e Sunt enim tempora in *
fubdupla ratione fpatiorum ex Ga
lileo,fed line* db,ec. funt in fubdupla ratione fpatiorum (quia
quadrata earu funt vt abM -«f Oergoeademratioeft &tem
poru,& linearu ordinarim ad fptia applicataru.C^od erat. &c.
Aliter .
Sfponmus tempus lationis per latus reClum niejjeipfumi.
met lamsredumy erit tempus fer ab . media frepor nonalis in^
ter £a, ab, nempe ipfa b d . ^ tempus per a c medta pfopor»»
mnalis ce^drc^c^jicdejtngulis, ^are&c, "
Corollarium.
Hincmanifejlum eli impetus grauium in fneponionumdia*
metriparabold ycjfe inter fe^vt linea ^ quaordinatim apphean^
tur ad extrema ip Carum portionum pun^a . Sunt enim tx Gali*
leo impetus vt ipfa tempora y fed ordinatim du^a fmt vt ipfa
^^^iOTdyergo impetus fumvtordinatimduaat^c.
P
PRO~
‘DemQtfkQrMmm^e^mdent.
1 , ^ ■
' ■ ■? ' ' ■ ■”'. !•>}' -i i ' ‘ ' ''■ --.l”'',
PRO p o s I t 10 Xi/,
S I Line« a vemce parabolas vfq; ad feiftionem ducantur ,
erunt impetus ia fiaeHnearum^^ vtfuat ojrdiuatira ex ipfa*
rum terminis applicatae*
Sit parabola cuius vertex ducantur ex
venice Abyde. Dico impetus in c. elTe
vt b dSid ce , Manifeftum eft i Quia impetus
in & r . funt iidem ac in d,d)C e. In d. au-
tem& in e , funt vt b ad c e. { per Corolla-
rium prsecedensj ergo edam in ^ , dc c.Iuntvs
bdyzdse, Quod&c*
p R 0 F 0 sri r I & X I r.
> - -
T Empora lationum, qu® in circulo fiunt per pordcMies dia
metri ex pun(5to fublimi ^funt inter fe vt chordas quas ex
eodem pundo fublimi ducunturjad pun6ta peripherif in quic in
cidunt ordinadm dudae ex terminis didarum portionum*
Sumantur vtcunqi dbydc.dc ducantur ordi
natim bd, ce, iunganturq; ddyd e , Dico tem
pora lationum per db,dc portiones diametri
ita efie inter fe vt funt ddyd e,
Sienim ponatur tempusper dftxit
tempus per db ipfa dd, cum fit media propor
donalis . Et cum tempus per dfy erit te-
ptisper dc.iph de media propordonalis * Quare &c.
Lemmd,
Temporalationum ex quiete pervnumquodqi latus trian-
guli redanguli , cuius balis ad hori^oatem ereda fit , atqualia
toitktejrfe*
Bsc
Liber ^rimns * ?r s
Bie e!itdmqH/tm CorellMum fext£ ftopifi-
tioms Gdlilei de motu Accelerato . Sit enim/emi-
circulus a b c , cuius ^unBum fuhlime Jit
chorda a b , b c . infemkirculo ad idem funSium
b. coAptAt^ . I>ito tempora per a b , reSfam esc
quiete /;» a , cf per bc.ex quiete i» b . ejie aqua
lia . Vtrumqi enim tempus per a b , cJ' per b c.
aquale eli tempori per diametrum ac escGalileo
ergo funt aquali A interf t tempora per tres lineas ac, a b , b C .
^^oddrc.
PROPOSITIO X I I P
Tempora lationum per femidiametros quadrantis cre<5ti ae-
qualia funt temporibus cum fecantium, tum etiam tangentium
angulorum complementi eleuationis, qua fuerint eleuatse di-
daefemidiametri*
Sit quadrans eredus ah c, femidiameter, E
qu^cunq; hd, ^ tangens de, quse angulum
V de , r edum etBciet . Dico tempus per dh,x^ A
quale elfe tempori per fecantem e by fiue per
tangentem e d . quarum vtraq;, nernpe e hcH
feca ns , e d tangens anguli a h dy nempe com ®
plementi eleuationis femidiametri db,
^ Propoli tum autem manifeftum ell per lemma praecedens cfi
triangulum# litredanguliim, & ideo tempora- per vnum
quodq; latus gqualia iint,
PROPOSITIO XIV,
\
S I ab aliquo punit o plana diutrfimode inclinata digredi ane-
tur , ab illo eodem punito dimittantur grauia eodem tem
f orejimuli oJiendie Galileus ex Corollario Propof, 6, de motu ac
celoratOygrauia huiufmodi femper in pertpheria alicuius circuli
tu immnfum crefeemis reperiri . Stante hoc dicimus .
Si
tiS De motugrmmm defi enient.
Sigraue,quod perpend|cularit^r dercendit, centrum terr»
contingere poiTet, reliqua grauia eodem fimui tempore fingii-
la in fuis planis conquiefcerent ,
Sit planum perpendiculare dh /m quo om-
nino erit centrum terrse . Sit ergo terras centru
^ j & fiat circulus dci>, qui tranfeatper centru
terras ^ , &c per pundum d, k quo grauia digre
diuntur.Pofitodeindequolibet plano ,du
catur b c . Offendit Galileus grauia eodem te-
pore ad ^ . peruenire . Igitur eodem tem-
pore conquiefcunt omnia ; quia cum fit terras centrum ^ & li-
nea he perpendicularis ad planum -^Cjerit ^r, pundum infi-
mum plani a cj ergo fi aliquod grauc viterius procederet, afcen
deret . Quod efl impoffibile. Ergo &c. Supponimus quod gra-
ue illud pertinens ad centrum terrseftatimquiefcat, quod am-
biguum efl
Lemmd,
Si circulum fn eodem pundo duo circuli interius , & exteri-
us contingant,& per conradum duae redae lineae agantur, erunt
intcrceptg inter duas peripherias in eadem ratione cum inter-
ceptis in reliquo circulo .
Sit vt ponitur ; & contadus fit • Di
vt ^c.ad ^r,ita v/'ad Ducatur >^^.tan
gens , quae tres circulos contingat in ^ & iun
gantur dh.gf.
Erit angulus qui ad^ . ^
to ) aequalis angulo i a g . hoc efl ipfi hdd
hoc eft vtrique ipforum ad c. Sunt er
go > c , dh , j/’parallelae . Quare vt ch zditd interceptae in-
ter duas peripherias, ita bd ad ^^jhoceft df. ad 4^.inter-?-
ceptae in reliquo circulo . Quod
V
JLther Vrimus - ' 1/7
p & 0 p 0 s 1 r I 0 XV.
S I Plana diuerfimode inclinata ad vnum pundum concur-^*
rant,& grauia dimittantur eodem fimul tempore ex aliqua
circuli periphejria,cuius infimum pundum fitconcurfus plano-
rum 5 i^a grauia femper in aliquo circulo fimul difpofita com-
meabunt.
Sintplana ^^perpendiculum, & c ^ . vtciin
que inclinatum , quae concurrant in per co
curfum b tranfeat quaelibet peripheria ^ c 4 . ita
vt h . fit infimum pundum ipfius . Dico grauia
CK 4, Sc c. eodem tempore demifla femper in
aliqua circuli peripheria commeare, quae tran-
feat per
Si enim ponamus graue /^defccndilTe vfq;in e. producatur
aqualis ipfi ^^,&per c.&per agantur duo circuli qui
priorem ciculum contingant in pundo b. Erit per Lem. praece-
densvt ^e,ad c/.ita ^^. ad bg. er^o %. funt aquales.
Sed ex quiete in b, eodem tempore peraguntur, er-
go etiam 4 e, c/. eodem tempore peragentur f funt enim aqua-
les longitudine , & inclinatione ipfis bd^bg.) Quare grauia 4,
c, & infinita alia demifia fimul ex peripheria b c 4 ,femper in ali-
qua peripheria fimul difpofita repericntur i Quod&c.
P M O F 0 S / T J O XVI,
D Atis quotcunq; fpatijs . deinceps in diredum continuatis*
vnicuiq; fuse lationis tempus adfcribere ,
Sint fpatia quotcunq,* dein-
ceps , fiue aqualia fiue inaequa-
lia 4^ , ^ c, c vt apparet in pri
ma figura & circa diametrum^
4 d fiat parabola 4 g . ducan-
turq; ordloatim be^cf^dg . &
fint parallela diametro
DkQdhi hn j tempora e&
mS DetMtuCrauimn dependent.
ipatiorum refpediue ah c ,xid . Hac enitn patet. Nam ht^
’{\\x^ dh .tempus eftipfius ah . & cf , vel /i. tempus eft ipfius
.quare tempus eft fpatij h c , &c. & fede reliquis .
Totefl enam^fine par aholaidem per fici hoc modo infecutt
da figura . Ponatur a e aqualis ipfi ab , primo fpatiorum ; ^
ducatur a o perpendicularis ad a ii, fiat deinde femicirsuli circa
diametros e b, e c, c d. (fic. quifec€nt re6lam a o,mpu/dlis f,L
o . Dico a.£ , fi , i o . ejfierefipe^u^ tempora quafita fpatiorum
ab , b c , cd . (jrc* Hamfiponamus tempus par zhyefjh abjhoc
iefi a i -i erit tempus per a c .media proportionalis , quaejl aiiCr^
^o tempusidifierenti^ bc . erit ^ i ; eodem modo ofiendetur Petn-
f us per c d^effel S^uare patet
Propofitum fit mhisypunUum fublimeparahdarum (fuedop
time (jr ingeniose r eperit G alii ius) diuerfo modo c onfiderare ,
-Fiet enim vt nobis plus lucis afferat ^ ad impetus in [mgulispa-
irahoUpunclis determinandos clarius mente concipiendos ,
pdacuit^haspropofitio-nes fuh titulo Demotu accelerato ponere y
dicet fqpiant aliquid de proklitoney quia funteire a parabola de
s^tnere e arumyquainitiumhuhent ex vertice ab ipfi motu na-^
aur aliter accelerato deriuare conciptuntur y finewUa indlrumen
torum impellentiumppe ,
*— e-
A
Lcmrna,
$i mobile aliquod ex a puMo demifiumy eodem
aemporeperagat duofpatia ab, b c . Dic oipfum
fQmnino tramJkeperpundlum Cypuamcunq i lineJl
idefiripferit pracedenti latione, Tr an feat enim Ji
po fiihileeU per d , ergo qma difiejjit ab a . eodem
aetnpotec offecit fpatia a b y & b dyquod effeon^
arafuppofitmn . enim tempore conficit a b ynm ahfiluk b
diffedlppfambc, Jluar e condiat ^c.
a^c; j>
PFDPDSFTFD
P Ropafita qualibet parabola cuius vertex lit^. oportetpun-
^lumaliquodfublimer^erife^ex-quqjSgrauecadat vfqj
in^.
1 13ev Trimuii , iips
in &ex pun<5to ^ . cum impetu iam concepto * horrizontar
liter conuertatur,.ipfam propofitamp^obolamdefcribat./
T.A.
B
Cl
Sit qucelibet parabola l^he . Ponantur dc
hc . vtraq. aqualis quartas parti lateris redi pror i-iz£l
pofit^parabol^ . Sumatur iam in parabola quam ^ /
tumuis produda aliquod pundum Dico gra- /~~
uepoftcafum per/^4 horizontaliterconuerfum^
in I . cum impetu iam concepto, per ipfum e pundum tran.
{ire. Debetautempoft horizontalem conucrlionem in pun-
do b fadam 5 ,grauitasJuam defcenfus operationcminchoarc.-
Ducantur ordinatim c h^ efi, Ponamufq; tempus cafus per
clTe ch . Ergo grauehorizontaliterconucriumin decurret
motu ffquabili tepore cafus duplum ipfiiis cafus fpatium.hoc eft ^bumss,
tempore ch, ipfam q h , vel tempore e. ( eadem velocitate )
ipfam/’^. Graueigiturimpetupcr fiueper ah acquilito
conficit horizontalem fe . tempore fic, x. hmuf,
Sed eodem temporc/e. decurrit etiaimpcrpendicularem bf
(quando grauitas incipit operari in 4vtin cafu nofiro) ergo eo fer Um,
di tepore conficit & j(>.Quare grauc omnino tranfibit per e».
Trarilitergograuepodcafmm-^i: per fingula propofiras pa-
rabolsrpunda.,
P R O P O, S P T P O XVPIP.
I N Spolik&t ffUnbio farAboU du(yfimul impetus mfunt^Alier^
horizontdis^qmJ'mf er idem '€lb:, fqualktfibi i fji 'y Alter^^
ferpendiculmis ^ qui nunquam idem efis pdfempm^ augetur
Dk o horizontalem femper c {fe tamquam linea quf ex foco>
ordinatim ducitur . perpendicuiarem vero eife vt linea quseor?^ ? ^
dinatim ducitur ex eo pundo , quodixaniinatur
In figura praecedentis PropofitioFiis .
Sit parabolacuius vertex ^ . & ponantur ka^.b:c^. aequales * ^
ytraqjquarcagpartiiatcrisrecti.Quiaimpenisfantvtt^orascnt
impetus cadetis ex 4in A,fiiie cx 4in c,vt ipfa c^.per Propofitio
12 6 De mtugrauium defcendent.
nem X. huius,& eius Corollarium. Vbicunq'; ergo fumatur pun
dum in parabola, impetus horizontalis in eo erit vt c ^rQuan-
doquidemimpctus horizontalis eft indelebiliter ^rquabilis .
Examinetur iam pundum quodiibet e . Impetus perpendicula-
ris qui eft in e , eft idem ac impetus naturaliter cadentis per
ex quiete in ^.Vtcrq;enim defcenfus venitab altitudine vbi
habent initium accelerationis . Impetus autem cadentis ex ^.in
eft /> . ergo impetus perpendicularis in pundo e parabolae
erir/V. Quare in eodem pundo parabolse funt duo impetus, al^
ter vteh. qu^ eft ex foco, alter ytfe quse ex pundo examina*^
to applicatur. Quod &c.
/ Scholium.
Hinc poftetoftendi demonftradonedireda proprietas tan-’
gentis parabole , ftue Theorema mauis , ftue Problema polito
prius hoc principio.
Si mobile aliquod a in prima figura
cx angulo parallelo grami alicuius , vel
ex quolibet pundo diametri feratur £r-
quabilitd duplici ftmui latione, nempe
progrefliua fecundum lineam ^ c, & la-
terali fecundum ah vtcunq; inclinata,
litqjproportio duafum velocitatum eadem ac proportio late-
rum ac zd 4 ^homologe. Dico mobile iturmp eftefecundu
diametrum a d hoc eft per iplam diametrum .
Si enim poftibile eft feratur mobile extra diametrum per ali-
quod pundum ^jducaturq; eg parallela ad ab» Ergo quam
proportionem habent fpatia perada a mobili, eam habebunt
& impetus : nempe vt fpatium progreftiuum per adum ag ad ia
terale peradum ^ ^ , ita impetus progreftiuus ad impetum late^
ralem, ideoq,' vt ad ge*\vd, aezA ah oh fuppofttionem, fi-
ue a c 2A cdy fiue ag 2dg i , elfent ergo ^equales^ e degi . to
tum&pars.
-.'i s . Liher "Brimus i ^ ■; ■ li-r
^ Elio iam in fecunda figura: quodlibct punctum d incurua
parabolica d b c ^ & applicata a fadifqi «qualibus , c f ,
ducatur 4^ , quam dico tangentem eiTe . Eilo fbcus/i & ap-
'plicata ex foco reda . Erunt iam in d duo impetus alter pro*
greffiuus deorfum fecundum diredionem line« c d^ alter late-
ralis fecundum ^/^,eftq;progrefTiui impetus ad lateralem ra-
tio vt dd ad ^/^jperprsecedentemPropofit. fiuevt ed ad dd
( cum aquale fit redangulum fub c ^ & femilTe lateris redi/l^,
quadrato dd) Ergo mobile dum efi: in pundo d feretur fecun-
dum diametralem ^ ^‘jfed fertur etiam iuxta parabolicam li-
neam qua percurrens defcribif,ergo reda de,Sc parabolica no
fe interfecant in pundo fed tangunt .* dic. H«c demonftra-
tid peculiaris eft pro parabola ; fed 8 c vniuerfalem habemus
pro qualibet fedione Conica , confideratis «qualibus veloci-
tatibus vniuspundi,quod ^qualiter mouetur in vtraq; linea qu^
ex focis procedit.
Eadem ratione demonftratur Propofitio r <?. de lineis fplra-
iibus Archimedis vnicabrfeuiq; demonftratione, non folum
quando tangens confideratur ad extremum prim« reuolutio-
nispiindiim;fed vbicunq;pundum fit incurua fpirali femp^
oftenditur periph«ria, qu« per pundu contadus ducitur ^qua-
lis cuidam redae linese &c.C^ae Propofitiuncula cum olim inter
amicos a me vulgata fuilfet , Glar. Virum Galileum meruit ha-
bere laudatorem . vt extant ipfius epiftolse apud me ,
Imm6& hac ratione offenduntur etiam vnico Theoremate
tangentesquarumdamcuruarum, interquas, omnium linearu
Cy cloidalium , vt breuiter attingemus ad finem libri de Qua-
dratura Parabolae, omittentes demonftrationem tam tangen-
tium, quam etiam folidorum, & centrorum grauitatis ipfius Cy
cloidis ad euitandam molem. Satis fit interea ledorem hic ad-
Hionuiffe quod fi Cycloidis fpatium circa bafim conuertatur,
erit folidum ad cylindrum circumferiptum vf 5.ad 8. fi uero cir
ca tangentem bafi parallelam ut 7. ad 8. Centrum Cycloidis
axem fecatita ut partes fint ut y.ad 5 . Demonftratur etiam ra-
tio Midi circa axem ad cylindrum circumferiptum; item in qua
linea
iza *De mofuQtditiumdefcendent.
Jinca axi parallela fit centrum; femieycMdis . Clar. V jr^Anto-
nius Nardius oftendit quod fi Gyclois circa tangentem axi pa-
rallelam conuertaturfolidumadfuum cylindrum eritfubfefqui
terti umj quse-omnia fortafTe aliquando edentur, interea ad opus
reuertamur*
^ Lemmd,
Si in diamen^o parabolae aequales fint ac ex vertice, & dB,
non ex vertice. Erit quadratum Be , aquale quadratis df, c
Sit ah . latus reSlum, ^ compleantur reBlangula c b , d h •
^id -di c, Ah ponuntur aquale Sierit
teEi Angulum b h .. aquale duobus reEiangu^
lis d h , c hifeu ( quod idem eB ) quadratum
eb . duobus quadratis A i. c^, aquale erit ,
£^od drc.
P R 0 P O SITI O XI X,
I Mpetus in pun( 51 is parabolae funt inter fe vt lineae ordinarim
applicatae non ad ipfamet punda , fed tanto longius a verti-
ce quantaefi quarta pars laterisredi
Sit parabola cuius vertex a,£QC\x$/, Sumpto
que in ea quolibet pundo c ^ Dico impetum i tl»
e elTe vt de^ quae applicata fit tanto longius a ver
tice,quamipfa ci , quanta efi ^^/^nempe quar
ta pars lateris re< 5 ^i^
Impetus enim qui fimul funt in c .Xunt r b , hfy ergo momen
iVw» tum impetus ex ipfis compofitum debet elfe potentia ipfis fqua
ittd\ le. Sed de redaVe^ aquatur potentia ipfis per lem-
ma praecedens, ergo momentumV^. efi momentum fiue im-
petus copoj^tus ex duobus illis qui funt in
liiht Wtinmi >
0 F)(y s i o X X.
I Mpetus in quolibet parabolae puAo idem eft ac impetus gra
uis naturaliter cadentis ex fublimicatefimul, & altitudine^
eiufdemparabolf. - ; .
Sit parabola cuius altitudo fi^,fublimitas d
b. Dico impetum in pundp h eundem elTe ac
naturaliter cadentis ex a . in r •
Sumatur c/. aequalis quart^ parti lateris redi ,
hoceftipfiv^^.Eritirapetus in pundo hwxl linea
ef, per Procedentem . At impetus etiam caden-
tis naturalitdper i/iiiueper eft eadem linea ef^ ergo
idem impetus eft in pundo parabolo , ac in pundo c . grauis
delapft ex fublimitate fimul & altitudine ab Quod erat i
PROPOSITIO XXI,
T Empora lationum per datas lineas horizontales poft ca-
fus e perpendiculo, oqualia erunt, quando altitudines
perpendiculorum duplicatarti rationem habuerint Illius , quam
horizontales lineae habent .
Sint horizontales lineo dato ^ ^ , c & al
titud ines perpendiculares fint e a ^fc . Sitq;
€ a , d.d fc, in duplicata ratione illius quam db 35
habet ad c Dico poft cafus f a ,fc , eodem , *“
tempore peragi ‘
Hoc autem patet .quia cnmGnt ab ^cd, in
fubdupla ratione ipfarum e a erunt etiam vt tempora ca-
iuum , & ideo vt velocitates , fiue vt impetus qui funt ma,dc a
P roptereacumiint velocitates in^-, & 4,vtipfafpatia cd,ab
homologe, eodem tempore ipfa fpatia peragentur . Quod &c,
IS
A
Q- 2
i
Gal. dc
metu
PRO,
prR 0 p^ o\s-j^T^j:(y xxJi.
L I nex ordinatim dutoin parabola eodem tempore omnes
percurruntur d mobili,, quod per eas eonuertatur impe-r
tu prius aquifito per cafum diametri ex quiete in vertice .
Sit ah . diameter parabola?, ^hdyC e , ordi-
natim dudlce. Dicomdbilepoftcafum^^jpsa • ^
hdy^ poft cafum d f:. ipfami? e .;sequalibus tem
poribus pertranlire .
Sunt enim altitudines perpendiculares ahyd
c. in duplicata ratione fpatiorum horizontalium
hd,f e ,oh parabolam . Qgare per praeceden-
tem eod'cm tempore peragentur ipfa fpatia horizontalia , hoc
ipfx ordinatim applicatce^pofl: cafus ah, jQuod &c.
\
PROPOSITIO XXIII.
' ' ‘ ** ^ - * ■ 'i
T Empora lationum quse fiunt cx vertice per diametri por-
tiones fimul, & fuas ordinatim dudas, funt vt ipfe ordi-
natim du^^ y addita tamen fingulis medietate lateris redi .
*
Sit parabola cuius vertex ^jfocus ^,ordi
natimex fccoduda fit chd, qua* aqualis
erit lateri redo . Demonftrara enim fuit ipfa
chyBm ^^duplaipfius ^i^,&ideolubdup-
la latjeris redi . Ducatur per d parallela dia-
metro //.Dico tempus lationis per ahf, e£
fe gfy & per aeiy t^e li\ ^ fie de fingulis .
Tempus cafus per ah e^ fed eum dupla £\thc , ipfius
tempus per hc Ademerit, ac per ah, nempe hc , Ideo
h € .tempus eft omnium bf, e i . &c. ( cum eodem tempore otn
nes peragantur per Praecedentem) Tempora autem cafuum peC
^ 4h,ae,innt\pix hf.€i. Propterea tempus per ahf, ent fb,
- & c
LC^
B
Primus . laj
vel /^.Tempus iKm per erit ie fimulcuin
th, fiue i l. Quod erat&c.
Aliter idem oftendemus •
Sumatur in farahola quodlibet funBum b . ^ ducatur ordi^
natimhc ffonaturq;hQ ,duplaaltkudi" , ^
nis b a . Dico iterum^ temfus lationis fer
a b e ejfe b c . cum femiffe lateris re Sii .
fic de Ji n gulis ^ T emfus enim fer 2 ih . ejl
bc. ^ fer h Q. duflam altitudinis foB'
cafum dih .temfus erit eadem hc. Cum-
itaq; temfus fer e h.fit c b . temfus fer c b tanto minus erit
quantoffatium minies ejl y cum idem imfetus retineatur . Su..
matur ergo iff arum e b , e b . tertia frofortionalis fb. de erit £
b, temfus iffius c b ,foficafum a b.
C at erum lineam fb. ejfefe?ni[fem lateris recii fic notum fa--
cimus . ReSi angulum fub latere reeio ab . aquale eflreSld’'
gulo e bf.f u frumq-; enim ttquatur quadrato b c . Aquare reck
froca habebunt latera ; JSlemfe erit vt tb ad ha .Juhduflam j
ita latus reSium ad b f, qua illius fubdu fla erit . Ejl itaqi tem^
fus fer a b c -iffa b c . cum b {.femife Lateris-reSii . Mn^d
rat dt^c,.
Lemma’. ;
Sit farah&la a b c , ex ^vertice inclinetur
nc.dr ordinatim d,ucamur c d . exfunBo^c.
b e vtc unq^fecans' a c . in £. ■' ‘
Dico b e . mediamfrofortionalem elfe in>‘
ter c d , xk £ t . Bfi enim ad a r, •velc d
tid ^ fe Jn\duf litata rdtione iffius c d .^ad ba ob f ar aholam .
^uare media frofortionalis eJl b t. inter iffas c d , fo. ^od
erat dre*
p Ro p 0 s X p r 0 XXI r.
Empora latiQnum perpendicularium ex pundis linece ad'
horizontem inclinata, funt vt line ^que per eadem^pun-
<5ta or-
la-iT DemtnCif^i^umdefcendent.
daordinatimducuntur in parabola , cuius diai^eter fit Hori-
zon , vertex autem pundumincimationis .
'Sit linea ad horizontem inclinata d S , 6c
fit horizon 4c,ydc circa diametrum a c de-
fcribaturparabolaqu^ fecet^^ . in quoHbd
pundo :b y & ducatur ^ . ad horizontem-*
perpendicularis ; fumanturq; punda qua:!!-
bet e . & ; ac ducantur ordinatim i g h^ de
f. Dico tempora cafuum per ^ h , & per efie dh,d)Cdf, Si
enim ponamus tempus per ^ c , eflfe ir, erit tempus per g h, me
dia proportionalis ; &per c/l media prqportionalts df, Vti
(demonftratum eft inieinmate prcEcedenti . Qi^re&c.
£ R O P O S I T I O XXV .
S I in parabola linea d b ex vertice inclinetur , & ordinatim
ducatur quse inclinatam fecet in f. Erit ipfa c/C tem-
pus per df, & reliqua/y. tempus per reliquam fb . Qmindo
motus veniantex quiete feniper in a .
Tempora enim per jtf, ah . funtin fubdupla ratione fpatlo-
rum /«/i/^i.,fiuelinearum-4e,^^. Sunt ideo tempora vt cb,
e d,( quia ift^ funt in illa fubduplif rationej^ vel
vt ed^ ef (funtenimeontiauig bb^ ed, ef
Quare cumteinpus per (it e/’. &^er . fit
ed , erit/l:/. nen^e reliquum tempuSjtempus per
fb, reliquum fpatiumpoftquietemin-^. Quod
^rat&c.
Lemma,
JncUnetkfexveftice fdrabolf reBa a b , ^fdraholam tdnl
gdtin veYticereSid ac, Ducdtur qumisdlid d i . qua occtirrdt
fdrdboldin i^&incU^dtdm e . Jdico dit , mediam frof or^^^^
Jialmijfemer ch^ di*
I
Liher Primus l nj
Bfi enim hc, ad di Longitudine ve ca* ad
ad , vel bc ad de ,fotentid.^are in conti'
nuafrofoYUonefunt b c . d e . d i drc.& d e»me
dia , ^Imd oportebat ofiendere .
V R 0 V 0 s I r 10 X X VI,
S I Horizontalis lineai parabolam' contingat , tempora ca-
fuam ex pundis parabol^ vfq; ad horizonte ; fiue ex pun-
• dis horizontis,yt in fecunda figura , vfq; ad parabolam i erunt
ut linea parallelg inter horizontem, & quamlibet aliam ex con
tadu inclinatamintercept^
D c D A
B
F. D E G
Sit parabola b ac, cuius uertex^
& eam in c tangat horizon cd, &
ex contadu c , inclinetur utcunq; c a
ducaturqrexpundo a, dd, horizon
ti perpendicularis . Duda iam qua-
libet perpendiculari ef. Dico tem
puscalusper eb, e^efe, &c,&ficde fingulis. Ponamus
tempus per erit tempus per be, ipfa fe, media
proportionalis uti demonfiratum eft . Quare &c.
. p
I R 0 p o s i r r o x x vii.
T Empora lationumper chordas ex uertice parabol^ incli-^
natas, compofitam rationem habent , ex ratione longi-
tudinum chordarum; ex ratione ordinatim appiicatarum,c6- ■
trarie tamen fumptarum .. .
Sint chorda ex uertice a b , a e. & ordina-
rim ducantur b dy c e. Dico tempus per a b\
ad tempus per ac,, habere rationem compo-
fitam ex ratione ab ^d, ^ c,, &cx ratione c
e ad bd * Si enim concipiamus lationes il-
las accelleratas ^quabiles fieri , & grauia per fpatia c a
recurrere cum gradu fubduplo impettis quem habebantin
i.Gai.dc c , erunt temporaxecurfuumeademac tempora cafuum. Xem-
^”^erGa‘ ‘'lutcm lationum sequabilium compofiram rationem ha^
iU:de m 9 rafionc longitudinum fpatiorum ^ ^ , ad ac‘y^ ex ra-
tu.^qua. tione velocitatum contrarie fumptarum c e y^di bd, ffunt enim
velocitates in c e^dem ac ia ^ & velocitates in
& e funt vttempora ^ d. c e , ) Ergo etiam temporacaiium na-
tura liter acceleratorum per a b^ac. corapofitam rationemloa-
bebunt ex ibidem rationibus a b , ad bJ. Qiw.d
erat.&c
P JR O P O S I T I 0 XXVIII,
T Empora lationum per chordas. ex uertice parabol^ , funt
vt linete o^ux ordinatim applicantur non ex terminis
chordarum, fed ex pundis diametri in quas cadunt linesB rei^los
angulos<continentes cum ipfis chordis^ :
. Sit paraboIsE diameter ag . & chordas ex ver-
liice fint ab ,ad, fiantq: anguli a bf^ a dg .redi,
& ordinatim ad punda applicentur fh ygi.
Dico tempora lationum per a b ^ a d» elTe ipfas or
dinatim applicatas/i^ /9
T empus enim per d b . aequale eft tempori per
isf/.exiftente angulo 4^/1 redo. Item tempus
per Ad» ob eandem caufam aequatur tempori per ag . Tem*
pora autem per Af,Ag . funt ipfae hf, ig , Ergatempora latio-
num per chordas ab,adA\xx\thf^dcgi, Quod eratdcc. ,
Prefonetur etiam hoc modo ,
Tempora lationumper chordas ex vertice parabo!^ funtvt
lineae qug applicantur non ex terminis chordarum, fed tanto
longius a vertice quanta eft lateris redi longitudo,.
> lAheY*^nmui^.
OjtenfUm enim efi In ft^eedenttytefusfef a hi^
(fit^o angulo abc r€ilo)eJfe lineam c d.jDicS
nuno lineam dc tanto longius avertie e dfflica^
tam ejfe , quam iffa b e , quanta e SI lateris reSli
longitudo • Hoc e fi ipfam e c latus reSSum eJfe .
Hoc patet , Eft enim reH angulum c e a. aqua^
le quadrato th,oh angulum reHum ad h^proptered c C . Utut
r edum € fi, ^uoderatc^c.
A
E
i
Corollarium.
Hinc manifeSium y efi eodem tempore peragi
quamlibet inclinatam tx vertice ,* puta ab, ac
portionem axis fibi re fpondent em ac. cui tamen
additum fuerit in diredum latus reCtum a e , ita
vt lationes fiant per a b quieti i» per e
C ex quiete in t*
PROPOSITIO XXIX.
T Empora lationum per lineas quce ex foco parabol» Indi
nantur, funt vt linese ordinatim applicatas non ad punda
in quas cadunt inclinatarum perpendiculares, fed tanto fupe-
rius ycrfus verticem , quanta eft quarta pars lateris redi .
f Sit parabola cuius vertex a . focus ^ & ex
foco inclinetur be , fatq; angulus bed, redus,
& a pundo d . fumatur verfus verticem parabo-
la linea «^e.sequalisquartse parti lateris redi.
Dico tempus per ^c. elTe lineam ef, Temipus
enim per bc .sequatur tempori per ^^.ob angu-
lum hed, redum , hoc eft per e . f funt enim scquales bd^ae)
fed tempus per ^ e, eftipfa e/, ergo tempus per vcl ht.
erit eadem ef Q^od erat dcc.
R PRO^
f
■r fo De motu fr Miam d'ej
v'' ''x ^
P P 0 P 0 S I T 10 xx k.
D Ato plano inclinato perpendiculum erigere, quod: eodem
tempore ac ipfuin planuni inelinatuna conficiatur .
D
A
Sit inclinatum planum . cuius el^uatio ^r. "
fiat Vi ac , z.d ab ,it2i a b, ad aliam , qu^ fit c d.
Dico planum ab . ex quiete in ay & perpendicu-
lum dc ,tx quiete in eodem tempore confici .. g
Tempus enim per a b , ad tempus per ^ r , eft
vi ab ad tempus etiam per dc . ad tempus
per ac ,^^vi ab , media proportionalis ad ac \ quare tempo*.
ra per aequalia erunt. Quod erat &c.
PROPOSITIO XX xr.
A d datum perpendiculum planum infledlere dat^ longi-^
tudinis, ita vt perpendiculum ipfum , & inflexum planui
eodem tempore abfoluantur .
Bebet aut em longitudo dati flani minor e fc
i{fof€Yl>endiculo^
Sit datum perpendiculum a b data plani
‘A
B
longitudo fit c . minoi perpendiculo . Fiat via £ 3
^ . ad c . ita c ad aliam quse {\i db , Sc ex pun<^o
d aptetur d e . aequalis ipfi c . Dico tempora lationum per d e ,
& per a b , effe aequalia . Huiusdemonftratio congruit cum pro-
cedenti , quandoquidem in continua proportione fuiit ab , /4
Quoddcc " ^
P R 0 P 0 S ITIO XXXII
D datum perpendiculum , planum inflediere Ita vt
cum perpendiculo quemlibet datum angulum acutum
"T ' ' eon-
Liher Trimus: Ut
contineat, puta aqualem ipfi ^ ^ & eodem tempore ac ipfum
perpendiculum abfoluatur .
Fi3 1 circa diametrum 4 k circulus qui fecet 4 c
in ^tDemifsaq; perpendiculari ^ . compleatur
parallelogrammum a d ef,
Manifeftam efl planum/^- , qusefito noftro fa-
tisfacerc. Cum enim />. gquaiis fitipli ad, Sc
aequaliter inclinata ob parallelogrammum, eo-
dem tempore abfoluentur/c ^ad vd 4 Quod erat&c.
PROPOSITIO XXXIII,
A d datum perpendiculum Vc, in figura Propofitionis
X X X. & ex dato in eo pundto .planum infledlere,
quod eodem tempore ac ipfum perpendiculum conficiatur ex
quiete.
Repedatur inter dc a media proportionalis & ha-
bebimus longitudinem plani alicuius . Applicetur h^c longi-
tudo ex ^ , fitq; illa iam applicata a h : Manifeftum efi ex prae-
cedentibus Proportionibus ipfam ab , & perpendiculum dc
eodem tempore abfolui . cum fintin continua proportione dc
ab ac , Quod erat &c.
PROPOSITIO XXX IF.
S I ad perpendiculum aliquod ab , planum c d inflexum fic
ad angulu femiredum.Erittempus per c ^.a?quale tempo
ri perpendiculi , quod ipfius c b , duplum fit . Proponetur etia
hoc modo. Tempus per diametrum quadrati eredi, «equale
eft tempori per dupl um lateris eredi . -
Sit cd. flanum vt fap-^onitur . 'uel fit diameter quadrati cu^
jus latus c b . eredum fit .fonaturq\ ab> *duftaiffiusch , Dk
R 2 CQ tem-
1 3 2 'De motu Gramum defcendent,
co tempOYA per c d , a b , ej^e aqualia . ^uia d C,
Aof cb potentid eB ve z.b ad eandem c b . longi-
tudine , nempe in ratione dupla , erunt continua
proportionales a b , c d , c b . £luare per praceden
tes Propojitiones eodem tempore abfoluentur per^
pendi culum a b , ^ planum inclinatum c d . ^
^oderatdrc.
PROPOSITIO XXXV.
A d datum perpend iculum a h , planum , vel plana incli^
nare ad datum in horizonte pundum c , ita vt inclinata
plana & perpendiculum ipfum eodem tempore abfoluantur .
Debet autem pundum c. Diftare a pun-
do ^ . no amplius quam htfemiffis ipfius a b.
Fiat circa ah, c\rc\x\\is a e d b y & erigatur
€ e, qu£E omnino incidet in circulum . ( alias
problema infolubileeflet) incidat in d, & e.
dangulgeredj, & ideo aequales ,& ^qualiter inclinate, eodem
tempore peragentur . Ergo tempus per ^ , per ^ ^ , vel per fc.
vnumatqridemeft.
Eodem modd infertur tempus per aquale elfe tempori
per ^ ^ , Quod erat &c.
PROPOSITIO XXXVI.
Dudiiq; parallelis horizonti hc.
Dico plana f^ygc ,^d pundum c inclinata ,
eodem tempore abfolui .
Cum enim e b ,fc. fint diametri figurae re-
u i
I N dato circulo cuius centrum eft a , Diametrum aptare ita
vt tempus per aptatam diametrum aquale fit cuilibet dato
tempori .
Debet autem damm tempus maius effe tempore c^fus per
Libeir TritfMs l
diametrum perpendicularem .
Ponamus tempus per diametrum per-
pendicularem c^.effe cd. ^ tempus
datum Iit ^^.Repcriaturipfarum cd^ed
tertia proportionalis qu^ £\xfd,^dxczfd
fiat circulus/^ d, in quo ex puncto d. apte
tur ^ ^ . ^qualis ipfi e d* Poftremo ipfi h d^
agatur per a, parallela iL Dico diame-
trum ^7. dato tempore e7.abfolui.
Cum enim tempus perr^,fitc7, erit
€ d , (^quia media proportionalis eft ) tempus per fd , hoc eft
per ^ d, ( per fextam Galilei de motu accelerato ) hoc eft
per / /. qu^ aqualis & parallela eft ipfi h d* Tempus igitur per
diametrum / L cOl e d. Quod erat dec,
PROPOSITIO XXXVII,
S I fuerint ah,d c, ad horizontem perpen-
diculares , & fumatur v bicunq; pundum
fiue intra , fiue extra parallelas , fiatque ad e,
angulus de c redus. Dico per interceptas a 7,
h c, femper efie tempora lationum ex quiete
^qualia. Ducatur enim per a af, parallela ip*
ixbc, erit angulus/’^ 7. aqualis angulo cj & ideo redus . Qua- pf lem.
re tempora .ad. latera trianguli redanguli , cuius bafis * ^
ereda eft, sequalia erunt inter fe. & ideo etiam per bt, ad,.
( funt enim af, b e , latera oppofita parallclogramnfi,qu^e fem-
per eodem tempore peraguntur . ) <^od erat
PROPOSITIO XXXV IU,
S I ab eodem horizontis pundo a . ad idem planum per pen
diculare b c , duo plana inclinentur ab .a d ^qualiter ab in
clinatione femireda diftantia, tempora lationum per ipfa pla-
na inclinata , gqualia erunt inter fe *
Erigatur ex a perpendiculum ae, Fiatq; circulus circa tri»
angulum
lis
r«i De motu.^mium Uefcenifnt.
Quia lineae ‘db.ad. per hypot. ^qiialirerdi-^^
flant ab illa qu^ angukimM-edum € 4 G, bi£iriam
fecat , aequaliter diftabunt etiam ab iplis ea^ a c^Sc
anguli ff, ^>^^;.£equales erunt, fed bde, Scjb
d, lunt alterni, ergo aequales erunt, r , & d b d ;
quare triangula rcdangubi ^ c b , d d c . tequiangu
la erunt, &:vc bG .id c a^ ivditxit cd» zd cdydt
ideopervltimam rerti Eucl. recta circulum continget*
Sed c d eft horizontalis , ergo pundlum d . efl pundum infimu
circuli , & ideo tempora lationum per hd^ da tequalia erunt.
Quod erat&c.
Aliter .
II ec idem oflendemus fi>ne circulo , curiof a quadam inuerfio^
ne . Sint eadem f lana ab , ad quamuis b c non /it q>erp^endi~
■culum , dunmodo ifulinatafldnd fdcidntanguloscumhorizion^
te 2iC ,dr cum pldno b c permutatim aquales , hoc e Ii c a b aa
qualem ip/i zd C:,& c 2. d ipji zbc-.
Jam pofitum e/l triangula ab c, a d c.
■e^e (i milia , / magi nemur iam conuerti figu^
r amita vtbefit horizon^ (/ ac (aBa/it
perpendiculum . H abebunt in illo fitu plana
a b,a d .eafdem inclinationes quas anteinuee ,
Jionem habebant per mu tatim tamen, nam,
a b minus decliue erity a d , magis ; habe^
huntque plana in eo fitu eandem communem
eleuationem . Ergo per 2. huius , erit in eo fitu inuerfo Momen ^
tum inclinationis maioris ad, ad momentum inclinatimis mi-
noris a b iZft a b . ad ad . Eefiituamus nunc figuram in peifii-
num, dr habebimus ( permutatis planis) e afdem inclinatio^ ^
nes . Bicamus igitur iterum ; MomentumincUnationis maio-
ris ab. ad mom e ntu inclinationis minoris zd aB *vt a b . ad z
d . ^arevumfint momenta*vtfpatia^eodemtemporeabfolutn-
tur zh, zd. ficuoderate/G.
Poterat etiam proponi fic . Si ab eodem horizontis pun^lo
4 duo
; Likr Primus . 1 3 S
a duo plana ad aliqilod planum ^£*indedantur,,itavt ad
ad Svivt bc ad c a, erunt tempora lationum per vtrumq; incli-
natum planum aequalia .
P R 0 P O S / T 1 0 XXXIX..
■4.
S i fuerit quodcunq; planum eieuatum ^ ^ & quodcunque
'horizontale fpatium ac . fcd:um bifariam in d. Dico fi
ponatur tempus per a b, efle a b . tempus per a c pofl cafum b a
ede femiffem ipfius nempe ad..
' Pon atur enim a e . dupla ipfiiis a h .
lam fi fupponamus tempus per ab .. cffe
ab , erit tempus per a e eadem ab. Sed s q p
fifpatij a e eft tempus /^^,,eritfpatij a c:
tempus ad . fefl enim vt fpatium a c,ad
fpatiu ac^ ita tempus a b, ad a d.) Q\^xQ cum tempus per planii:
eieuatum ^^.fitipfa ^^.eritpoit cafum bdy tempus per ac
dimidia Quod oportebat&c..
Bac Profofitio re ipfd congYMtt cMm frofof.zsBalilei de Mo-^-
tU: accellejato . Bos illam diuerfo mod^o propofuimas 'confulen^
tes oppoYtumtati eorum qua. hinc [equuntur^vt infra apparebit.
p R O P O S l T 1 O X L.
S I exterminis 4 ^ . alicuius lineie horizontalis duo planai
inigqualia ad idem pundum c. compofita fuerint,
maius icb minus . dc differentia longitudinis planomm qqualis
fit femiffi horizontalis ^ ^ . Erittempiis lationis diredacx''^
vfqi in 4 aquale terfiporiiationis inflexteex c per i; . vfqr iU;
eundem terminuml^ horizontalis fpatij .
Diuidatur 4 bifariam in d-. erunt ergo c ^ , bd>. equaies;
ipfi e a ,, Ponamus tempus per effe c b . hoc fuppofico erk
tem-
ex Gal.
/ 3 ^ moti* ^yauium defcendenL
tempus ipfa c 5 & per duas cb^ha^
tempus, per Praecedentem, erit c h d\ nem-
pe aquale ipfitempori c a . Quod erat &<:•
Problema.
Hinc manifefta efifoluHc p Yohlematis ;
ddto flano inclinato a c , ef bori^nte a h. oportet minus aliquod
planum inuenire c d . ita vt fi ex terminis a , cf" b . ad vnum
puncium duo illa plana componantur, tempus lationis per rnaius
aquale Jit tempori lationis per minus , horizjontem Jimul,
I> ematur ex plano a c . pars c d aqualis ipji a
e femijjt horizontalis fpatj reliquum a d . erit Qp
planum quajitum . /
Siver))faciadetraldione ex ca nihil reli- /
quum Jit , vel feri nullo modo pojjtt , problema A £
infolubileerit , Demonflratio patet ex FrAQC-
denti .
Dato vero minori plano zdi^Jfpatio horizontali ab in ea^
dem figura ,f ipfi a d . addatur d c . qudt aqualis Jit z^yj ^miffit
horizontis , maius planum quaftum erit a c . Bebent autem v»
traq; plana a d ; a c ,fimul , maiora ejfe fpatio a b , alias infolu*
hile ejjet problema ; nam duo latera trianguli reliquo debent eJfe
maiora,
fluando dat afuerint ipfa duo plana in aqualia a d , a c , ^
quaratur quantum fit fpatium horizontale ex cuius extremis
pungis erigi data plana pojjtnt , (jr ad vnum punHum componi^
itavt tempus lationis per maius planum , aquale fit tempori la^
tionis per minus ^ per horizontem fimul-y Accipietur difier entia
planorum d c yquf duplicat a fpatium horizontale quffitum a b
exibebit . Bebent autem tres linea ab, a c , a d tales ejfe vt
triang. pcjfint coponere; alias probL ejfet mfioluhile.H orum om^
mum demonftratio cum iila prae edentis Propofitionis congruit i
ideo rem indic afe fatis duximus , Libet hic obiter recenfere
quajdam propojitiunculas , quamquam ex j. Conicorum depen^
^ ^atip/arum dcmonftratiox apparebit enim ex ijs naturam etiam
^ circa
Ijiher Primas y /jf
^Ircst hyperbolen quafdam nugds meditatdnifuijfe dd motumfpe
antes , Si cui conica non placent, digre[ftone hac pr^termilfa,
pauca hdc euit are poterit,eir ad Propofitionem 44- fc conferre.
Materiapr^cedentium hanc continuationem nimis expoftula^
bat .
propositio xli.
S I reda linea a h . in quatuor ^a!es partes a c,c d, d e, e bAi^
uifa fuerit, & ex pundis excitentur du^ hyperbolae,
qute fediones oppoiic^ dicuntur, quarum foci fint a, 3 ch. Sum
pto in altera earum quolibet pundo/'. erit tempus ^txfa, ae-
quale tempori per fb,ha.
Hoc enim patet ex praecedentib us . Nam
propter hyperbolamlinea/’^,cequalis ed
vpiisfh ,c e . per 5 r . tertij Conicoruin-» .
Sed r <? . femiilis eft fpatij liorizontalis a
h . per hypotefim , ergo aequalia funt tem-
pora lationum tam per fa , quam per fb ,
^4» Quod erat &c. ^
PROPOSITIO X Lll.
S I datum fit horizontale fpatium^^ terminatum, & Ion
tudo alicuius plani /. data fit maior quam ab. Secare o-
portet planum f in duas partes inaequales ea lege , vt fi ex ter-
minis a,b, fada plana ad idem pundum componantur , tem-
pus lationis per maius planum, aquale fit tempori lationis per
minus planum & per horizontalem fimul . :
Hoc duplici modo abfoluemus. Primum contemplati ue,
flue per refolutionem , deinde pradice .
Kefolutiuehocmodo.fadumiamfit quod faciendum eft.
ac fine duo plana e a ^eb^vt imperatum eft , nempe aqualia fi-
S mul
1 5 8 De mota Gratiiurft dejcendeaf.
mulipfi f, & eiufmGdi vt tempus
& ^ % ita Vt tota r/, i^qualis fit ipfi
fxh h fy^ c 4 rhd* aequales fint inter te ^
G^ntcor, Certum eft quia 4 e,e ^, fimul ^equa
per eayddquakdt tempori pcry^
1 4 , Producatur a h , vtrimq> in c ,
les funt ipfi c d , punduin e cfle in_4
ellipfi , cuius axis maior efi c dy & foci funt 4j , pun^a Cer-
tum etiam e ft , quia tempus per ea Aquale efl tempori per r K
b a y idem pumStUm e efle in hyperbola cuius foci fint dyby^
vertex h . ( diuisd nempe ab yk quatuor partes aequales, qua-
rum vfia fit h h .) hoc autem demonftratum eft in prsecedenti .
Erit ergo pumftum e . in communi concurfu duarum feCtionu ,
fed du^ fecftiones dat^ funt ,■ quandoquidem dantur foci com-
munes vtriufqj dydick y dic d , data eft axi§ maior ellipfis j da^
turq; i h . diameter hyperbolse , nempe femiflis ipfius a h i qua-
re etiam pundum c . datum erit ,
Componetur hoc modo •. Fadis igitur duabus fedionibus
hyperbola, & ellipfi , quse Goncurrant in e, fi a pundo t ducan
tur e dy eb y erunt e dy chy fimui a?quales ipfi dc erit tempus
per idy 2equale tempori per e bybdy fimui , ob hyperbolani-, ,
Quod oportebat drc..
Facilius tamen hoc modo pradiee m figura fequenti *
Secetur ab ipfa linea F. pars
aqualis fit femifii fpatij horizontalis d: ^
b . & reliqua i n . diuidatur bilariam in B
0. Yylco myQm effe plana qii^fitai
qua fi a pundis db irrelmehfur ad "vim
pundum-i aqualia facient tempora iationum ,. tatnpermams
planum o quam per-mittUs ^ d fimui cum hofizontciij . Hoc
autem pcrfpicuum eft ex Propofirione 4 1 . cumdifterentia lon-
gitudinis planorum Iit petCbhftrMoftcm aqualis ftmifix
ipatii horizontaiis db, Watfe
f 'E o -
LihrWfimml
J^ROPOSITIO XLUI.
D Ato horizontali fpatio dh , datoq,* angulo ^ , qui mi-
nor fit angulo trianguli ^quilateri , (alias enim pro-
blema infolubileeflet) oportet triangulum conftituere qupd
habeat bafim angulum hdc tempus per latus c d) f-
i^uale fit tempori per c b yh 4 •
Diuidatur ab, in quatuor aequales partes
quarum vna fit dbd>CQyL vertice focis dy
hy fiat d c hyperbola qu^e fecet redamer,
in c r( fecabit enim omnino, vcinfra demon-
llrabimus.^ Dico eOfe tertium qu^rfiti tri-
anguli pundum . Duda enim f b, patet diflfe- A
rentiam inter ac ycby efle femiflem ipfius a b,
propter hyperbolam,& propter diuifipnemlinete in qua-
tuor jequales partes . Quare tempus per aquale erit tempori
per r^,^^:Qtwderat&c.
fodantem in fr£c edenti figurd {fuppejito dngulo bac
minore quam fit angulus trianguli aquUat eri ) linea a ccumhy
perbola conueniat yfic demonHrabimus infequenti figura.
Sit dfymptptp^ ,b c . Brge reBangulum e
a f dquaie e fi quartf parti figura per
tertij Conicofum^, ^^adrafum etiam fc.
Aquate eB eidem quarta parti figur^ y per
primam fecumdi Conicerum : erunt ergo <e-
qualia inter fe r£0 angulum e a f , (i*qua->
dratmn f c . £luar.e vt a f, ad fc. ita f c.
ad a Cyhoc ePt ad fd^^. Sunt igitur punCta d ca in fiemictrculo cuius
dtameter eB da» centru b.^S * ed c u fint aquales b f. a f . per con
'firuBionein propofiuione procedenti anguli ad freBi fmty
eB.nh^L axis.dr fc ad axem applicata, erunt aquales c b,c a. &
triangulum zifiCyaquilat erum erit, ^^alibet ergo linea qua
$2 adpun*
» 14 ° Mgrai^wn defeendent.
^dfuncfum d. angulum contineat cum da. minorem angulo
a b c , trianguli aquilateri, conueniet omnino cum b c ,* S^are
in ji gura pr ace dent is propojitionis linea a c conueniet cum
afymptoto^iy ideo etiam cumhyperhola .
PROPOSITIO XLIV,
E X infinitis fpeciebus triangulorum red:angulorum,vna
tantum eft qu^ habeat hanc prerogatiuam , quod fcilket
tempus per hypoteimfam^quale fittempori per reliqua duo la-
tera.
Et h^c fpecies illa eft quse prima omnium , hoc efl: , quae in-,
minimis numeris habet tria latera eomenfurabilia j Nempe in
Aritmetica proportione numerorum 3. & 5.
Exponatur triangulum ah r; cuius fatus-
ab horizontale fit q.dc b c, ereClura fit 3*
hypotenufa autem ac . fit 5. Perfpieuum
eft angulum cba, redum cfTe ; cum qua-
dratum ac » 2^. aquale fit duobus quadra-
tis c b,ba ,g.dc i < 5 . Manifei^umetiameft
tempus per r ^ . aquari tempori per c b) b a,
€um differentia inter ^ c . c ^ , fit 2* femifiis fpatij horizontalia
^^.quodeftq.
Dico praeterea nullam aliam fpeciem triangulorum redan-
gulorum habere illam proprietatem . Nam fi pofiibile eft , ha-
beat . dc fit triangulum illius fpcciei ipfum adb.
Quia tempus per d a . tequale efi tempori per dba, erit difi-
ferentia inter ad,dh, tcqualis femifii horizontalis a b . Pona-
tur in diredum ipfi dh .linea h e aqualis fit femifii hori-
z ontalis i erunt iam a de* aquales inter fe ; & , r e , ob ea-
dem caufa aquales inter fe 5 quod impofiibile efl . lunda enim
A e . efiet vterq^ angulus dae^cae^ f qualis angulo e. quod eft
abfurdum.^Nulla ergo fpecies trianguloruredangulorumtepe
ritUr 5 prester iam didam qu| habeat fuperius enarratam pro-
prietatem»
Liher Trimus i i
Telemus etiam demonBrare ex infinitis fpeciebus triang»--
' lorum oblitfuangulorum i angsdlum datum habeant^
^uta 40» graduum , vnam tantum fpeciem ej^e qua pr<zdi6lam
•proprietatem habeat . Sluinetiam 0 penderetur ex infinitis hy^
perbolarum fpeciebus iWam tantum fpeciem ejsequa illam ha-^
beat prdtrogatiuam . Sed non e fi tanti omnia hac minuta enu-*
cleatim percenfere ^ vt leUeris patienti a-^ beneuolentiaqi vlte-
rius abutamur ^ j
PROPOSITIO X LV,
S I Fuerit quodeunq; triangulum abcfis.%
bens latera ab^hc inaequalia, pota ab
maius, b c minus & bafim horizontalem . Di^
eo eodem tempore fieri lationem per b a. fo- ^
]am, &per^r, fimul cum tanto horizontali
fpatio quanta eft bis differentia inter ipfa latera .
Sit enim differentia inter latera cd, cuius dupla ponatur c e.
E D
FerTpkuum cfl ^ r,£r^, firaulaquafiipfi ba. lam fifuppona-
mus tempus per b a^ effe ba^ erit tempus per b c . ipfli ^ e , &
poft cafom kc , tempus per ^ ^ . erit dimidia ipfius c e , hoc eft
c d, Aequal e eft igitur tempus per b a tempori per bc^c e &■>
mui. Quod erat &c.
Ijfdem pofitis .• quando re finead‘cm figura)' minor inerit
quam bafis trianguli. DicoduGgrauia eodem temporis mo-
mento demiffa ex ^ perlatera ^ /^j^cpoftconuei-ficaem ho-
rizontalem fa^am in a,8c c.conucimeinpudebaihfi.quod
quidembifariamfecetipfam Oftenfum enim eft eodem
m mpore peruenire duo grauia ad punCta a & e.orgo etiam re-
liqua fpatia af^efi^ aquali tempore peragentur, cum fint t^qua-
ha per hypothefim gradus -velocitatis zqiuks ftnt .per V,-
huius ,
PKO.-
1 4 ^ ^ motugrauium dejcmdent.
PROPOSITIO Xlri,
P Ofito quolibet triangulo dhc , cuius
horizonti parallela fit. Si
graue ex quiete in vertice a per alterum
latus a c cadat, & inde per bafim c h eum
impetu concepto conuertatur, bafiq; per
ada cum eodem impetu per alteram la-
tus b a afeendat, impetus iiie perducet
graue per afcenfum ba, vfquead idem
pundum a . ex quo difcciTerat .
Compleaturparallelogramum abed* eritq^ dd., horizon-
talis, & quia impetus aquifims per defcenlum d perducit gra-
ue per planum cd,viqi3.d d* perSchoIium Prop. 2 i. Galilei
de Motu Accelerato , idem im.p<ct.iis (pofi: traiiGoiihim baiim
motu ^quabili) perducet mobile ex b vlprin d , iimt enim ^4?,
cd tequales , & aequaliter inclinatae . Quare &c.
Lemma .
Si inter pardllelds horizontales a b, C d.
dud linett fuerint b d , d a . erit terttpm ca-
fusfervndm bd, ad tempus afcenfus per
alteram dz.y vtefiipfa hd ad da. EB
enim tempus cafus per ^uamcumq^ lineam
ex GdlileOy aquale tempori afcenfus per ^ an
dem y quando jiat afcenfus eum impetu per defcenfum aquijito .
Sedtemporacafuum per b d , u d /unt vth d ad^^dy erge
etiam tempus cafus per hd^adtempMsa/eenfus per da> trit
vt bd / ad da^ ^noddrc,
P R 0 P O S I r J O XL V I I.
P Ofito quolibet triangulo ^ ^ . cuius bafis ^ horizontalis
fit, fi fiant lationes ex quiete in vertice a, vtrinq; per tria
latera.
A
B
143
Liher Primas ,
iatera , erit tempus lationum per ac
qua le tempori lationum ah yb c yC a^
Ponamus enim tempus calus per ab, elTe ipsa
4 b y erit tempus per bc, femiffis ipfius b c . per
Propofit.. 40. huiuSjCum hcXxx. horizontalis: tran
fmilla vero bafi motu, aequa bili, tempus afccofus
per ca erit ipfa ca per lera. praced.. Eode m modo: cum fit te
pus cafus per ab ipfa /ii,erit tepus cafus per ac ipfa per
horizontalem i* ^ erit femifiis ipfius r inde per afcenfum b a
erit ba, per lemma praecedens.E fi ergo tepus p er vtramqivia
tamquam duo latera trianguli fimul cum dimidia bafi . Quare
tempora per vtramqi viam, fiuc a h. cdy fiue aeba, aequalia in-
ter le erunt., Quod&c..
^ojpntjimilia demoMjhari de figuris pollgcmsy (jf irr egula-
tibus : S ed cum h^c omnia fio Ut a breuitate excqui non fofitnt ,
exifiimaui eorum demonfirationem. agud eruditos glus. moleBid:
allaturam , quam doHrina
P R 0 ROSIT IO XTV III,.
A I) aliquod perpendiculum data duo plana diuerfae lon-
gitudinis ab eodem horiz ontis pun do iniedere , ita vt:
te mpora per infesca plana aqualia fint . Ycl
Proponit aliquis geminos alTeres a y& b,.
diuerfelongitudinis , ealegevtab vrro co- ^
demqyiindo in pauimenroiofiedi debeant: ^ J fi
ad parietem, grkuia ex fiifiigiis eoiil co- -yfi • y/jr
dem tempore demfira , fimul eodemq; tem-
pore ferantor in terram . ^
Componantur ad angulfire(fiumj: ^
fintqi c dyd e produdia c^e , ipfi^perpen-
dicularis fit df, Accipiatur iamin pauimento difiantia gUx
pariete , qu^ aqualis fit ipfi/.d; Tum d piinao h. inficaan-
mM pariet» hd , ^quales ipfis m ip.fis de „
Dico
i 4+ *i>e motu<jyaHmmdefcendettt.
Dico tempora per i ^ per / aequalia effe .
Concipiamus bafim r e . trianguli c dc , eiTe ad horizontem
eredam , Manifeftumefttemporalationumper edy de, ^qua-
lia e (Te .per lemmaPropof. 13. Sed cum duo Tirera 4*^, df,
duobus lateribus ih , hg, iequalia fint vtruiBq; vtrique, & an-
guli cfdy ig h . re( 5 ti, fi ex quadratis aqualibus dc,hi,Atmm^
tur quadrata aequalia df,hg . remanebunt a’quai ia quadrata^
fc yg i , & ideo/i* ,gi. linea? equales erunt ; & propterea inte^.
gra triangula cdfjhg, tequalia,&fimiliaerunt.&tempus
per / h , sequaie tempori per cd^
Eodem modo oftendetur tempus per Ih, asquale tempori
per d e , Quare cum tequalia fint tempora per cd .de, ^qua--
lia erunt etiam per Quod erat &c.
PROPOSITIO I L,
S I ex 4 pun( 5 i:o fublimiori cir-
culi ad horizontem eredi
graue cadat vfque in centrum by
& inde per quodeumq; planum
fiue eleuatum, fiue decliue, con-
uertatur cum impetu iam conce-
ptojgrauehuiufmodi tempore cafus db abfoluetfpatium bdi
quod nempe aequale fit vtrifq, tura femidiametro bc ^ ttirn etia
ipfius perpendiculo ce.
Seda fit c d aqualis ipfi c e . Dico tempus per d by ox quie-
te in 4 , ^quafe elTe tempori per b d, poft cafum 4 ^ . Eft .n. ob
^qualitatemvt d c 2A c b yix^ c e b dy hoc efi cf2.dfb,dc
permutando vt cd zd cf, ita cb ad b f, in vtraq. figura .
Sed in prima tantum erit componendo vt dfzd cf, ira cf
ad bf. In fecunda vero erit. Conuertendo^ per conuerfione
j:ationis,&iterumconuertendo,vt df^d cfy ita cfzd bf*
Quare in vtroq. cafu tres iine^ dfy cfy hf, funt in continua pro-
portione. / ^
lam fi tempus per d, b ponatur cfle 4 b » erit tempus per fh ip
hfbi
Liher Primus J i 4/
f^/lfySc tempus erit media proportionalis fc, Qtiar e
tempus per reliquum liixe^ , nempe per h d, erit reliquum tem-
poris , nempe ^ . Idem ergo tempus eft lationis per ab
quiete in ^ & per b d poft cafum a b .
In hac fropojtmne reiffa demonfirantHr duo "Theoremata
Galiltt , De Motu accelerato : fed quia valde ad rem noliramfa*
ctunt , eadem diu er fa iterum ratione contemplabimur > vt lucem
fequenti Corollario proferant .
Si graue natur alit er cadat ex a in b,
ef ex h cum impetu cenc epto^per quod-
libet planum b c ~conuertatur . ^uari~
tur quantum fp at q per planum bc abjol
uat mobile tempore cafus ab.
Fiat circa diametrum a b . circulus
a d b , centroqi b , & interualto b a cir^
culus a c . Dico gr au e delapfum per zh ^ fi ex pundo b cum
impetu concepto conuertamr per planum inclinatum b c, tempo
re aquali tempori cafus, per currere fpatium aquale vtrifqi fimul
bc , cd.
Si emm poft cafum zbgraue conuer teretur per planum quod-
cunq }* b c , motuq', aquabili proc ederet, graue huiufmodi per pia tx
num b c tempore aquali tempori cafus fpatium perageret duplu
ipfius b a , er gop er curr er et fpatium duplum ipfius hc, tempore
cafus ,fipoB cafum aquabili motu procederet . Sedfuperuenie-
te operationegrauitdtis,mobile non proc edet motu aquabili fu-
per plano b c ; ^in imm)) tempore cafus a b ,grauitas promoue
bit mobile fup er plano b c tantum fpatium quanta ed inclusa in
circulo linea d b f quo enim tempore grauitas trahit mobile cx
2. in h, eodem tempore trahit etiam ex d in b per <1, G alii ei de
Motu Accelerato .) Ergo dupla hcinprimafgura addenda erit
d b , confpirant enim deorfum tam motus aquabilis, quam motus
^auitatis In fecundavero f gura a dupla bc detrahenda erit
d b f quia motus gr auitatis c ontrarlus efi motui ttquabili) tfific
T
“ 4 "
/ 4 ^ ^De motu (^rauium defcendent.
concludemus mobile pofl c onuerjionem tempore dequdli tempori
caJ us a b 5 perc urrerefpatia b c » c d , tn vtraq; figura .
Corollarium.
Pro Corollario dnimaduertimus quod
fi gr au e aliquod expmtido a impella-
turmotu ^velocifitmo per horiZiOntalem .
a b , peragatqi certo aliquo temporefpa
tium a b i at que eodem tempore quo fit
latio 2 l\> grauitasmotu naturali deor^
fum trahat per tantum fpatq quata e fi
a c , fi centro a interuallo a b fiat circulus b d e f, circa dia-
pnetrum ^L c alius circulus a h ic, mobile imput fum ab eodem fem
per impetu per plana a d , a e, a f , eodem tempore p er aget fingu-
Las int ere ept as c f ,d e , h d a b. etiam infra horiz^ontem *
PROPOSITIO L,
S I duo grauia demittantur eodem temporis momento ex'
-diuerfisplanieleuatipundis, & poPceaiiim per eandem
horizontalem lineam conuertantur ; grauia in quodam punclo
i(imul conuenienf, quod in horizontali tantum di ftat a plano e-
leuato quanta eft dupla medif proportionalis inter altitudines
cafuum'.
Sit planum eleuatum a b . in quo fuman-
tur duo qutelibet punda c . ex quibus duo
grauia demittantur eodem hmul tempore.
Sit aiiterft ^ ^ mediainter * &. ipiius
h e * dupla fit horizontalis ^ Dico grauia
eod. teporis pundto demifla ex & c. in pun(fl:o d, conuenire .
lurgatur enim e compleatur parallelogrammum b c/g .
Cumqj fit h dupla ipfius b e , erit/c . hoc efi; g b , dupla c e.
larn fic .. Mobile pofi eafum c b , fuo impetu; crrrit hprizonta-
iirer tempore cafus c ^ duplam c b , ergO’ tempore e c . curret
eodem impetu duplam hoc e ft ipfam bg . Tempore igitur
inte«
Lihei^ Primus i r^f;^
integro e h fiunt lationes per c & eodem cem porc Ht
cafus per ^ ^ , quare eode teporis m omento erunt grauia alter u
quidem in g ; alterum autem in ^ . Sed reliqua etiam fpatia ^
^qualibus temporibus peraguntur. /"Velocitates enim
funt vt tempora cafuum,hoc eft vt e b . ad/^ . fed fpatia b d,g d
ob dmilitudinem triangulorum funt vt velocitates, quare vti di-
dum eft aqualibus temporibus peragentur ,)
Sunt ergo coniundirn tempora per ab ^hd, ^qualia tempo-
ribus coniund:im per cb ,bd. Qiare duo grauia &c. conue-
nienc in pundo d. Quod erat &c .
Idem aliter demonftrabimus .
Sumatis vtcunq'^ altisadimbas zc bc. Demittantur dud
grauia eodem tempore ex a, & b . Sitq-, d c. media inter cafuSy
cuius dupla ponatur horiz^ontaiis c e .
Dico tempora lationum a c e . b c e .
qualia ejfe .
Fiat circa diametrum c a parabola
quacunque , qua verticem habeat in c .
ducanturq\ ordinatim a f . b h . Notum
ejl in parabola ita eJfe a f . ad hh.vt ejl
13 lC ad cd yvelvt c 6. y ad ch ,
lam . T empusper a c . ^ 7 ^ a f, per c e ,poB cafumzc . efl
b h . (y? enim tempore f a .graue currit duplam a c, tempore b h,
curret duplam Ac hoc efl ipfam ce cum fint proportionales' £
a ad ac, 'z^t hh, ad Ac Fodem modo . T empus per hc» efi
hh ,&p€Tct, pofi cafum b clefi a£ ,( fl m. tempore b h . currit
duplam b c tempore a f . curret duplam d c. hoc eft tpfam c e ,
quia funt proportionales vth h . ad b c . ita a f ad d c . )
Ergo tempora lationum ace . funt linea a f . b h . Tempora au*
t em lationum b c e .funt linea b h , a f . ^uareconiunllim tem*
poraper a c , c e . aqualia funt temporibus per b c . c e. coniun-*
Him. fluod erat <f;^c.
C or ollarium Primum .
Hinc manifeftum eft dato quolibet fpatio horizontali ac^
T 2 cuius
e
148 De motu gramum defcenient,
cuius fubdupla ponatur c d. Si circa media
c d, dux in continua proportione fumantur
c €,cb^ Tempora per ipfas e c^c a ^ j^qua-
lia efle temporibus per bc^c a,
X
Corollarium II,
Manifeftum etiam eft tempora perpendictifarium, & tempo
ra horizontalium lationum reciproce «equalia effe .
Nam in hgura vitime demon ftrationis , tempus perpendicu
li . eft eademq; af, eft tempus horizontis c e . poft ali-
um cafum bc.
Tempds autem eft tempus cafus bc, idem vero tempus
eft horizontalisiationis poft- alium cafum d c ,
PROPOSITIO LI,
S I fuerint duo plana ^qualiter inclinata, a h, maius, c d, mi^
Ru Sydib d. Iit horizon . Sumarurq; h e . media propor-
tionalis inter longitudines planorum ;&du6ia ecf, ponatury^
g . dupla ipfius b e . Dico grauia eodem tempore demifla ex ^ »
& €, poft cafus dhy C d> in pundo g. conuenire .
Sunt enim per praecedentem tempo-
ra lationum per dh^fg, (imul aqualia
temporibus per . d . defg, fimul . Sed
etiam tempus per bf, poft cafum dh'
sequatur tempori per df, poft cafum c
fcumftntfpatia bf, df. vt veloci-
tates eh -i ergo coniungendo tempus per omnes ah^
bf. fg, aequale erit tempori per omnes c d\ dffg , & ideo
grauia conuenientin Quod erat &c .
s
, . P R 0 P 0 S I T I 0 LII^
I Fuerint dub plana maius, cd, minus , sequaii-
ter, inclinata, ita vt lationes horizontales poft ca-
fus
Liher trimus . 1 49
fus in prima figura contrari? inuicem fint;in fecunda vero ad
eafdem partes . Sumaturq; media proportionalis inter longitu-
dines planorum ^ & fit df dupla g e -, hoc eft differenti^
intermediam, he, & minus planumjduCta deinde aequa-
li ipfi parallela ad ^^ , iungatur ek. qu^ fecet horizoa
temiii /
Dico gra
iiiaeiK
r , eodem re
pore demif-
fa, fiverfus
i conuertan
tur in pu6io^
i conueni-
re.
Ponamus tempus per cd,t^tcd\vt\hg. fibitrqualem.
Ergo in horizonte graue c . tempore h g, curret duplam bg\
& tempore g e . curret dupkm g e , nempe df, Eft itaq,- tota
t b , tempus per r df. Eadem quoq; e b ; tempus efi per ab'.
Quare eodem tempore peragentur cdf, ^ ab, Reliqiijse au-
tem fi ,hi, eodem tempore peraguntur ( cum propter fimilitu*
dinem triangulorum fpatia ffbi, fint vt velocitates hf e b,)
ergo coniundim idem tempus erit tam per cdi^ quam per a b u
(^are graiiia conuenient in i . . Quod erat &c .
In fecunda figuramn debent lationes horizontales effe con-
fraris^ namgrama nunquam eonuemrentfed amh^ 'iieifus par^-
tea i ,
B R O P 0 / r 1 0 LUI..
D Atis duobus perpendiculis ab^cb^ inuemre i^tium ho*
rizontale quod cum alterutro datorum perpendkulora
eodem tempore conficiatur .
Ponatur W. qualis ipfi hc^^evetz: ad, fiat femicirculusi
ponat urq; horizontalis b si, duplaipfius. b f . Dico iariones a
b
i 9.
de metu
Acfel»
1 5 o De motu Crauium defcendent,
b €,cb e, to^^m tempure abfolui .
Hoc enim patet per Corollarium primu
Propofitibnis 5 1 . Nam altitudines perpen-
diculares ah^bc , (unt continua proportio
nales circa bf, femiiTem fpatij horizontalis.
Quare fadum eft quod &c.
PROPOSITIO Lir.
D Ato quolibet perpendiculo, & quolibet fpatio horizon-
tali ,* aliud perpendiculum reperire , quod cum dato fpa-
tio horizontali eodem tempore conficiatur ac primum perpen-
diculum cum dato horizonte .
Sic perpendiculum datum ho-
rizon b c . cuius femifiis ^\ibd. Junga-
tur ^^/. fiatq;angiilus bdfij^d horizonte
aequalis angulo b a dy qui efi: ad perpen-
diculum . Dico tempora lationum per
fb ,bc fimul , & per a b, b c, fimiil, ^qua
lia elTe. Triangula enim redangula
b dyddb , fadla funt sequiangula . Qm-
ttvtfb. ad bd.ka bd, ad Eccum ^^/.fcmifiis horizon-
talis fpatij media fit proportionalis inter perpendicula fb.ab.
erunt tempora ^tvfb c , & per abc, sequalia . Quod erat dcc.
PROPOSITIO L V,
S I fuerit horizontalis dupla perpendiculi d iy Dico
iplas eab ^ breuiori tempore percurri,qua
aliud quodcunq; perpendiculum cum eodern fpatio horizonta-
li .
Erigatur ^^.perpendicularisad dby
& per €yb, punda, circa diametrum e a
agatur parabola ^ ccb. cuius focus eric
4.(po-
Liber Primus . m
^ . ( pofita enim eft dupla ipfius a e.) Sumaturiamquod-
iibct aliud perpendiGulum ^ & ducatur horizontalis / d.
Tempus per e d . cft . tempus autem per . eft idem ac
tempus cafus ,, ergo tempus per e a ipfa db bis fumpta .
Sed tempus per e i\ eft i c\ tempus autem per i d . quantum iit ,
lic venabimur^' Velocitatem^. tempore curritur m^^.Sed
velocitate c i\ tempore d h . non curretur eadem db. Fiat igi-
tur vt velocitas £ i, ad velocitatem a by ita tempus m ^ . ad aliud
ml ,¥1 erit m /.tempus ipfius ^ / . po ft cafum e i Patet ergo/^?
l.ci . primam & tertiam proportionalium , maiores eflfe quam
dupla mediae, hoc eft quam db . bisiumpra . Quare &c.
PROPOSITIO LV I.
S I db. horizontalis dup
la fuerit eleuat^ d e . Di-
co ^ quo longius a pundo e .
demittatur graue , eo tardius
lationem fuam vfq; in b abfol
nere .
Demittatur ex pun dis c, &
d. Duo grauia; oftenden-
dum eft niaioii lenipore fieri lationem per d dh, quam ner c d
h. Fiat de a e.
ftt tertia proportionalis dg . IpOs autem dd^ae . tertia fit a hy
te dticantur ordinarim linete ex pundis d^c ygyb .
Quia qiiacirato eidem d e , aequale eft vtrumq; redan<^iiIom
dd h j c ag. erunt hfc eadem redangula scqualiainier fe r pro-
pterca latei a reciproceproportionalia habebunt . nempe vt h d
ad . ita C4 ,ad Sed in hac eadem proportione ob pa-
rabolanis funt quadrata s a^g m y te c /ad dl , ergo propor
tionaliafurmetiamiaterasnerapevt ^/.ad gm .ita cl ad di.
extremas autem hf , di maiores funt quam medise gt^ y c l\ te: *
extrema ftmul iunt tempus lationis d dby at medi# funt tempus
lafionls cdb. Quare tardius abfoluetiirlatioiper j quam -/voT
^evcdb . Quod erat &c. ^ ^
a.
ia:
iicntJ»
Idem
15 i De motu grmmm defcendent.
Idem infertur etiam de piinais^,&4iupra ipfum f . fun^tk.
Sunt enim tempora eorum , trcjitalia temporibus pundorum r .
ivide ean & v^trumquc vtriq; &c.
dem .
PI^OPOS ITIO L P’ II.
S I ab aliquo pim< 5 l:o lineae circulum tangentis in pmidto fu-
biimi, grauia cadant in periph^eriam & inde per chordas
horizontales coniiertantur . erunt tempora lationuniper vtram
que chordam & eius perpendiculum , aequalia .
Tangat linea circulum erecluin, in pun(5lo fablimi h.
Et hc rangens horizontalis omnino erit . Sumpto deinde quo-
libet pundo graiiia demittantur perpendiculariter in peri-
phteriaiT], & conuertantur hue in c , hue in d . Dico tempus per
ac £ ,^ per a df. idem clfc .
Sunt enim horizontales ce, df. a:qua-
leSjCum fitparallelogrammum reda
gulum ce , df . fedte fint bifariam in g
& ^.pundis.
Quia ergo femiflisfpatij horizonta
lis tnedia proportionalis eft inter altitudi-
nes perpendiculares ac,ad .( linea enim
a h . tangit, & ad. circulum fecat) erunt per CoroIIariiim pri-
mum propofitionis 50. huius , tempora lationum ace, adf,
sequalia . . Quod erat dcc.
Et per fecundum eiufdem Propofitionis Corollarium ea-
dem tempora reciproce gqualia funt
PROPOSITIO LV III.
T Empus per axem parabola, & eius ordinatim applica-
tam fimul 3 aequale eft tempori per quartam lateris redi
partem? & eandem ordinatim applicatam .
Sk
LiherVrimm, ix/
Sit axis parabolse ^ ah ^ eius ordinatim ap
plicata he. "Ei fecetur hd, ^EqlIaIis quartae
parti lateris redi . Dico temporaper ahc ^
& per dhc . aequalia efle inter fe . Diuida-
tur b c . bifariam in :
Erunt tum quadratum e h , tum redangu-
lum a b d 3 fubquadrupla quadrati cby. Sunt
ideo aequalia inter fe , & ipfa e b . media proportionalis eft in*
IQX a b \bd , Quare per Corollarium primum Propofitionis fo.
huius , tempora per ab c. & per dbs" sequalia funt &c.
Sunt etiam per fecundum eiufdem Propofitionis CorGlla*
rium , reciproce aequalia . Quod fatis fit oft endilTe circa motum
grauium naturaliter defcendentium e
Primi Libri .
*54
DE M O T V
Proiefitorum .
LIBE% S ECFNDFS .
RO I ECT A mnCyhellormnq^y minds , dtqm
arcium tormenta dicemus : Sufremus hic la-
borum GaltleifruBus y fuprema etiam gloria^
Ofiendit Galileus in ltbro
de MotuProieBorumyqmd
fi mobile aliquod a flano B A
horizontali zh decidat yimfetu prius hori- s
%ontaliter concepto y parabolam dliquamyVt
b c . cafufuo de fi gn abit . Verum efii dummodo linea a b quM
efi diremi 0 proie&ionis ad horizontemfuerit parallelay (fi quan--
do paraholainitium h ^fallum fuerit ex vertice fupr emo ip(ius
parabola ^fiue( quod idem e fi ) ab extremo axis paraholici pun-
lio b , ^andovero linea proieUionis dihmnhoriT^ntaliSyfed
fnrfum fmrit , *vel deorfum inclinat a.y erit quidem Uneaproielfi
qutZdamcurudy ^fefe comingcntmukem tumimea reUa dk
teBionisiutetd quamfali afuerit proieMio ^ tum curua qua erit
femitaproieUi i dp punchm contaMus erit idem, ac punilum fe-
parationis ipfius proielfi ab mfirum.ento impellente . Sed
hanc lineam £ mnam &ejf€ parabolam , (fi eandem prorfuspara-
holam efie yqutt ab eodem mobili honzont alit er pri use onc itato
ex ipfius par ab olOi vertice defcriheretury kaUenus defideratur
magis y e^udm probatur . EBprofecfo eadem parabola , velut ip~
fe Galileus afiirmati.n CoroHario. Propojl j. de motu ProieCloru ,
mqtverifirrfile erat adeopculatum ingenium non bene prius cir-
>eumfpeMa pofuijfie , Attamen , veritas illius Cor olla fi manife-
Mapenitusmen erit illis, quibus obliquitates par abolarumigno-^
a Galileofrd^mifas ftofojttionc^ Apollo^^
mus familiaris mn fuerit , Cum it aqi froieclienes vt plurimum
fant per lineas ad horizontem inQlinatas^ ex quibus oriuntur p a
raboU obliqUa^mn habentes initium ex*v€rtice^ quales freque^
tijjime occurrunt in omnibus fere ia^Hbus machinarum y immo
etiam neq; 'verticem^ neq^ axem habent eSy quales funt proieBio
nes inclinat^ aeorfum y lucem Corollari(r Galile i afferre conabi--
mury & cuiufmodi fit linea curua proieElorum •vniuerj alius de*
terminabimus .
Definitio»
Difedio proiedionis dicitur linea reda qu^ tangit lineanu
curua riiproiedi in primo pundo eiufdem linea? curule, quas
quidem diredio in tormentis bellicis eft eadem ac ipiius ma-
chinseaxis.
PROPOSITIO PRIMA.
S I grauefurfumproiedum ex ^^afcendatmotunaturaliter
Deficiente vfq; ad fublimius pundum fuas lationis h» idem
vero mobile aequali tempore , & eadem velocitate quam in pu-
do a habebar, fed motu ^quabiliafcendat vfqsin c. Dico 4
c , duplam efTe ipfius ab .
Si enim non eft dupla , ponamus aliquam ad dup-
lam efte ipfius
Concipiamus iam cadere naturalitd mobile ex b
in a» Gradusilleimpetusacquifitipoftcafumex bm
a. eft ille prorfus qui vehitmobile ad eandem altitudi
nem L eod em tempore , & motu naturaliter deficide* *
Idem vero gradus i mpetus eodem tempore, fed mo- ^
tu ^quabili perducit mobile ad altitudinem ^^duplam cafiis
^ ^ . Sed ille idem impetus qui per fuppofitionem perducit mo-
bile ex a ix\ b motu naturaliter deficiente , illud perducebat
etiam motu equabilieodemq] tempore ex a in Vnus era6
V 2 idemq.,^
'/ 5 <5 *De mota Vroie^omm
ideniq;gradus impetus eodem tempore ; motuq,- aquabili per«
ducitmobileperduofpatia insequaiia^^,^^. Quod eft ab-
furdum.
P R O P € I r I O I I.
S Emita proiedorum,qii^Gunq; illa fit/ubJimiori fui punifio
bifariam fecat perpendiculum quod inter horizonteiU j &
lineam diredionis intercipitur.
Proiciaturmobileex ^ iuxta diredione
vtcumq j eleuatam ^ Patet quod fine tra-
< 5 tione graukatis procederet mobile motu
xedo ^ & sequabili per lineam diredionis <<
l?. Sed grauitate intus operante ab ipfa di-
redione fiatim declinare incipiet, crefcen-
te femper d euiationis menfura;& defcribetaliqujMn lineam cur
uam a fd. quj^cunqj fit. Haec linea pundum aliquod fublimius
emeteris habet ;Jllud nempe quod efi; alcenfionk extremum , &
primum defcenfionis . Sit huiufmodi pundum , & per c du-
catur perpendiculum Dico^^, duplam efieipfius
Abftrahamus momm.horizontalem;hk enim motus,quo ad
lationem perpendicularem de qua agemus efi: tamquam non ef
fet 5 cum illam neqfiuuet , neq; impediat . Concipiamus etiam
mobile habere femper fecum luum perpendiculum hb . hori-
zontali quadam latione vna cum ipfo translatum ex d verfus h
in quo pa*pendkul© afcefjdit graue, motu quodam continuo ,
fed femper magis ac magis deficiente jl pundo h vfq; ad pun -
itum c . Conficit ergo mobile m fuo perpendiculo tem pore
iExempli gratia . fpatium >h c . fed fi mom aequabili .afeendif-
fet cum impetu (Scrempore eodem 5 ureperiretur in b ( deberet
■enim ob motunirequabilem elTe femper in communi fedione
linearum Quareperprjecedentem , Ipatium Ji* ip-
fcs dujduiireft^Quod^ral&a
1
Lther Secundus . 1 5 7
PRO posirio III,'
L Ineacuma,qu5edefcribituramobili fecundum quamlibet
cleuationem proiedo , parabola eft,& prorfus eadem,
quam defcriberet mobile ficum horizontali impetu proicere-
itur a vertice eiufd em linese curuse .
Sit lineaproiedionis dire dfiua ab, yt-
cumqjeleuata, & linea curua aed e ^ cu»
ius fublimius pundum fit/’. Ducatur per-
pendiculum ^/^.& erunt per pr^ceden»
tia aequales bf,fg • Ducatur horizonta^
lis/i^j& perpendicularis ah, erunt iteiu
aequales fi . ih-^ ^c afib , Diuidatur a
b , in quotcunq, partes. ^quales alyl if m
mb,dz agantur perpendiculares per pun-
da i, i ym , Manifefirum efi; quod fpatia sequalia aljijm^m
i, percurrerentur a moi>ili temporibus sequalibus, fi motu
quabili ^ & fine acceflu noui motus deorfum , ab interna graui-
tate procedentis, moueretur. Sed quiaei ftatimatq; a proicien-
te dimittitur in a . fuperaduenit attradio grauitatis, incipiet c6-
liniio a linea diredionis.deorfum deuiare , & deuiationes tales
erunt vt linea la: . defcenfus vnius temporis fit vt vnum : linea^
■vero iJ , defcenfus. duorum temporum fit vt quatuor , dc ^e, .
trium temporum vt nouem, ibf, quatuor temporum vt i
fic deinceps ea lege vtfemper defcenfuumfpatia fint vttemp®
rum quadrata . Quia vero a IJ i funt aquales , erunt
h 0,0 i (quod inter eafdem parallelas fint) sequales
& cum fit i/, I & s erit 8. ergo reliqua n e efi: vnum. fquan-
doquidem tota m e erat g , ) Ipfa vero i d , pofita fuerat vt 4.ne€
immutatur . qI aiifemfqualisipfi;^>j ;?i . eil:^.&addita /^squsi
pofitafuerat vnum , erit tota ^ c vt j?, At h a., aqualis ipfi l/erk
id .Ergo cum fpatia/l^,.^ fi o^ob, fint aqualia ; & ^eyid^^Cy
h a , fint vt 1 5 4, p . I & fic deinceps vt reliqui feniper nume<-
ri quadrad^erit linea projccdens ex j\per punda e . c. a . pa-
rabdla
motu TroieBomm
rabola reda culus vertex /, & de qua agit Galileus . Sed 'h^c
eadem linea e 11 tradus proiedioms obiiqug ex ^ vfad| per fiip
politionem nollram ;Erg6 linea'curiia,quf deferibitur a mobi-
li lecundum quamlibet eleuationem proiedo^ eadem parabo-
la eft quam delignaret b cumimpetu harizontali opportuno ex
vertice ipfius proiedumfuiflet .
Manente eadem conllrudione ^ & figura , dico edam poli
culmen, iiue verticem/, mobile ex ^ proiedumj in eadem pa
rabola continuare motum fuum .
Sumantur bp .pq . ipfi h m ^quales-i
erltdcfcenfus /r.quinq; temporum vt
25. & fex temporum vt 36. Sed
cum - bf. Iit I < 5 , iplii p f, ell 24, & q u
3 2 . Relique ergo funt vt unum
&4.&C. Quarepuncla/,r,/. per que
incedit mobile funt in eadem continua-
ta parabola in qua funte, dt/
Linea criam curua^ qug deferibitur
a mobili fecundum quamlibet diredio-
neni deorfum proicdo , parabola e0:,&
eadem prorfus quam deferiberet mobi-
le li horizontaliter concitatum a ueru-
Ce ipfius proiceretur
Manente eadem figura propofitionis
tertie . Sit linea proieddonis deorfum
fato & fit impetus idem qui fuerat
in proiedione./^ / .iurfum Manifeftum
eri quodmobilerii^^^ moue
retur percurreret lineam r edam af. Su-
mantur iam aquales tpm inter
fe j tum etiam ipfi aL patet etiam quod
ipf^ a b . bf.. motu^quabili, temporibus
aqualibus abfolucrentur cum gquales
Sed quia grauitas riatim incipit de-
^ orfuni
Liher Secundus . tjp
^rfum trahere , mobile a linea reda /^/cleuiabit, & eritdefGen-
fus . unius temporis ut uxmmj eritqj t qualis ipli Ic qui fue-
rat delcenfus unius eorumdem temporum . Defcenfus autem
fd . duorum temporum erit ^ 4., & & femper deinceps . Q]]ia
uero ^^.eft i6.,,erit ^^.24. & addita ^^,tota eg erit 2 5.
Eodem modo ; ^ ^ /‘^•4* ergo tota id, eft 3
Cum itaq^.fint aquales 0 h e ^ei,^ o c , ha yCg\,id fiat (co
tinuato.ordine numerorum quadratorum, )ut 16, 2 5. 3 ^. erit
linea c ^^ <a^ . por.tiaeiufdem continuator parabolf : ergo linea
curua que defcribitur a mobili deorfum proiedo parabola eft ,
& proriuseademqiiam defcripftff^ fi a uertiee ipifus^ ciim ho-
rizontali impetu oportiino proiedum fuiifet »
fiximus fum hon^i^ontali impem opportuno \ quia fi mobile
sum eodemimpetu proiseretur ex horiz^ontaliter deorfum •> &
ex 2i fecundum^ a Xfiurfum , nequaquam e andempar ab olam de->
ficrib€Yet v t'^^qi latiom . Requiritur e nhn mator impetus in pr(h-
ie^ione ex z. fur fum falja. ad hoc ^t eandem parabolam J efcri~>
hat quamdefignauijfetfi ex p hortz.ont diter pr oie Cium fui fiet .
Ratia veromius impetus adMmm-vteadempar ah. euAdat.,€rit
hac p.,
Simobile h oTiz>o nt adit er pr oie Cium ex p. quolibet impetu de-^
ferip fit parabolam p c ad hoc %st ex,z.proieClum defer ibat e an
dem debet impetus ex a ad impetum ex p ^effeut. a vi adCz m .
Id unce mtafimoh ile iuxt a n pToiciatur c um im-^
petu dicio eandem parabolam a c p ^percurret .
propter nurnerorumapplicationem , ea qua au -
tudimusnom demonUrajionempmet ^ fideomputum:^ velexem^
f tum ^ habeat hic demonfirationem puram pramlffp hoedem^
mate^
la
Si fuerit WZ.C ad dh. potentia, itac^tadh d.
longitudine , &fint parallela c e ,.b d , loico { con^
iunCl a 01 e ) ipfamh dcmediamfepoftMna^^^
inter duas cctfo A,. "
R fi enim- c ^ adh A doMgitudim^ K a ad:''z b,- ^
B
1 ^© Demotu ProieS^mm
hoQ e c e > Ad b i.Pote^ftia * S^Are , media eB inter CQ^
hd,&c.^
S i ^ero , vt funt a b , a c , a d .pten^
tia , it A fuerint pralleU b e , c f , d g.
lengitudine yf ntq ; a h, i g . ^qudesyBi
co etiam h e , i f , ^qudles ejfe . Eji enim
ad 2ii vt g d ad icy vel per prae e-
dens yVt i c ad cf. ergo diuidendo erit
vt ad i^yita i fad f c. eirdoft modo ojlendemus effe vt g b
ad h^y ita h e ad e b . His demonBratis . E/i { c ad h c . lon^
gitudine y Vt c a ard a b, vel i a ad ah, vel g h W h a, vel h e
ad e b . pot entia . Ergo h e media efi inter f c . b e . Iterum ,
Esi £c ad b e longitudine vt ca ad dby vel id ad d h , vel
ai asl i^gyvel c£ ad fi potentid . ergo fi me di a e fi inter cf ,
b e . Inter eafdem vero media erat etiam e h , ergo f i , e h . £•
quales funt . ^^od erat promittendum,.
Refumpta iam figura propo (itionis s» huius y fiat vt amea ex^
pofitum eB proieBio per lineam aede f .dueaturqi reBa dfc^
accipiantur aquales dp,fq. Erunt obdefcenfionem natur ali-^
ter accelerata?nfpatia I c. m c , bf . in duplicata ratioue tempo-
rum a 1 > dxddydb , ^ tdeo per praced ens lemma aquales erunt
cp y e qydr propter e a remanent aquales 1 c , n e f nam tota 1 p ,
toti n q . aqualis efiyproduBa enim i d r . erunt aquales a r, r fi
&ipfa ir eandem rationem habebit ad Vpy (fi ad nqy nempe
quam habet ra ad dp. vel r f W f q . ) Ergo omnes linea qua
ex f verfus i d fuccefftue defeendunt d linea fb funt aquales
omnibus (fi fingulis illis refpedmey qua ex a
verfus lineam id. fuc c e ^lue defeendunt d li-
nea ab ^Jingulafingulis ( quod enimoBenfum
€ fide fola n e. ofiendi poteB de omnibus , ) Sed
emnes iBuy quarum feries ex a incipit per fup
pofitione funt inter fe longitudine vt funt a 1 ,
a m 5 a b , pot entia , ergo etiam omnes illa qua-
rum ordo incipit ex f. erunt longitudine vt om
nes in j f o , f h fotemid . filare Une a e urna
a ce fi
Ltker Secundus . idii
a c e f , qudi defcrihitur ) mobili fecmdum qUdmlibet e letid^
tionem frokBo^eadem fdrdbold efl^ qudm dejlgn dret fi ex verti
ce f cumimfetH horkontaU of ortum froieilum fuijfet .
Lemma.
Si mobile proieSlum , dum parabolam a b c per--
currit y in aliquo ipfius puftclo b . omnz gr duitate
fipoliaretur^ tunc proQulduhio per lineam reilam b
d » tangentem parabold lationem fuam cotinuaret
motu femper aquahili . ^ujtndo quidem dempta ei
e^et omnis caufa qua motum aut inflexere poffet^dut dc celer d---
re^ vel retardare , Manifeflum etiam eB, impetum ipfius mobi-
lis in qualibet portione tangentis b d , eundem femper futurujn
fore qui fuerat m puniio b.
PROPOSITIO IV.
I Mpetus in pumflis parabolae vt funt portiones tangentia , ia*
ter duas parallelas diametro interceptae .
propofita parabola ducantur ^
tangentes ae^bg ,cb.i quibufcunque
pun(5tis a, b .c. tum duae line^ parallel^
diametro vbicunque fint di^eh. Dico
lineas interceptas d e . fg fh, ipfos im
petus qui funt in pundtis a.h.c. propor
tione reprefentare .
V naquaeq. enim ipfarum d e yfg^ i k .eodem tempore abfol*
ueretur a mobili^quandoquideprogrelTio horizontalis quae in-
ter duas parallelas di, e eodem femper tempore debeat
abfolui, vbicunq.reperiatur mobile, & perquamcunq; incli«
nationem procedat. Sed motus in ipfis lineis interceptis funt
aequabiles ,ergo impetus erunt vt fpatia . Quare impetus ipfius
^e,velpunai ^.erit vtlinea de. Ipfius autem velpun(^Ii
b • erit vifg* ^ fic deinceps . Quod erat &Ci
X
PRO-
102
De motu TimhBomm
PROPOSITIO V.
I Mpctus in pundis parabolae sequalitcrvtrimq; a vertice di-
ft antibus, aquales iunt inter fe,. licet alter afcendat, alter
vero defccndat
, Sumatur in parabola proiedionis fad^ verfus:
b & Cjpundaquseuis qu^ sequalitd diftent
a vertice b , hoc eft , quce fintin eadem horizon-
tali linea a c . Dico impetus in d8>L c aquales ef-
fe *. Accipiatur b e trqualis ipii b d,di ducantur d
€^c e, quarum vtraq; tangens erit . Ducantur etia
line^ q/, gh, diametro parallelg ubicunq;uifum
fuerit i & producantur tangentes ah^eg .Erit er
go per praecedentem impetus in a ut fh, &in c ut cgy quse fi
^quales fucrint,aequaies erunt impetus in pundis, a dz c .
Latera dd^dc . funt aqualia , «5c d£ commune y anguli aute
ad d redi , ergo anguli de d^d e e funt igquales . Angulo airt
tem d ed aqualis eft e hg . oLparallelas , & ipfi de g, ^^qualis
efl c gh , item ob parallelas jeil ergo triangulum chg ^quicru;
re, linea fc. bafi parallela^, quare/i^, e g^ aquales funt*.
Quod erat &c,. vv .
A 25
Corollarium.. ‘ cj;
'Bine colligere foJfumusfdCid pr oie Bione ab a, quod /imobi-^
le exfunBo c refieBdiurretrorfum per e anden^ fudm ^tdm cum
impetu eodem^ eademq; direBicne qudm hdbet in punBo c iper
edndem par dholdmrecMrr ere debere ; Habetenimin ‘vtopen
dimur eundem impetum^i ^dr eundem direBione^rtiqudm hdbe^^
in a , quare eandem parabolam dejignare debet qUdm; de
tat ex d..
P H O P O S I T J O FB '
1 T parabola a b cuius. altitudo ^ c p & fiiblimitas ady o-.
flendeodiim cft aliter ac in primo.li bro , eundem efle im-
' , petum
\
E
/
/
r
f .
n
A
K
3 I
Likr Secundus : 16%
petum parabol^, in h , aq grauis cadentis naturaliter ex pundto
lublimitatis d , ufq. in s,, rf
, : : ' >
Ducantur tangentes ae e
paralielaipfi dc . Notum ergo eft per
4. huius impetum parabolf in b, adim
petum parabo 4 in, d e 0 e ut ad de^
cum iint & 4 c inter eaid em ad dia-
metrum parallelas intercepta . Agatur
per ^ & e alia parabola d e h , &impe
tuscafusper^ /^j ad impetum cafus per
^c.eaitutAppiicata: ^^ ad: applicatam c Si ergo fuerint
^quales tangens appplicata c h , erit ex gquo, impetus in
b ad impetum in c ut ^/ad c h. nempe aequalis . Oftendo bf
nh. aquales elle, fic. Sccetur cb bifariamin /, & erit per
demonftrara io procedenti libro, c / media proportionalis in-
ter dd. lam lic . Quadratum c a ad redangulum c ad
fub eadem altitudine , eflut ad dd^ ergo quadratum
ad quadratum ci efiut cd ad dd. Sumptis autem quadrato-
rum quadruplis erit quadratum /c ad quadratum cb ut ad
dd.&. componendo quadrata /c, c b, uel quadratum fb ad qua
dratum c b erit ut c ^ ad d d , hoc eft ut quadratum c h 2A qua-
dratum /^f.-fed quadrata cb^de. aqualia funt, ergo etiam
quadrata ch. Quare aquales funt line? ch. Quod
erat&c.
PROPOSITIO VII,
I ab eodem puniflo , cum eodem impetu , & eadem dire-
tftione fiant proiediones utrinqiie , furfum nempe , & de-
orfum: mobile uninque per portiones unius eiufdemq. conti-
nuatse parabo] 0 percurret.
Fiatexpundo ^ cumdiredione ^ ^ . proiedio furfum dcl
ac abeodempundodiredione ^^fiatproiediodeorfum dd.
'V X 2 Dico
I € 4 De motu Protelorum
Dico c 4^ vnam, & eandem continuatam pa-
rabolam efle . Si enim continua non eft, demit-
tatur mobile ex vertice <rverfus per parabo
lam c a. Tunc mobile cum ^^^.non fit con-
tinua parabola, non peripfam ad, fed per alia
lineam meabit , quas fit ^ ^ . Verum mobile.iru
pundo a eundem habet impetum fiue ante afcenfum a c , fiue
poft defcenfum c a . Mobile ergo expun(fld a . quando venit
ex c ineat per cae,qud.ndo vero proiciturex a cum ebdem
impetu , Sc dirediolie currit per ad , Quod eft abfurdum .
Cum enim in vtroque cafu difcedat ab a cum eodem impetu^
eademq; diredione , debet etiam in vtroq; cafu per eandem li-
neam ad ambulare . Qitod &c.
PMOPOSIT IO V I 1 I^
D Ata qualibet parabola a mobili furfum proiedo defcrip-
ta, proiedio perpendicularis fuiTum eiufdem mobilis
fada cum eodem impetu, tantum afcendet , quanrmn eft aggre
gatutu altitudinis 3 & fublimitatis fimul datijeparabol^ .
Sit parabola aBy oms altitudo r & fabli-
snitas i d . ponaturq; a e aqualis & p.arallel aip.
fi ^d, Fada autem fit parabola a proiedidne
ex a verfus b . Dico fi fiat proiedio cumeode
impetuperlineam rfi e furfum, mobile vfq; ad
pundum e pcruenturuni efle . Impetus enim parabole in ^ , fi-
5 ?. Ffo- ue fiat proiedio ex 4, in ^,fiue ex b in a, idem eft fvtoften-
dimus .; atex Galiieo idemeft ac naturalirer cadentis ex ^ in
t , fed impetus naturaliter cadentis ex d in c ille eft qui reuehit
mobik ex cmd, ergo etiam ex ^ in ^ . Qgod&c.
Definitio.
quando datum impetum u&miuabimus , illum ift
fyMus-ditttTmiiiabzmus GdUU^vlfumtJl s aUaemmTatians
Liher Secundus . ^6
fuh certam ^ vniuerf dem menfur<& reguUm c dd ere no
foteU, Exempli gratia, ^ando dicimus fit impetus b’*
datus ab. tuncfienfus nofier efl , Sit impetus datus
tantus quantus requiritur ad proiciendummobile ex a
*vfqi ad fummum punCium perpendiculi b . Siue , quod
idem € fi ^quantus efi impetus naturaliter cadentis ex b
vfq\ in ,
Lemma »
a).
c
cire a diametrum ab. per^uerticem a,
quoduis puncium c . alia , atq\ alia parabola non
conBituetur . Si enim pcfiibile efi ,fint circa dia
metrum a b perpunSla a c .duaparaboh^) ^
ex c ducatur ordinat im cb. tum alia qu&libet
ordinetur d f . ^gtadratum ergo c b , ad duo
illa 'quadrata in&qualia f d , f e eandem rationem habet , nempe
quam habet h^L-^ad af. ^od efi ahfurdum . Ergo circa dia^
metrum (jrc.
B
PROPOSITIO IX,
D Atoimpeiii ba f^hoc efi quantus ed: naturaliter cadentis
ex b in a iuxta definitionem /dataq. diredione a /, iux
ta quam facienda proie6tio cum impetu dato . Oportet amplia
tudinem , altiriidiiiem , totaraq; faturam parabolamhuius pro-
icdionis reperire .
Ducantur per ^ d>ch horizontales li-
nee ad, h L & fiat femkirculus afh cir
ca diametrum ab , qui lineam a c omni-
no fccabit, cum ipfa ad tangens fit . Se
cet in/, Seducatur fe horizontalis, &
producatur fg aqualis ipfi fe, demum
agatur per ^ perpendiculum Ig d, Fiat fam chta diametrum
g d per punda ^ & a, parabola ag , qu^ ynica erit per lem^
/ ma procedens, neq; alia parabola circa diametru ^ d perpun-
^ .f s & 4 iicripotaiu Dico hanc eife parabolam qu^fi-
tam.
N
1 ^ 6 De motu Trok^omm
tam Huius enim parabo!^ linea dire<5liua efl: ^ cum ipfa
tangat parabolam in d, Eft enim eg uel dd* ipfiasy^.dui-
pla per conll;rudionem,& ideo aquales funt dg,giy quare ^ i
tangens eft.
Infuper . Dico banc parabolam ab impetudatodefcribi.
Sunt enim d c, ef , elf, fiue tres ipfjs aequales dg altitudo, gf
femibafis, & g /, in continua proportione .• quare g l fublimi-
tas eft ( per 5. propof. & eius Corollanum Galilei , )
^ lamftc. Impetus parabo!^ ag inpuuifto ^tantus eft qua
tus naturaliter cadentis ex / in d, per i o. Galilei . hoc e ft ex
h in d. fiueproiecfti afeendentis ex 'd in^. Habet ergo pa-
rabola in pundo d etiam impetum datum . Qijarcfadtumeft
quod&c.
Sed quid h£c propojitio mdgm erit momenti pro fequentilus
illam oHenddjnus etidm alio modo ,
B
o L c!
b
p
Sit impetus datus idem db.S>c eadem
diredio d,fc, Quarritur parabola qug
fiet ab hac proiedione . Fiat iit ante cir
ca diametrum d b femicirculiis, qui fe-
cabit lineam 4 r,cum fit tangens .
Secetin /i dudaq. horizontali efgita
ut gquales fint e/, fg y deferibatur , 1 iue
tamquam deferipta concipiatur parabo- . >i
iaperpunda^ d,g,^ circa diametrum gd. Dico hanc effe pa-
rabolam proiedi, fi a pundo d iaciatur , iuxta diredionem d
c , cum impetu d b . Nifi enim currat mobile per hanc iam di-
dam parabolam, curret omninoper aliam , qu^ (xidp. Repe-
riatur uertex, fiue pundum altius cf teris huius parabole 4 d, dc
illud fit /.
Patet primo quod pundum / efie non poteft in linea Id, quia
cum linea d c tangat utramq, parabolam, fecaretur i d axis co
munis bifariam in duobus pundis a uerticibus parabolarum j
abfurdum . Neque poteft efte in linea . Quia duda per uer-
ticem
Liber Secundus . 167
cem diametro , putd , mn . bifariam fecarctur mnz linea e g»
abfurdumifola enim i fecatur bifariam ex omnibus fibi pa-
rallelis in angulo c ad,.
Sitiampundium . vbicunq,-ducaturq; prf, horizontalis .
Qma f n m . funt aquales per fecundam huius, er unt nr^r a,
pr^rf, sequales ,*& quia parabola ap impetum habet b a ,
hoc<"ft ^?;;^,erit pundumfucefubliiTiiratis, &ideolinese op^
pr^pmdm continua proportione erunt ; & redangulum opm,
quadrato p r aquale , commutatifq; lineis cum libi aequalibus ,
redfangulum bfa aequale erit quadrato f r . Piindum ergo r eft
in femicirciili peripheria . Quod eft abiurdiiiT!,reda enim linea
^/in duobus tantum pundis peripharia" occurrit . Quare &c.
Corollaria .
manifeBum eB, dato imp e tu alicuius ma ^
china qui fit verbi gratia ea. Si deferibatttr cir- _
ca e a femicircuUis a d e , dari altitudines^ (fi am
JT'
plitudtnes omnium proieBionum , qua ab eadem
mac hi ft^a fieri poffiint ^ '^xempli gratia, Manen ^
tef rmper eodem impetu e a .fiant proieBiones per A
lineas, diucrfimode eleuatas z c , a d , a b . Proie-
Bto faci a fecundum direBionem ac aficendetvfiq'^ adhorizon--
talem f c preduBam ,• iaBus aufcmfaciusiuxt a dire Bionem ad
apicem habebit in linea h d produBq . P^raicBionis autem fe->
eundum lineam tihf aBa , maxima altitudo erit in horiz^ontali
gb preduBa .
In libro Qalilei de motu natur alit .er accelerato ofieditur^prO'-^
ieBaab eodem i-^pe.tu ex:'(i..,fi.d planis diuerfmode ineUnatid
fulciantur ^femper ad vnum id emq ,• planum horizjQntale petuB
nire ,Hic v erit apparet fin gulas proieaorum afic enfiones.oaaria-^
rii qudndoper aerem purum. fine %tllo fubieBo fulcro proiciuntur
iuxta diu er fas eleuationes s M inus enim afic endit mobile quod
per lineam ab . minus el e uatam emittitur, quam illud quod per
lineam zd , magis cleuatam proieBumfiuerit ,.
Patet etidm nullam altitudin.fm adt 'o afeendere pofife r ttd
ipfam
» 20 /» Protelorum
i^fam purallelam horizontalem ^qu£ ducitur per fuMfnum pro*
icUionis perpendicularis panBum e yperuenire pojjit .
Mamfefium etiam ejl amplitudines omnes femper augeri ah
illaprcieBione qua dicitur tiro di piinto in bianco 'vfq-^ ad pro-^
ieclionemfacfamr-ad. angulum femireCvum .
A femirecta %tero njjque ad perpendicularem , femper minuis
donec penitus euanefcant ,* qmd accidit in proiedfione perpendi
culari , qua nullam hab et amplitudinem \
Denique ohf ^fruare licet amplitudines parabolarum ab eodem
imp et uf aliarum ^quarum cleuationes aqualiter ab angulo femU
recio difient , inter j e aqtcales ejfe .
Cum enim linea a b , a c . aqualiter diUcnt ab eleuatione fe^^
mireCia^ erunt arcus d b , d c aquales . quibus infijiunt aquales
angulii (dr ideo arcus b a , c e reliqui ex quadrantibus aquales
erunt , ergo etiam fnus eorum b g,cf aquales erunt ^ ^ propte--
rea amplitudines integra parabolarum , qua quidem quadrupla,
funt finumn b g , c f\ erunt aquales .
Patet etiamproieliionum aqualiter afemirelia diB antium
altitudines , ^ fub limi tat es reciproce inter fe aquales eJfe , hoc
ef altitudinem vnius , fublimitati alterius aquari .
Corollarium ergo erit quod Galileo Theorema fatis arduum
fuerat,^ nempe proieliionem femiredlam omium maximam effe ab
eodem impetu faU arum . Si enim ponatur angulus c
ad femireBus erit cd f emidi amet er hoc e fl maxi-
mus omnium finuum qui in femicir culo dari pojfnt .
Patet etiam integram amplitudinem par ab olaf emi
reBaduplamef e linea fubUmitatis,,fiue impetus a b
quia demon Pirata eH quadrupla relia c d , hoe e fi du- A
plaiffiuscib,
PROPOSITIO Sr. V
D Ato impetu & altitudine inlienienda fit diredio iuxta qua
fkda fuit proicdio: inuenienda etiam fit amplitudo pro-
ledionis. Sic in praecedenti figura, impetus datus ab,8cdau
- altitu-
Liher Secmdtts\~ i6 p
altitudo fit fiat circa db femicirculus ducantur c d»
horizontalis ^,ad autem ad pundum d, M antfefium efl ex prg
cedentibuSsdiredionem qusefitam efle a d, amplitudinem vero
integram eiTe c d . quater fumptam . Nulla enim parabola pr^-
ter illam qu^ fit iuxta directionem ad, cxxm habeat impetum d
^ , habebit altitudinem ^ .
PROPOSITIO XI,
c
)
/
Ato impetu, & amplitudine iniieniendafitdiredid iuxta
quam fadafuit parabola ; inuenienda etiam fit altitudo .
Sit datus impetus ^ ^ fit ^ <3^ quarta
pars datse amplitudinis. Fiat circa ab
femicirculus acb ,& erigatur dee (qute
fiin femicirculuiii non iiicid it problema
impofiibile efi:,^ lecetq; femicirculum
in pundk ^ & e . Dico vtramq; dire-
dionem fiue a e, fiue a e, {i datus impe-
tus adhibeatur, parabolam defigna-
re, cuius amplitudo quadrupla erit linese ad. Hoc enim cx pr^d
cedentibus liquet. Nam proiediones fadcC cum impetu ab
iuxta dirediones /^ c vel a e amplitudinem habent quadrup-
lam ipfius g e , vel/’ r . vel ad . qu^e inter fe oequales funt . Al-
titudo vero eiTe poteil tum linea tum etiam ag . Vtappar
ret&c.
K
a?
PROPOSITIO XII.
D Ata amplitudine dediredione c . inueniendus fit
impetus , & altitudo parabol^ .
Datis ijfdein, inuenienda fit menfura line^ perpendicularis
ad cuius apicem afeenderet mobile fi cum eodem impetu fur-
fum perpendicularitd proiceretur .
Sumatur a d , quarta pars ipfius ah^^ erigantur perpendi-
Y -cula-
1 7 De motu Froie^omm
culares dc . de* fiatq; angulus ^ c ^ re-
d:us . Dico d e . efTe impetum proie- u
(Bionis, ^ dc , altitudinem* Semicir
culus enim circa diametrum ^ c . tranfit r
perangulumjredum Ergo para-
bolae, cuius amplitudo Et diredio
ac ^ impetus e a *
Patet etiam altitudinem parabol^ efle lineam //c.vel di.
Cum autem impetus fit ^ c manifeftum eft proiedionem
perpendicularem furfum ex a fadam afcenfurara eife vfque
ad € pundum , fi proiciatur mobile cum eodem impetu a quo
fadafuitparabola .
Bx hac ^propofitione colligere 'poffkmus qtidntu afeen^
ddtferr eas globus ^ fi quando ab (Zneo quoUbet tormento furfum
perpendiculariter iaciatur : cuius quidem fp at ij menfura tantd
erit , vt ex nulla perpendiculari altitudine (lue arteffiue natura
fadafieprehendjpofitt ^ aut aliter experimento fuhiac ere ,
PROPOSITIO XIII,
D Ata altitudine ^ & dlredione a c , reliqua,*
reperire ,
Ducatur per pundum h, horizontalis h c qu^ in«,
cidatjuipfam ^cinpundo c. Fiatq; angulus ac d
redus : & circa triangulum redangulum ac d, tran
fibit femicirculus propofitionis 9. huius - Amplitu-
tudo ergo quadrupla erit ipfios hc, ^ impetus erit
ad, Qimd&c.
i
PROPOSITIO XIV,
D p^ia altitudine ab , & bafi (cuius tamen quar-
ta pars fit ^ c ) ^Reliqua reperire .
Compleatur redangulum i & diameter d
recto
Liht Secundus: )
recSlo , erit di impetus >vt facile ex praecedentibus colligi-
tur &c.
A A
TROPO S I T 10 X r.
P Roiedio perpendicularis furfum aequalis eft dimidiae bafi
proiedionis femiredce , 'fi fuerit ab eodem impetu fa(iiJL-i
V traq; tam perpendicularis , quam femire(5ta proiedio .
Sit parabola femireda dbcydz fuper
dd media amplitudine fiat quadratum
a d ef, erit d e diameter ipfa diredio fe-
mire(5ta . Fa dloq,* circa ^/’(emieirculo,
^ tranfibit femicirculus per i centrum qiia
/ drati, deerit af impetus j quare proie-
' dio perpendicularis furfum vfq; ad / pundum af cendet . Pa-
tet ego propo fit um.
PROPOSITIO XVI,
fada fuerit proiedio ad eleuationem anguli femiredi;
O amplitudo integrae proiedionis erit latus redum def crip-
tae parabolse, "
Sit eleuatio femireda iuxta lineam fada-
que fit a proiedo qualibet parabqiax^r/. Dico
d d\ efle latus redum huius parabdlcC . Cum enim
angulus e ah femiredusfit, aeh redus, erunt a
^ qualia latera ae y eb , ergo a e, dupla erit ipfius
f-r.Sedcum media proportionalis fit inter latus redum ^
t c . erit latus redum duplum ipfius d e * nempe aequale ipfi ad^
Qioderat&c» * ^ ^
PRO-
172 De motu T^mteStoram
t . » ■ _
N. • . , ‘ .i , : , » < . .
; . V "
PROPOSITIO XVII,
A d proie(ftionessequaIesfa):idndas, min impetus re-
quiritur in ea, quai ad eleuationem femire(5tam fieri de-
beat, . ' ‘ ^
Demonftratum iam eft , fi ab eodem impe-
tu fadee fint proied:iones , longius procedere
eam quse ad angulum femiredum fuerit expio
fa . Sint proieSiones ah . femireda , & c, c, ^
non femireda . Dico impetum ipfius c . non "
feraireto maiorem fuifle quam ipfius h. femiredi. Si enim
fuifTet aequalis , tunc amplitudo iadiis ac ex demonftratis fuif
fet minor quam ae.vt verbi gratia a d\ fed cum aqualis pona-
tur amplitudo, maior omnino impetus fuit per ac, quam per d
b ; vel minor impetus requiritur in femir eda quam. in alia^
Quod erat
'i i"
PROPOSITIO XVIII,
Empus ., fiue durationem vniufcuiufque proiedionis de-
finire .
Conftruda folita procedentium fi-
gura, fit proiedio ab c , oportet tempus , ~
fiue durationem eius Teperirefhoc eft B
quanioaepore fiat latio per parabolam ^
abe . Scimus iam ex Galileo idem tem
pus efie lationis ab e , i&: cadentis ex ^
in d . bis . Ponamus ergo tempus cadentis naturaliter ex/’in
elTeyd^ eritq; tempus per ca media proportionalis ag , Sc
koucfemper • ergo linea ag metitur tempus lationis per edt fi-
ue per fiue periemiparabolam ^ vel per integram eria
parabolam abs^ Eandem enim rationem inter fe habebunt
. durationes parabolarum,quam habent femiparabolaru : & nos
loquimur de proportionibus, non de menfuris . .
hiber Secundus .
P R 0 P 0 S I T I 0 X I X.
; i
. r
D Vrationes proiedionum funt vt linc^ ordihatiin applica^-
in aliqua parabola ad fuam vniufcuiufqi altitudinem •
Sint altitudines duarum parabolarum ^
dc, (a quocunq; impetu fiue eodem, fiue no,
factsefint, &quafcuaqj bafes habeant, fiue
^quales , fiue in^quales . ) Fiat circa c a . pa-
rabola inuerfa afdy & femicirculus . dge , ^
Eruntquc tempora parabolarum vt funt tem-
pora cadentium per ca^ ^^ihoceftvt cd,
X procedentis libri . Quod erat &c.
Suntinfuper £dyg4. in eadem ratione ac cd^bf., quare
edam ,gd , chordsein femicirculo erunt vt tempora para-
bolarum dcc.
l c
\ B
— t C
A:
PROPOSITIO X X,
P Arabolarura aequalem bafim habentium impetus in puncto
fiiblimiori funt in contraria ratione temporum, fiue dura-
ti onumcarumdem.
Sint ete parabolo rffr. quse eandem
habeant bafim, & eundem axem bc . fiatq^
circa h c . parabola inuerfa b de . Dico im-
petum in c ad impetum in y^effe mfdy ad
c £ . Impetus enim in punctisV ,• &/funt pu-
ri illi impetus horizontales , fecundum quos
conficitur latio horizontalis
Cum itaq; eadem latio horizontalis a h abfoluattir temporibus P^e,
eruat impetus horizontales reciproce ut fdy ad
per 3 . Propof. Gah De Motu naturaliter accelerato ,
p p a p 0 s I T 10 X X /.
I Mpetum purum horizontalem, qui inuariabilis eft femper
ideminunoquoqj parabolg puncto de^hire.
. Item etiam & perpendicularem uariabilem , Re ^
petita prsecedentiumpropofitionum figura , fuppo-
nimus , ut femper, impetum totalem, fiue compofi-
tum proiectionis , quem habet mobile in puncto 4 , _
effe tamquam naturaliter cadentis ex ^ in &
hunc ponimus eflfe ut linea A'
Sit 4 d altitudo fublimicas parabolf . Er
go impetus cadentis per fublimitatem parabol^, eritutii-
nea ^ c , media proportionalis inter ^ ^ ^
At ifte impetus cadentis ex b m d eft ille purus horizonta-
lisqui lationi inefi: in quolibetpuncto parabol^, & elt inuaria^>
bilis . Quare in vnoquoq; puncto parabol^ impetus horizonta-
lis erit ut linea ^ c .
Perpendicularis uero impetus qui eil in pri
mo lationis puncto fic determinabitur. Ma-
nente femper unica fuppofitione, impetum fi-
licet cafus e 4 , elfe ipfam e 4. Impetus
perpendicularis in fine parabola; h , eft tam-
quam naturaliter cadentis ex h in c, uel ex^
in 4 , Eli: ergo ut media proportionalis
Q^d dcc*
\
Sed oBendamus etiam !pTQ CorolUrio , quomodo varietur irn^
^etus reffeliiue ad horix^ontem i eiuf dem globi ferrei ab eodem
tormento froieBi i crefcit enim imf eius ;perpendieuUris non que
ddmedum crefcunt e^leuationes tormenti , aut altitudines par 4«
hola , fed e a ratione qua crefcit in femicirculo chorda a f . Hinc
animaduertere licet futurum fore vt idem globus ferreus eodem
tormento eteplofus dum ad horixontemredit aliquadoteBa for-^
mcefq; domor um traiciat ^ quandoqi vero neque glaciem alicu*
mslacmal^dere fo^tt ^
Uota^
Liher Secundus .
N otabimu^ etiam *vim in f ere ut i endo , grauium 3
f er fe naturaliter cadentium perffatia b a , c a . ^ C
/ (faBo femicirculo quolibet a e d per pundlum a )
*vt funt a e 5 a f , unt enim a e , a f . tempora cafuu
c umfint in fub dupla ratione fpatiorum ,* ergo funt ^
etiam menfura , Jiue indices momentorum vekcita ^
tit i aggregatorum per fpatia ba , c a.
PROPOSITIO XXII,
1 Mpetumcompofitum,fiueabfolutam, quantus fit in quoli-
bet pundo parabol^ demonftrare
Infolita priEcedentium propdfitionu
figura , fumatur quodlibet pundum a in
parabola gh a, h . ducatur horizontalis
abid, Ducaturq b • Dico { fada fem- 3
per eadem fuppofitione impetum filicet
per cg efle cg) quod impetus compofi a
tus in a ^ fiue in /, eft t^daeb^ Cum
enim impetus in pundo parabole a fit vtnaturaliter cadentis
ex pundo fublimj tatis € vfq; in/, vel ex c vfq.in d. erit ille
impetus vt c b media proportionalis inter gc^ cd* Qimd erat
id em etiam hoc alio modo con f der abimus ..
Si expuncto fubUmi alicuius datet paraholf alia parabola cir^
ca eandem diametrum dejfcribaturdine^ ordinatim ducltt in de-‘
jeripta^ determinabunt impetus abfilutos i/? fingulispundiis pa
rabol^ dat^ *
S it data p0dbola ab, cuius punllum
fub lime Jit c . Circatommunem diame
trum Jiat per c parabola qualibet c d ,
Z>ud'lifque ordinatim quotcunq; lineis a
c , f g . h i , b d . Dko impetus in pun^
ilis a, f, h , b 5 ejfev t funt Une ^ a e, Ig.
a * C h . b \^pu0}hfmt
'"I %ttim-
/ 7 ^ . imorum
vt impetus Cttdentium fer c ^yQ\yCm^(:x\:,mmpe^tlme§^^^
1 §,mi, nd, ^oder^t
xmma .
Linea a b ^ ^uam in prae edentibus pro
menfura impetus ponebamus , ^ circa quam
femicirculum deferibebamusy quarta pars elf
lateris reBi parabola b c ^faLta ab horizonta
li proiecdione • Patet hoc exprimo libro\ cum
ab Jtt -impetus ^ hoc esi fublimit as parabola
b c fecundum Galileum . attamen demon sire
tur aliter.
Cadat mobile ex a in b, inde horizont aliter conuerfum
deferibat parabolam b c . Sumatur b d . dupla ipfius b a .
Lrgo 'mobile tempore cafus percurret horizontale fpatium
b d , critq\ omnino poB tempus cafus in perpendiculo d c.
Sed efi etiamfcTnper in parabola hc ^ergo in c communi concur
fu erit . Cum ergo faci a fit defcenfo d c tempore cafusy erit d c
aqualis b a . Patet autem quadratum b d aquari reB angulo
fub c d^et quadrupla b a {eum. ‘Vtraqi c d, b a /emijjis fitipfius b
d,J JB fi ergo ba quarta pars lateris reBi parabol^ horizonta^
lis b c#
P M 0 P 0 S 1 r I 0 XX XII.
O Mnes parabola ab eodem impetu
fadf idem habent latus redum. (dum
modo intelligatur punctum ex quo £un
proiediones elTe vertex omniu oblio
parabolarum Sit horizontalis pu
non horizontalis a f\ fumanti
)us ipfaru sequales ac^ae.
Quia idem impetus eft per , «Se per a e^
ipfse ^ e, abftrada grauitatis operatio-
ne, eodem tempore abfoiuerentur j effentq. grauia eodem tc^^
pore
Si U%er Secundus''. s ff
fore in c ^ i i fed eum gmuitas operetur * & idem fit tempus,
seqoales erunt defcenfus e Quadratum autem .aequa-
tur re^tangulo fub cd^ quadrupla a b , cum demonfiratum fit
in Lem. praeced. redam ^ h efTc quartam partem lateris redipa
rabol^ quare etiam quadratum de sequalc critredangulo
lub & quadrupla . Eft igitur eadem quarta pars la-
teris redi omnium parabolarum ab eodem impetu fadarum.
Qj^od erat dcc.
- ^ Corollarium.
Bhie mdnifeflum ^ftf ^nsfer fublimitdtem farAbeldrum afeen
'^dennam ^fiueUnean^ impetus, quartam partem ejjt lateris reBi
illms pertiem^ paraholieMiquce i habeat in pun-^
Bofep arationis proieUi ab inHrumento impellente ,
V er bi gratia . Si mobile po fi cafum $.hejc quiete
in a j conuertatur nom horwontaliter ^^fedper quam-^
libet inclinatam b c;parabolamq; defer ibat b d , Pa
tet lineam impetus ^fiu e fublimitdtem ab e/fe quar
tam partem lateris reUiparaboldh d . confderata
Samen parabola obliqua bd ita vt eius vertex fit
punBum b y & applicatarum regMla fit tangens b c .
Sjtod autem h^c conueniant cum doUrina Co-.
nicorumy fic demonHr abimus . Si parabola ab
duas tangentes habuerit a c per verticem b c
non per verticem \fumptaqi fuerit a d quarta pars
lateris reCli^ p>ic 9 iunBam d c angulos re&osfa-
cere cum b c ♦
Agatur b i ordindtim * Cum fint aquales fa »
a e. erit quadratum b £ quadruplum quadrapd fed idem quA
dratum b f qMadruplum.efireW anguli f a d , hoc e fi reU anguli
e a d , aqualiu ergpjunt quadratum c ay d" reBangulum c a ds
angulufqi Qcd.rehus^
Hic , nifi penitus abs re nofir aefiet , facillimi eliceremus
fnonBrationemfoci . Si enim produc tr et ur b d * egent perquatm
tam primi elementorum aquales anguli d e c 3 d b c ged ad rem
nofiraf^.
Dbmoiu
His dejmmfiYdtis ^ dataparAbola a b £UtHs axis bd ,icb^
Cfisfit c .fifimatur qtsodlibetfunUum in fcB ime
.natim dueatp^r a d . Hico latusreBumfaraboUoh-
hq^a wcriiccm hakenus in a , epe quadruplum li-
' nearumfimul d h yh c-jpu-e linea c t ^pue linea ca
fi producatur . Hucatur tangms 2 .Q ydt^ e X b, agd
tur b f parallela tangenti a c icfi a i ducatur par al
lela axi b d . Urit per iam demonftrata quadratum :
h e . aquale reBtangulo b e c; quadrupla etiam aqua
lia erunt ihcc e fl quadratum a e f b , aquale critreBan-^
gulofiub b c yclf quadrupla c. c y^elfub iz quadrupla jeiufl
dem ec. ^are ipfa tc yV^el dih y hc fimulfmt quartapars
Lateris reUi parabola obliqua cuius vertex fit 3 l^ cjr diameter
Nos autem dicebamus in prae edentKlQ^
rollarioy lineam a b, qua metitur impetum
proieBionum yfiuequafuhlimitas eU parabo
ia obliqua h diverticem-habentisin b, ejfe
quartam partem laterisreBidufdemparabO:
lah^ .^uodejfeverumconjkmammus.eud . ,
ex doBrina^Apollonq ycum linea a b confiet ex d Qy dr cx fubli^
mitate , vel quarta partedatcrisreili pavAbolarecls quoi verti-
cem habet d,. '
T K o^F o s r ^ i>o -X X f r.
Vcelibet parabola-infinitas habm rublitnitates-.
Si enim fer pun(finin4ib1im€ isf .quod
reperit Galileus , Ikea horizontalis produca-
tur;; qualibet linea perpendicuiarisquie ex^hac de
inittaturimparabolam fubBmitaseiufdem parabo-
Iss erit» dummodo impetus a mobili per defcenfutn
aquifitus eonuertatur non j)cr Jineam horizonta-
lem >iedtai^ense^
Propolita fit parabola ab e. cuius fublimitas a d. &per d
agatur horizonti (jquidiftaas <3? e.. Demittatur iam quaelibet e
h, paraifelaipfi ^=4. Dico ^ ^ fublimitatem eiTe paraboIsB 4
dummodo mobile.inpun<^io k conuenienti modo conuec
tatur , hoc eft per tangentem in pundo b , Vel . Dico grduc
poft cafum per tangentem fiue conuerfura,,propo*
litam parabolam percurrere^ Eft enim idem impetus caden-
tis ex e in ^ , ac venientis ex d per ^ in ^ . Cum ergo in vtro
que cafti reperiatur in ^ idem impetus , eademq,%diredio,fiuc
venerit mobile ex ^in' ^ , fiueex per in continuabit
tiiobile per eandemlineam bc curfumfuum. Eadem dicemus
de conuerftone per ^ ^ poft eundem cafum e b . Quare e b fu-
blimitas eft parabolae ^ ^ c . Q^od &c.
F RO P 0-S ITIO XXF.
D Atis binis quibufcunq; , fiue impetu & diredione , fiueim
petu & amplitudine>fiue amplitudine, & dire^ftione j
cum parabolae reperire »
Ilixta duo data conftruatur figura propofi
tionum praecedemium , & producatur ah c
donec concurrat cum axe paraboie d c . Di-
co c focum elfe parabolae . Cum enim per
conftrudionem aequales fint ebybd^ aequa- ^
les erunt etiam inter eafdemparalk
ias, &i f . Sed f ftibliraitas eft para^
boiae/i^, ergo di quarta pars eft lateris redi » & ptopterca r.
ibeuserit* ^od&c.
Corollarium.
Hinc patet parabolas qua femireiiafiht habere focum in ho-
rizontali Umav Minores weto pprtiones qu 4 m femm6lafi^
hahm fubhotizonte%& maior es fupTA^^^^ ^
■ Tl
18^9
^ 1 ■ ': : .-tii!- . ,: , , \ -■■ Xf‘
5 [P R O P V S I T I & xxhl. A ;,
P Arabola.praie<5tionis horizontalis maxima omnium €ft >\
quas iieri polfint ab eodem impetu .
Sit impetus 4 h . fiatq; drculus 4 dh . Sit ,
etiam parabola iadus horizontalis hc^ Sc
alia parabola ^ e . Dico maiorem effe para-
bolam ^ c . quam ^ ^ . Eft enim ^ a redafub ' ^
liniiras parabole ^ ^ , 8c i; 4 reda fubiirnitas 3
parabolf ^are omnium maxima
erit reum maiorem habeat fublimita tem, ideoq. maius Jatus re^
ctum. Q^derat&c.
P R b P o s Itio ICXV TI,
P Arabo! ^ ab eodem impetu fada^yquaru dirediones ^rgua*^
-liter ab horizonte vtrimqj diiMnc forium, & deorfonkarf
dem parabol^ portiones funt ,
Sit impetus ab^ fiant proiediones iuxta
dirediones b c , b d^ .^qualibus an^gulis ab A
horizonte bi vtrimqi&tantes, Dico para-
bolam ^ e & parabolam portiones eiuf
dem parabolas effe . Producatur enim c hg,
Demonftratum eft Piopofitione 7 . huius ,
quod (i fiat proiedio cum eode impetu iux-
ta diredionem ^ fiue bg, paraEolle harum proledionum
i^ham eandemq; continuatam parvolam efocient. Erit ergo
bh eadem parabola ac ^ e 5 quare eriam ^^eadem parabola»,
erit ac be^ quandoquidem sequalitd inclinantur dirediones
ideraqj eft impetus r
^ ^ 2 T 1 0 ICICVlll. ^
S I ab eodlerhpundo ^ icnm^eodemfap^tu jObdemte-»
poris momento fimul proiciantur grauia per diuerfas
' indi*
Li^wSeeuMusi igi
inclinationes furfumveideorfum, eriint omnia grauiafempcr
in periph |ria alicuius circuli cuius centrum erit in perpendicu-
lo
Sit fada proiedio horizontalis ^ c, & non
horizontalis quaslibet alia ^ h iuxta diredio
nem h d . Sumptoq; in horizontali parabo-
la quouispundo e, ducatur perpendiculum
horizontalis reda tf. Seceturq,- bd
■ aqualis ^ & demittatur perpendiculum dh
iequale ipii c e , vel hf. Dico grauia eodem
fimul tempore e fle in c &in Cumenimaiquales fint
b d , eodem fimul tempore grauia eflent in c & in ^ • fi ^quabi-
Ji motu procederent . Sed cum grauitas operetur , erunt graui-
umdefcenfus eiufdem temporis 3 ^-quales, at per fuppofitione
defcenfus vnius efi: cc, ergo defcenfus alterius erit d h. Qua-
re grauia fimul erunt in ^ &in &proptcrea in periph^ria».
circuli 3 cuius ce ntr uni eft/, nam/> ^fh aquales funt , cum fint
ktm paraiielogrammorum op^ lateribus h c y b d, ^qua-
libus r-'
Verm £Ygo cfij fionf<^imngf ama cadent id £tb ecdem fMn&c^
f er diuirfas f lariorummciinatione^ etiam prok& a femper
ejf ? in eiufdem circuli peripharia . Exempli gratia ,• fi quis ex
aliquo pun6H grauia proiceret cum eodem impetu per diuerfias
inclinationesyaliudqigrjtueemitieret eodem temporis in flanti
ex quiete , e^ ab eodem pdnMit y videret grauia proiedia fiempet
Jn aliquo circulo difpojt^aflommeare^ cfi hmufinadfcircuimpeml'
pet haberet centrum Wo'^ fluod nattettflifier ddlflchdd^
tiflum ex quiete : ~
ERO B O I T T a XXIX.
I ‘ ab^eoddn pundo , ^ cum leodem femper impetu
proiediones j vertices parabolarum, fiue quod iderh ell ^
tus
fffQiplPfQitMofUfn
ius quidem maiordiameter horizontalis fit, & dupla minorisi
Sitimpetus ab , & circa Fiat femicir
culus ad b, tura fiant proied^iones iuxta tan -n
gentes ad^ae^ Dico vertices paraholam h
eifeinfupeificie fphaFoidis ; quiE habeat a- p
xem aby & diametrum horizontalem dtipw
lamaxis^^. Deraonfiratum enim eft Pro- k
pofitione 9 . huius , quod produtflis horizon
talibusy^ perpunaum d, & /^iper pundam <r,:qu^e dupla 5 '
fint linearum fd e ^ deraonflratum inquam eflpunda g 3c
4'efie vertices parabolarum . Sed punda g Sc, i funt in fphas^
roidis fupgrficie, de qua diximus (eft enim vt j;/ad fd^ ita ib
ad ^ i ergo patet propofitum .
Sphpra ergo acliuit at i s afeendentis.proieBoYum. eB in fuperf-
cie fphproidis illias fpeciei qup dia?netrum hdbeat duplam axis*
> "! :
: : ‘ Lemma
Si reBa linea duas par abolas contingas in eodem ptinBQ^ fint
que parabolarum diametri paralldpy ipfp patabdUfe mutuo con*.
tingent in illo eodem punBo ,
Sit recta linea a b qus inpund^o b
duas parabolas cbd, fbh. contingat y
^ habeant parabola parallelas diame-^
tros , Dico huiufmodiparabolasfe mutuo
contingere * Si enim non contingunt y
fecent ; ^ intelligatur alteram parabola
tumejje Qhh\alteyamver\ihdi * Aga ,
tuf h i paralleladtdmetrisy^ *f4Tallelatangenii * Brtint
erga aquales c i , i h ; item p quales ii ,i d « Sluod e fi impo^thU
Uy ^arec^c *
^ Lemma /A
Si dup parabola a b c , d b e ./^ mutuo contingant in b, ^ ha
heant diametros pardlelasiDico has parabolas numquam ampli
m conuenire . . . r/ Cj
Si enim poJf$bileefi eonueniant m t . & dueatur b b parallf *?
ladia*
LUerSecmdfM.
iddtdmemsy ^ ih. wdmAtimitumAUd
quduis ci Mdmdtim^^^ Hd^ "
bebii er^o ^uddrdtum f h Aandem ratio* ^
nem ad duo quadrata c i , e i , nempe qua
habet h b , adh L ^^^d eH mfo^tbiU
\
# R O P ^ R I T J 0 XXXf
S I ab eodem pundocumeodemfemper impetu' proie£^:io-
nes fiant, parabolg omnes contingent fupcr fidem conoi-
-dis paraboliciycuius latus te^um quadruplum fit proiedionis
iiiriumperpendiculantd
Sit impetus ah .Mmcz. di fiatdke^us
db £atmvemeei parabe^4/^.euiusfccus filW . Eiadaik
ffroiedk) iuxt^quamlibet deuationem adjfimstuxqi d
lis & demiffo perpendiculo i fiat te parabolai^
drca diametrum r/ -expuncto ^/^eikqjli^cparabola
prakiai abimpetui^iuxta lineam dire^^iuamw^^^^
Demotu WrouUorum
fublimitashuius iqu^ CQmemdcutri
parabola h tc. Conuf,niit.iq / . ©ico paraboiam Af cvconti-
nuatam contingcr^e parabolam bh vk /. iDucantur orcfink*
Sunt per Lemma Ptopof. 24. praecedentis libri in condnna
ratione Im^ of, Quadratum i?/'. quadruplum eft redangu-
li ^^/bb parabolam cuius focus efl: a, & quadratum efcum
fitperconflru^qnemquadruj^um quadrari quadruplum
etiam erit redanguli afb . His dcmonlirads dc procedemus •
Reda, «?/^fad-redam ^^perq^fextieO; Vt >%?/ad /c.,. fiue vc
^quadratum/tf ad quadra tum/^^,fumptirq; eorum fubquadri^'-
pUs_^ vt.redangulum ^^/'ad redangulum^q^ , hdG.eft fomif
hi communi altitudine ) vt reda,^.^* tdA^jfat. Q^rc diuMmdo
erit vt mf didi fh , ita bf didfa, Sc proptera in continua ratione
(mt mfj b/t/^ ", ne/he^ei,
Tranfeat iam parabola d e . per pundu f , erit quadratu ad
quadr.p , vt /> , ad ^ . hoc eit vt quadr. e b d.d quadr. e n hoc
eft vt quadratum ^ ^ . ad quadratum /? /; & permutando , qua-
dratum ai ad quadratum b hy eritvrquadratum p» ad qua-
dratum n l. Quare aquales funt. & ideo parabola d
f e . cum tranfeat per f . tranfit etiam per /. Sumatur tandem
br sequalisipfi ^ w.&iungatur r/. Manifeftum eft rl vtram
que parabolam contingere , cum fint aquales tam mb ^br^ in-
ter ie , quam n e , fe . Ergo parabolae dc b Ic (q
mutuo contingant in pun do / per primumlemmajneq; ampli-
us conueniunt per fecundum lemma. Quod erat &c.
SfhATd ergo totalis aCiiuitatis proieBotMm eB in fuperflcie co»
noidis farabolici^c mus focus efi funBum ex quo fiunt froieBio^
nes \ ^ taius reBum conoidis quadruplum e fi proieBionis per^
fepdkularhfiktfu ^tmmBrHtdm imnfuBfingulasfingu»
dafiumipropeBionumparab^ldsfimM/^diconoi^^fue^^f^^^
attingere ymmqdamewdef^^ Pr oHBd igitur i eodem tempor
f e funt in Jphfrdfuperficie y mfineaftenfionisftntmfphtroi^
di^fiperfitefup^maiUoTiitn dBiuitas eB in mnoidisifardkt^
itSiftpetfiCf^^
Lem-
vjLikrSecmdm ^ 1 1 1
. Lemma .
pMrahot^ Aquales ab c , d e f, circd eandem
diametrum a h defcripta afymptoti Junt ; hoc e fi
cum femper magis accedant imicem , mnquam ta-^
mincomemunt ^
Re£l angulum fuh ad ^latere reB& dijferentia
efi inter quadrata b g , g e , item etiam inter quadrata c h , h f.
Ergo redangula etiam fub e b , b g e tamquam vna linea^^
fub f c,c hf tamquamvnalinea ^ aqualia erunt inter fe ^ cum
fint differentia quadratorum\reciproca ergo habebunt latera^
nempe vt e b ad i c ita erit c h f linea ad hge lineam , efi au^
sem ch^ linea maior quam bge, dr tdcu xzh maior erit quam
fc. ParaboU ergo femper magis accedunt , fluod nunquam
conueniant patet ,
Nam fipofiibile ell, conueniant ducatur c
ordinatim a b. Cum parabol^ fint aquales habe^ ^
bunt idem latus reClum eritq-, quadratum a b . ^
quale vtriqi reB angulo quod continetur fub latere
reffoy clr alterutra ipfarum c b > d b . fluod efi im’-
pofitbile .
PROPOSITIO XXX T.
P Arabola proiedionis horizontalis nunquam conuenitcS
fupcrficie conoidis praecedentis propofitionis, etiam ii
jfemper magis ac magis ad illud accedat .
Sit in figura praecedentis propofitionis impetus
abi parabola genitrix conoidis fit parabola
autem horizontalis proiedionis fit ad. Dico has
^parabolas femper quidem accedere , nunquam ta-
men conuenire . Sunt enim circa eandem diame-
trum ab i & funt aquales quandoquidem reda ab tik quarta
pars lateris redi parabolae bc^ per confirudipnem , & para-
bola a d , quia eft ipfius fublimitas . Ergo per lemma praece-
dens afymptoti eruntV<;^d
Aa ‘Coro-
Demotu Pmedtomm
Coronarium.
Bwc mAnifeftum eJlfArabolas faSiasiuscta dire Bione s deof*
fum inclinatas nmiquam contingere fuperficiem conoidis j At*
tamen fi continu at g tntdligantur illud contingent ad partes op
pofittas fiuperiores . D emonBrauimus enim Propofi, 7,& 2 j ,Pa-
raholas diriBionum deorfum vergentium easdem ejfie ac dire
Bionum furfium vergentium ^ dummodo line^ dircBionUm ^qu 4
liter db horizonte diJIcnt vtrimq\
PROPOSITIO XXXII.
D Ato impetu fiue fublimitate ac^cvixas prokaio fcmire-
da jfirparabola a eb. Dico , ii proiedio fiat cum eodem
impetu horizontaliter ex pundo fublimitatis c , iadum, fiue pa
rabolam cadere in ^ .
Cadat enim, fipoilibile efl, iadus
horizontaliter fadus ex pundo e in pu
dum d. Et quia parabolae cd impe-
tus, huefubiimitasponitur reda ac^
trita e , qu^ta pars lateris redi parabo
Ise cdy ergo 4 d applicata ex foco d up
Ja erit ipfius ac , Sed etiam ab dupla erat ipiius a c; cum fup-
ponatur ab amplitudo fada a proiedione femireda, ergo
aequales elTent ad , ab ^ impoffibile . Paret ergo propofitum ^
Patet etiam quod iadus e b defcribit parabolam genitricem
Illius Conoidis , cuius fuperficiem tangunt omnesproiedio-
nes fadsB ex pundo 4 cum eodem impetu .
PROPOSITIO XXXIII.
D Ato impetu , dc quocunque plano £m ere dq, fiue ad 1 10-
rizontem inclinato, reperire in dato plano remotiflimu j
iiuealtiffimumpundum ad quod cum dato impetu fieri poffit
iadus.
Item reperire ifiae remotiffimS
iiim iadum faciat «
x> JS
Liher Secundus . iS^j
Sit impetus aif & parabola conoidis
fit b c\ lam dato plano ad horizontem
eredo d eritpundum^ e- altiflimum om
nium illorum, ad qua? potefl ex a cum
impetu ab, iadus pcruenire . Sivero
inclinatum fitplanum vt fb^ erit pundu
h altillimum omnium illorum ad qu^ecu dato impetu expun-
do a poteft iadusperucnire * Diredionem vero quae facit pa»
rabolara pertinentem ad pundum h ficinueniemus.Fiantcir-
ca axem circulus, &cllipfispropofitionis 2p,iundaq. hb,,
fecetur ellipfis in / , & ducatur im . horizontalis quae feceteir-»
culum in /: erit a l dire dio quae parabolam emittit tangentem
^ conoides inpundo h . Hoc enim demonftratur in Propofitio*
30. huius.
Propo^tid Archimedis eftfequ ens lemma in libro de fpbproi^
dihus ConoidibuSi quam tamen expeditius demon Br abimus^
Lemma .
Si fuerit parabola a hc,euius hajis a c , tangens a
d ^parallela diametro c d ,• ducaturq, alia parallela
diametro^ e f i Dico ejfe vt ad ita ib ad hc,
Bfi enim cdadbc longitudine vt ad 2.^ poten
tia , vel vt cd ad potentia . Sunt ergo continua
cd,fc,be. Iterumejl ,vt cd. ad zi ita cd ad
f e , vel fe ad bCiCb diaidendo vt c f ad i 2^ ita
fb ad be. Slaod erat dpc ,
A
A W ^
Manente eadem figura eStAemonfiratione^
dico fi producatur reSla a b vfq^ in h, ^ iun*
gatur f h , quod f h , a d parallela erunt «
DemonBratumemmeB vt q,£ ad ia. itd
e/e fb ad bt^hoce/ ch| 4 <^hd . ^ate
f b ^parallela ait ip/^i^
^ Aa ^
/88 ‘De motu Proie^forum
PROPOSITIO XXX ir,
D Ataeleuatione & aiiiplitudine parabalse in pJano hori-
zontali, quaeritur amphiudo in plano inclinato .
Sitiiiprseccdenri figura data clcuatio ad^ amplitudo autem
/i/r,planuiTiq;datum fit quaeritur tranfitus parabolae ^.Du-
cantur « 2 ^ parallela diamttrc^^/^vcroparallela tangenti, & fb^
parallela diametro i Dico b efle tranfitum parabolee . Hoc au
tem patet ex dcmonflratis.
Datain eadem figura eleuatione ad &bafi planoque
ad horizontem eredo , queritur pundum b . m eodem pla-
no/^. Ducatur c// e reda ad horizontem ,/^ parallela tan-
genti adi 8c iungatur h a , fecans e/'in b^ Patet iterum tran-
iitum parabolas efTepundum
R o p o s 1 r 1 o XX xr,
D Ata bafi parabolte, vnkoqjpundo per quod ipfa tranlir i
Vel datis tribus pundis in parabola , eieuationem pro-
iedionis demonftrare .
Sit in eadem figura data amplitudo d c , datumque piindum
. Vd demur tria punda vtcumq. . r.
lungantur ■db ,J^c.c & per c , b punda.fini: pa rallel^ diame-
tro cd^ %cfb e . & dabuntur punda h Scf’. Producatur ergo
Mf. quce parallela tangenti ent. angulus ergo h ^rerit angulus
cleuationis.
Ivlanente eadem figura . Dato angulo eleuatianls\^ ^c da-
tlsqppundis ^ ^ .inuenire punctum ex quo facta fuerit proie-
■ctio . Agantur per puncta ^ , horizonti perpendiculares
ag/, d € 3 qmedabuntpimcta;^^ in linea ^data « Ducantur
iam ^ii^jquascemcurrantVetbigratiainvi. Et ex puncto 4
iactaerit proiectio nifi concurrant impoffibile datain .erit .
Demma^
xmim hdfis c d , a
—
/
Jvl
Liher Secundus i
ponatur enm c Uatus reUu^i & comfka ^ -
tuY Yt!^ angulum e i . Suta cd fekaefi
bifariam^ non bifariam.^ erit quadratu j. - ^ S
i d 3 hoc ept rek angulum t i aquale reka
gulo cad ^qu^rato la . Demptis • 7 «
qualibus (nempe hinc quadrato 1 a , fiue m b , &inde reaangu
lo e h ) reliqua aqualia erunt ^ hoc eU angula m i > c a d .
Suod^Cs.
lam fi rek<B a h jC d . fuerint parallels dia-
metro , erit red angulum Qahad rek angulum e
ci ah y ad edi , E
Sunt enhn illa recf angula aquali arebd angu-
lis fiub a b laterereBo , efi fub cd ac latere vello refipeCli-
ue fift a vero cum habeant aqualem altitudinem ^ erunt vtba-
fies ah,cd. Saare etiam reli angula e a f , e c f . erunt vt a b,
ad cd^
A Q
p p 0 p 0 SITIO XXX n,
D Ata diredione ab^Sc baii ad . data eO: altitu-
do paraboli^ iiipra quoduis pundum c , Di-
iiidaiur bifariam in/, & erigatur //6 . Q^ni»
ani datur angulus b ad diredionis , & baiis a d ,
dabituriii triangulo redanguio latus ^ & ideo /
h -i quse quidem eft qoartapars ipfius hd ob para- -£ q
bolam . Fiat ergo vt redangulum afd , fiue quadra
tum femibafis afad redangulum a c d, ita altitudo/^ . ad ali*
am * dc quarta reperia erit aJfctitudo qu^fita c e , Quod erat &c«
. Lemma .
Si conoides parabolicum ah ^r/ecetur plano def arquidi-»
ftantdaxi, fedio parabola erit, & j^qualis femper eiqu^ co-
. Boides generauit , hoc eft eequale latus redum habes Siimp^
$ 0 emtii quolibet pundo i infedione applicetur ii , du«
caturq.
190 De motu ^roieBorum
carurq; w/» parallela ad . lam: cura
sequale fit quadratum, df rcdangulo^
f c , erit quad# d /> ad quad. dh^vl reda
p e 2 idihb ob parabola a h ^-Jed quad. a h
ad quad,?5%« efl vtreda^^ ad quad.
mo ad redatigulum m l ^,fiue ad quad./ /
eftvtreda ob ad /^-/erga ex sequo , quad. ^//>.ad /7, eft ve
reda /> e ad e l, Propterea fedio die parabola erit .
Amplius. Quoniam vero redanguium fubdiametro
& latere redo parabolg i^e/kquale efi: quadraro applicatae d p
fiue redangulo ap c , cui redangulo ape sequale efi; redangu
Ium fiibreda / e, & latere redo parabolse abc\{ per lemma».
Propofi pr^ced.^ asqualia eruntdnter fe illa pr^dida redangu-
la j fed altitudo p e eadem efi: vtriq;, ergo bafes sequales erunt,
nempe latus redum para bolse 7 /> , sequale erit lateri redo pa«
fabol^/^^^*. Quod&c.
PROPOSITIO XXX rii,
S I ab eodem pundo, cum eodem femper impetu, proie-
diones fiant per omnes lineas horizontales, omncfq;ia«
dus excipiantur in aliqua fuperficie plana ad horizontem ere«
da , Dico omnes illos iadus in quandam lineam parabolicam
cadere aqualem femper parabolse proiedionis .
Hoc autem patet ex lemmate prsemifib. Nam omnes illi ia«
dus horizontales fuperficiem quandam deferibunt conoidis
parabolici , quam fuperficiem fecat planu illud eredum in quo
feriunt iadus , ergo fectio in quam cadunt iactus , erit parabo-
la sequalis parabolse genitrici conoidisj Propterea patet propo-
fitum.
Si vero iactus omnes terminentur in horizonte, fectio circu-
lus erit ; quando vero in planis inclinatis, fectiones erunt ellip-p
fes , quod facile colligi potefl: ex demonftrationibus antiquo-»
rum,quiDemonftrauerunt obliquam fectionem conoidis elU«
pfimeifce
Liber Secundus .
i9l
DE MOTV AQVARVM.
I ^m vero ^ de aquis aliquam huic libello c ontemflationem i»
fer ere non erit inconueniens : aquis enim procet eris corpori^
bus fublunarihus adel) peculiaris^ S* cognatus videtur motus^vt
fere nunquam quiejcant . Omitto magnum illum nutantis maris
motum 3 Pr^tereo etiam omnem fluminum y aquarumqi currentiu
tum menfuramy tum vfum , quarum omnis doUrina repertapri^
mumfuit ab Abbate Benedico CaBellioprac eptore meo . Scrip^
Jit ille fcientiamfuamy filiam non folum demon frationey veru
etiam opere confirmauit ymaxima cum Principum populorum
vtilitatey maiore cum admiratione phylofophorum , Ext at illius
liber , vere aureus . EI os minuta quadam , (Jr plerumq; inutilia ,
mn iamenpenitus incurtdfa circa hanc materiam pr ofequemur ,
Supponimus .
Aquas violenter erumpentes in ipfo eruptionis punU o eunde
'y impetum habere y quem haberet graue aliquod y Jtue ipjius aqua
guttavnayji exfupremaeiufdemaquafuperfcievfq» ad orifi-
cium eruptionis naturaliter cecidijfet .
Exempli gratia . Si tubus a b conuenientis ca-
pacitatis yhoc e ji magna laxitatisyintelligatur fem
per aqua plenus vfq, ad libellam a , et perforetur an
gufo orifeio in b . Supponimus aquam ex b erum
pentem eundem impetum habere , quem haberet gra
Me aUquodJi naturaliter ex a in b cecidi/fet .
Boc ratione quodammodo confirmari poffe vide-
tur nam fi ad oficulum b aliustubus inferat uty et e tc
squifite coaptetur y aqua ex h influens in tubum bc,
tantam vim hab et vt fe ipfam euehat vfq \ ad eadem jq
libellam hormontidem czduciam per orificium a-»
fluar e verifimile vtdetur etiam quando ipfa ex
b libera erumpitybabere vim redeUdi vfqiadhorizib-
talem lineam qu^ per a ducitur i vel quod idem ejl
hdher e tantum impetum quantus efigrauis alicmus.
A
M
a
U/
fme
i pj? De Motu TrokBoxum
Jiue vniusguttjs libert cadentis ex z. in h ,
Bxferimentum etiam Miqm Tnodo princifium noflrumfW^
hat^quamquam aliqm ex parte reprobare videatur . Nam fi efictt
ium b fkrfumjiirigatur , efi fit apte rotundum , ^ leuigatum^
fitq\xetiqua totius tubi latitudo.multo capacior quam orificiu bj>
videbimus aqua fallente per linea h c^quafi ad libe l
lam fuam a d afc edere. DefeSiionis aut e c d caufam
ddfctibere pojfumus partim impedimento aeris qui
cotra quodcunqi corpus mobile luclatury partim etia
ipfimet aquata qua dum exfaHigio c reditum ajfieBat
deorfum , f ? ipfam venientem impedit , ^ retardat ,
neque finit fuh euntes guttas adillud ipfum fignum
ad qucdfuo impetu peruenitenty afcendere pojfie. Hoc
manifefie patebit^ quando oppofitd manu foramen b penitus oc*
€ ludatur i deinde r e traH a quam citi^tme manu repente dperia>>
tur : vid.ebuntur enim prima , praeuntes guttst altius perue-
mfe -tqudmfit deinde Gulmen aqua q . poflquam aqua deorfum
fluere c aperit . illa enim pr iores gutta pr aeedent em aquam mn
habent , qua contraipfas refluens motum ipfarum in fine afc en-*
fionis impediat fuppono emm duBum b c perpendicularems,
Adde etiam quod fi quis obf eruet aerem ipfl aqua b c ctrc^
fufurn-iteperiet tpfum agitari ^ ^fiurfium moueri, qua quidem
latio non fit fine vi , ef propterea cum impedimento motus aqua
afcendentis . Vnde e fi , quod fi quis velit de hoc principio expe
rimentum facere fumendum efifet argentum vimm^ quod ob in^
timamgrauitatem magis aptum efl^^ ad conferuandum diu c*b
€€ptum impetum adjuperandam aeris refiHentiam . Aqua
autem ob leuitatem multum aberrare videbitur :^ efi pracipue fi
tubus magna fuerit altitudinis: tunc enim oh maximum impe*
tum fpargimr in guttulas minutijftmas tamquam rons^ neqi di-
fnidiam , (fi for tafie tertiam , quartaniue partem afcendit illius
interuallt quod re ipfa^ theorie e loquendo ^ ds remotis impedime
# tis omnibus concepto impetu totum exaquare deberet . Ceterum
fi quis prediH is rationibus non ac quiefc at y videat an inter fe^
quemesfropofitiones vUam probet iquod fi ita erit y fac ile per re-.
Ltl>er Secundus . 1^3
lutionem ex dfjrohdta profofaione primdmfuppojitionem derm
flr abimus minus totam hanc appendiceifn demotu aquarum
'velfaltupratermittat , vel funditus e libello euelUt, quod equi
dem libentijfime concedo yCtJif alium experimentum omnidili^
genti a magnamp artem f ^quentium propo /itionum €xaliijf$mh
confirmauit .
His expo/itis confideremus aquam recidiuam in e , nempe in
plano horiz^ont ali duci 0 per libellam ori ficij b. ExGalileo habe^
mus impetum aqu^ cadentis ex c in Q, tantum ejjlquantus vc^
here potefl eandem aquam ex e in c . Ergo impetus in e idem
e ii ac in b ^fed in e impetus tamquam grauis cadentis ex c
in Q. vel ex a in b (diximus enim quod punUumc reipfade^
b er et ejjetn libella ad abBraBis impedimentis qua aquam re^
tardant) ergo impetus in b eft tamquam grauis cadentis natu^
r alit er ex a in b .
Hisfuppofitis quadam demonBrabimus de aquis erumpenti»
bus j qua mire cum doBrina proieClorum conuenire videntur -
P Rimum manifeBum efl omnes aquas erumpentes exforami
nihus tubi alicuius perforati , parabolas deferibere . Pri»>
mp enim gutta fc at urient es e tubo funt de natura proieBorum
quandoquidem ipf<it ^quamquam liquida attamenfunt fph^ru»
la graues (jr coherentes , dr ideo par ab olam certe defignabunt\
Omnes autemfubfiequentes^ quet cum eodem impetu emittuntur
{fupponimus enim tubos femper aqua plenos) f emit am pr^caden
tium percurrent ; quare continuus ille aqua fluentis troBus pa»
rabolaerit.
Obijcetfortafife aliquis hoc non videri^ pr^fertim quando ta^
bi orificium valde anguftum erit, dr impetus vehemens . Tunc
enim (vt videre e /l in linea illa aquea, qu^ exfontium fifiulie
violentius erumpit) prior pars orbita illius aficendentis magis
tenfaapparet , et adparabolamverius tonformatai pofierior ve»
To , hoc eB ea quam aqua defeendens percurrit, magis pruna , et
vt ita dicam , languida atq', curua confipicitur . ObieBioni ref»
fondem 5 non filum prpe edentem propo fitiumuUm ^fed etiam
maio^
1 9 ^ motu TrouBomm
maiorem partem fequemium huic .mBanti^fHbiatere . C au fa eft
impedimentum medq , quod ad momenium. corporis mobilis val
de fenfibilem habet rationem ^multoqvm ai orem quam in proie-
Bionibus qup fiunt d machtnis helltcis , Siquidem illic materia
proieBionis fiunt -globi plumbei fierrei^*uelfialt em marmor ei \ hic
vero linea cB , & qnidemi aquea . Nulli igitur mirum fit , quod
cum fundamentum huius doBrin^ ^que veru fit Thorice doqUe-
do , ac in proieBis Galilei ^praBice tamen multum ah lipfis con^
temptationibus aberrent experimenta , qua ad hoc vt exaBiora
euaderenf ^vel fieri deberent in medio non ob fiant e y vel f ait em
grauifitmamateria effiet adhibenda . Jdluamquam fi quis modica
altitudine y fioleriiqy diligentia experirih^c omnia velitymini-
mum quoddam y firplerumq; infienfibile de ejfie icomperiet, Expe
rimentum^quod nobis confirmauit has pene omnes fipeculatiun-’
culas fdBufuit tubo quodamdmo capfiula pardllelepipeda^cuius
altitudo paffiumG£om:etricumiexc e flebat ycuius bafis vno palmo
quadrato noner at minor .FotamUfa vedo erant rotundaycircu-
lo que humana pupitlf maiora , nonperperamfiaB dyfiedfiolertifii"
me txc a uatjt in lamellis cupreis y tenuibus y (f ad horiz>ont em
creBis , Aqua enim *violenter erumpensfiemper direBion e exit
perpendiculari.ad illud planum ex quo erumpit yideoqy fiebat mt
emifiiones noBri tubi horizontales effient
D Ato tubo ferapcr.pIeno,& ^te,perfbrato Jbraminibus
e de . hoc eft quse fint figurse circuiaris,fttq;iHoru' dudus
horkontalis,hoc eft in tenui damella plana penciicularLDatoq;
horkontequolibet^^,inueniEeatnplitudinevniLifcuiufq;para-
iboIsEoFiatcirca diametm femiciEculus i^.Eritq,” parabolas
iBuetis, ex. e amplitudo duplalineie #2 qu^ ftorizontaliter duci-
itur in femicirculo* Et amplitudo para-
bolas erumpentis ex d erit dupla line^
dh. Et lioc probatur , q[uia cum aquaEt
velutpraiedumquoddam,Etq; (per fup
ipoiitum)ipftuspun(ftu fublime a^ erunt
^periPrqpoEtionem 5. -Galilei, femifles "
^^rnpHtudimimmedio Joco prqportiona-
IjthcT Secundus^* 1 9 S
les inter fublimitatem, & altitudinemiquarcfemiffes. amplitu-
dinum aequales erunt lineis eiydh.
Corollaria .
Hinc manifesiUm e fi quod (1 tubus ab ferf oretur in ^ pun^^
Ho medio altitudinis ytunc emi^ionem ex 6. faciam longius qud
qualibet alia cadere
Foramina*uerb qua aqualiter a puniio medio d. dijlant
t et aquales amplituiiines facere »
Manifejlum etiam eli inferior es par abolas femp^^ fiperiori*
bus maiores effe y cum habeant maioremjublimitatem^i hoc e fi
matus latus regium , eii enim fuhlimitas quarta pars laterts r#«
Hi yVt ojlenfum eft ^
D Ato dolio, fiue tubo ah quod apte
perforatum fit in <• , & emiflionem fa-
ciat ^-^a^.Inueniendafitaqugintubo laten-
ris libella horizontalis ? fiue fuperfides
fuprema.
Sit horizon df & producatur ch \x\fi
& fecetur bifariam/^f in fiatq; vt c/’ al-
titudo , ad/> . femibafim, 'Vizfe , ad aliam ^
quae erit Xublimitas cg. Patebit ergo libel
km aquae in tubo latentis effe per pundum g ®
S I tubus apte perforetur vbicunq; in #, emiflio fluentfs
aquae coni redangulifuperficiem continget , cuius axis
fit ipfe tubus , vertex vero fit in aquse lib ella
Sic angulus coni h a €\ femiredus /8c A
dh tubusjboceftlineaeainquifunt
ramina,, ponatur axis coni . Sumatur te-
qualis r^ ipfi cd-.> Ducaturqr horizon
talis d e . Dico parabolam tranfire per e^
Si enim potefi , tranfeat per h , & cum
aquse fubliraitas fit e- a, erit femiflis linef
Bb I Wme-
ip(f DemotuVroieBomm
hd inedia propcrtionaiis inter duas «quales Vi-, «-(i.&pro-
preica tota dh . aqualis erit ipfi ddyWtl de» quod cft abfurr
dum . Si ergo parabola traniit per pundum e» ipfa ea tangens
eft , cum jsequales (int 0 <3^ .
Hinc manlfeUum eft ^ubd fi tubus in omnibus fuis fundis df
te ferf oratus fuerit y omnes emi fitones quodammodo confpirare
^videbuntur ad formandam coni redi anguli fpeciem »Si ^ere non
tubus yfed fph arula in vtrtke ipfius pofta , apte perforata fit in
omnibus fuis pundiis, emifiiones omnes cuiu/dam comidis para-
b otici imaginem conformabunt , ex Propofi 3 0 . huius .
A Quarum ex tubo ab perforato criimpentium velocita-
tes funt vt linese in parabola applicatg ad fuam vniufcu-
iuiq; fublimitatem ,
Sit tubus ab femper aqua plenus ex
foraminibus Cyd erumpant fluentes iine^.»
deferiptaqj parabola circa axem
ducantur ordinatim ceydf Erit ergo vc»
locitas in c ad velocitatem in d , vt impetus
grauis cadentis ex ^ in . ad impetum gra^
uis cadentis ex a in dy nempe vt c e, ad df.
ex demonftratis in primo iibro dc motu .
Corollarium.
Hinc f equitur ex dodtrina Abbatis Cafiellij quantitate aqua
exeuntis per oBium c »ad quantit ate aqu^ exeuntis per d ( qua
doforamin afuerint aquali a) e ff e vt c d iMoc ejt aquas erU
pentes ex foraminibus aqualibus ef e in Jub dupla ratione fubli-
mitatum , fiue altitudinum fuarum . Veritatem huius Corolla'
rtij primus omnium experimento mdagauit eruditifs, viry aque
Uteris yfcientqfq-y omnibus ornatmy^ziphze^ Magiotius , S^ve-
titatem noflram exitus f ekcitate confirmauit ^
fluando vedoforamina inaqualia erunt y quantitates aqua
exeuntis compofitamwathmm hahebMnt ex ratione velonitatu p
^ ex ratione oBiorum^
Liher Secundus . i p/
S I tubus ah cylindricus,fiueprifmaticus
perforatus in fundo Afluat, neque alius
hiunor fuperinfundatur , velocitates fupre-
niae fuperficiei humoris latentis decrefeent
cum eadem ratione , qua decrefeunt etiam
iineae ordinatim applicatse in parabola b dy
quse axem habeat h a verticem vero h .
Hoc manifeftum eft. Nam quando aqu^
fumma fuperficies erit r , velocitas erit c d
& quando fumraafuperfides erit velocitas erk ef* ex iam
demonftratis j & hoc modo femper .
C Viuimodi fit folidum ab aquis cadentibus conformatum
inueftigare,
Sit vas aqua femper plenum a h am-
pliliimum , cuius foramen in fundo cir-
culare fit c^sf^folidum autem aquas ex
eo fluentis fit c o fd^d^ Iblidi axis ikfh ,
Dico lineam £3 ^ ^ p folidi huius genitri- j
cem talem cfle , vt numerus biquadra-
tus diametri c d, ad biquadratum dia-
metri 0 p. fit reciproce vtaltitudo/'i' ad
altitudinem fi.
Ofiendit Abbas Cafiellius fedionem ed ad fedfonem opy
efle reciproce vt velocitas in i?/ , ad velocitatem in c d. nempe
vx hl i m in parabola/)^/. Hispr^mifiis, QuadratiMnu^*
mems diametri ad quadratum op efi vt circulus ad dr
^ culum ep. nempe vt ad . Numerus autem quadratus ex
kl ad quadratura ex i m efi vt hfzA fi . ergo biquadratus nu^
merus diametri c /.ad biquadratum efi reciproce vt aiti-
tudo/’^, adaltitudinerajfD Qiiod&c.
Data fit eadem figura altitudo//’ i oo/^ i dataq; fitdia
meter foraminis s i 5 0. Queritur quata futura fit iblidi diaiiie-^
ter op . Fiat vi fh ad /4 nempe vt i 4 o. ad roo Jta numerus
biquadratusdkmetri c /nempe 62 5 0000. ad alium j qui erit
o ddemq^erit numerus biquadratus diametri op i fiei?
1 9 s He motu ^roisBomm
go ab eo extrahatur radix bicjuadrata,proaeniet 44.01101/. vn«
decimis proxime , tantam, ergo proaum:iabimus eife diame-
trum 0 p .
D Aca i? d diredione fiflulse a B ^ .
& puncto i' in quod incidit aqua
fluens i inuenire fummam latentis aqug
libellam,, fiue fiipefliciem Producatur
abdf ^Qx c erigatur perpendiculum c
d. Deinde fiat vt c ^,ad dh ita d h ad
aliam 3 cuius quarta pars fit be. Dico
per € tranfire libellam aqu^ latentis
fupremam . Eft enim hd tangens parabolx,, & paralle-
la diametro j. ergo quadratum ^/ccquale erit re dan gulo fub
cdi^ latere redo >,quare reperta illa linea f cuius quartam par
tempofuimus c) latus redum erit,& ^ e fublimitas .Quod &c.
Monemus iterum dd hoc vt experimenta cum demonfiratio^
nihus congruant , quod foramen b debet ejfe in lamella tenui^^
plana r ad quam perpendicularis Jit reBa b d . Reliquum ver&
interioris tubi cJc. vfq i ad initium aquiducius ^ debet ef-
Je capacijftmum ; quo enim laxius erit elo exaBius experimen-^
tum euadet . fluotiefcunqv autem aqua per tubum latent em de^
currens per angujlias tranjire debuerit Jalfa omnia reperienturi
^luemadmodum accidet etiam^Jipra nimio impetu y aquajla-^^
tim atqi emijfa ejl , in tenui fftmum rorem difpergatur «
D Ata diredione adyxvhi , fiue fi-
fiule h & pundo c in quod in-
cidat aqufe emiflio , totam parabolam
aqu^ fluentisdeferibere •.
Producatur b a dy & erigatur perpen^
dicufum cd^ Deinde connedatur dc^
Ducantur iam tres line§ a e, efyfh , qua-
rum prima fit ex angulo vtcunque, fe-
cunda parallela tangenti , tertia paralle-
la diametro . & pundu h\ erit tranfitus parabolf , vt confiat esc
demonftratisi dc fic defingulispundisparabote quffitse.
Pofi-
Liher Secundus .
P Ofito vafe dh fiue cylindrico, (iue priC*
inatico quod in fundo perforatum fit
foramine b , Velocitas aquse exeuntis ex b
velocitati Jibellse, fiue fupremte fuperficiei
defcendentisinyafe, femper eadem ratio-
ne refpondebit.
Quando libella aquse in vafe eft fit
velocitas c aquse exeuntis per Tum fiat,
vt fcdio vafis , adfedionem orificij h ^
ita 4 c ad a e . Eritq; per do^arinam Cafiellij , ipfa a e. velo-
citas libeiise da in defcedendo , lam circa diametrum £«•
ant per c , & ^ , dute parabolte mc ^ m e ,
Confideretur deinde alia libella/^. Quando fb . libella
erit, tunc per demonftrata erit velocitas in b vt linea h l . Sed
velocitas in b ad velocitatem libellccy^^ erit per dodrinaCa-
lieUij vt fcdtio fh adiei^onem ^,nempe vt ca a e & fic
femper,. Quare velocitas aquse exeuntis ad velocitatem libel-
la dcfcendentis inquocunq; loco confideretur , femper erit vt
linea applicata in maiori parab, ad applicatam in minori j hoc
eft in eadem femper ratione .
Aliter etiam oflendetur idem hoc mod o , telligatur in ' 3 ^ 4 -
/c ab qualibet feBio ^hiqutononfitfummafuperficies: fttAU»
tem fumma fuperjicies d a , Jdm j sum eadem quantitas .aqua
trdnjeat perfeBionem h drper ihi erittvelocitAsih b ad ve-
locitat em in f h reciprocae vtfeBioi\x ad fei^ltomm h ifedfum*
ptafe^io f h aqueuelox eB ac fupremafuperfcies d a {cumf^tas
ponatur cylindrus y fiue ptifma ) (rgo veloci t as in b aa veloci-
Aatemfuprema fuperficiei d a defcendentis in vafe femper ea-
dem ratione refpondjcbits nimirum femper erit vtfeBitt vafisAd
feBionemforaminish^
199
Corollarium .
iErgo quando altitudine sinvafe erunt a m , h m , erit v^
sitas aqua exeuntis ex h pojk a altitudine a tn , dd velocitate
dmuntis ex h poftaditkudine li myvt eft velocitas fupima ^ "
sQo Demotu VfoieB orum
perficiet A3.dd velocitdtemjummafuperficiei fh./hee enintpa^
tet ,N am fumptaftiperiori concLufione ferii^Htando tantum de^
ducitur hvc Corollarium, .
Q Vantitates aquarum ab eodem , (lue ab sequalibus fora-
minibus erumpentium eodem tempore, funt inter fe
^ in fub duplicata ratione altitudinumV
Sit vas ab prsecedcntis figurae perforatum in b . & aliquan-
do maneat femper plenum vfque ad lignum ^4; aliquando
vero vfque . Dico quantitatem aquse exeuntis quando
altit. eft a «?,ad quantitatem aqug exeuntis quando altit. eft ^ ^
( inteliige femper eodem tempore^ elfe in fiibduplicata ratione
altitudinum am ad hm. Nempe vtreflia ac ad hl . Nam
quando altitudines funt am^ & Velocitates in b fune ex
CorolL precced» vt velocitas fumm? fuperficiei , ad veloci-
tatem fummsc fuperficieiyv^ ; liue vt applicata de hi .'Ergo
quantitates aquarum erumpentiu ex eodem foramine b erunt
a e 2 A nempe in fubduplicata ratione altitudinum am.
z^hm.
Haec fpeculatio conuenit exa(5iilfime cum experimeto a no-
bis fumma cum diligentia fa do •
^ V oddam vas cuius fummitas a perfora-
tum eft foramine b itavt fuper|nflue
te quodam aqu^ dudu in a femper ^
plenum permaneat . Quaeritur , quo foramine
perforari debeat in c vt eadem fuperinfluete
aqua plenum prgeise licut antea permaneat.
Sumatur inter ab ^ ac media a i . Fiatqi vt al-*’
titudo c 4 zA mediani a i ita ofculum ^ ad o fcu
Ium c» Erit ergo ofculum b . ad ofculum <r,vt applicata ce ^
ad applicaram hoc eft vt velocitas foraminis c ad veloci-
tatem ^ reciproce . Proptera eadem quantitas aqug effluet per
vtrumq; ofculum b & ^‘jpropolitumq; vas femper plenum ma-
nebit.
^Udddamver))v4s zheumperfiraeum/it infundo fotamir
m b ffuferinfiumte fmdam dato ajmdu0u d j flenum fer^.
" ' '
Lther Secundus .
mAmt vfq\ ddpgnum c , it ur quanti tdS Aqfid^
inid^^m vas ingerenda ad hoc vt refleatur vfqiad
Jtgnum a . Sumatur inter a b , b c . media
atqs vt e h ad b a, ita quantitas aqua data d ad
diam quantitatem ; qujt ingefla omnino vasreple^
bit vfqy adjignum a, neq; illud excedet , ^uod
ius generis facile demonliratur
cum multis alqs h
ftiZQedentibus
A Qi^arumjfluentium ('qu^ tamen aliquo vafe excipi pof-
{int)proportionem dicere > fine vlla temporis, veloci-
tatis , feddonifqj menfura .
fumatur vt in prsecedenti figura, quodcunque uas a b , cuiuf
cunq; figurae fit, ita tamen perforatum in fundo, ut minor ex
^datis aquis fluentibus ingefla non efiluat ftatim tota, fcd iilcre-
fcat, & aliquam altitudinem fiiciat in uafe , pura altitudinem b c
&deinde non crefcat amplius ; fed tantum aquteprorfus uas e-
mittat , quantum recipit . M aior uero aquae quantitas altitudi-
nem faciat ab. Patet ex praecedentibus aquam maiorem ad
minorem effe in fubduplicata ratione re(5ltc ad ^ r , Nam
cum utraque aqua tranfeat per eandem fe(5lionem & altera
earum altitudinem habeat altera uero erunt uelocita-
tes aquarum per dicSlamfedionem exeuntium in fubduplicata
ratione ad ^ ^ . Ergo & quantitates aquarum fluentium e-
runtin fubduplkata ratione fadarum altitudinum ab^bc.
Lemma.
Sit diameter alicuius parabolcZ a b , ef mobile ali A
'quod moueaturper a b ealege^ vt inquocunqi pun-
£lo linep a b confi deretur femper impetus eius fit ut
linea ordinatim exilio punllo intra aliquam para* ^
holam applicata Dico hunc motum eundem ejfie ac
grauium naturaliter cadentium , InteUigatur enim aliquod
graueipoueriex zin b motu natur alit er accelerato ^ (ficonci’-^
piatur eius momentum eiufmodi ut tam graue quam etiam mobi
kfimuldmi£k ex d>^ eodem tempore peruemam ad pundum b
sx lem.
pr^ced*
20 2 I^e motu VroitBorum
patet amborum mobilium vnum atq-y eundem fututum effe mo^
tum , iV amin quocunqy punBo linea a b confderetur altetu»
irum dirorum fue mobile., Jiue grane^eundem impetum habebit
ac alterum , quare pariter etiam tranfibunt fpatium a b , partef
que ipfius. & hoc uerum etiam erit fi mobile moueatur ex b tn a>
non crefc ente -i feddecrefc ente impetu ,
A BJ
I' /
V Afa<ylindnca fiue prifmatica in fundo perforata ea lege
exhauriuntur , ut diuifo toto tempore in partes aequales,
emiffio ultimi temporis fit ut unum, emilTio autem penultimi te-
poris fit ut 3. antepenultimi temporis ut 5. & ii c deinceps ut nii
meri impares ab unitate .
Sic lias ut pofitLim eft ; perforatum in fun«
do , ipfiq; adfcrihatur parabola e d* lam de-
monftrauimus fluente ex fundo aqua, libel-
lam a € ita defcendere ut femper uelocitas
ipfius iit ut linea iibi refpondens in parabo-
la , neiTipe impetus me a yfit ut ad^ 'vcifh fit
, ut h i , & fic fe mper j erit ergo motus libellae
tamquam motus deficiens grauiumfur-
fum reflexorum , fiue proiedorum ,* & diui-
fo toto tempore emilfionis in partes aequales, erit fpatium i e
decurfum a libella ultimo tempore , ut unum ; fpatium autem h
i ut tres , Szhdxxt quinque • Nam , ex lemmate pr? milfo , mo*
IUS libellse ^ e eft tamquam motus grauium non cadentium j fed
furfum perpendiculariter proiedorum ( quod idem eft ) ergo
motus libellae a e eadem fpatia tranfibit temporibus gqualibus,
atq; graue aliquod furfum proiecftum , nempe ultimo tempore
unum, penultimotriai& fic deinceps. .
Si fiat uat tomidale parabolkum cuiws axis fit
ab, ^perforatum fit in fundo b uideri poterit emif.
fo eius eitfmodi ut motus fuprema fuperfieieidtfGfi^
dentis yaquahi lis -fit :: hoc efiMt aqudihus tempori-
husaquahs ait itudine moles eMkuMrianmr ^ quod
■mmmfdfMmefl ^ S^tpmmie^mideapatahika ’
, ^ ^ intet
'A
\ T
’‘’f
A ^
‘ Vd
. ' J ■■ ■
' A
-
yX i.
"Liher Secundus . 'ioV
inter f e Ut quadrata axium ^fiue altitudinum , Si ergo diuida^
mus totam a b in partes aquales , erit comi des cb ut unum, ^
db ut quatUor ,* ipfumq; e b ut dei nceps fem per ut nu-^
meri quadrati . Erunt ergo conoides c b ut unum , d iffer entia
autem c d ut tria ,dt ut s-^^->ut j.&fic deinceps dtfferentite
erunt ut numeri ah unitate impares . £^are uidebitur alicui
quod fingula huiufmodi differenti^ aqualibus temporibus exau-
riri debeant per ia demonfiratain prae edent i', fed quoniam in
huiufmodi uacuatioue plurimi refert cuius figura fit ipfum uas ,
abfhlute falfum hoc efe pronuntiamus', demonBrationemq, unuf
quifiq . colligere poterit ex his qua fequuntur.
E Sto uas irregulare ah perforatum
in fundo foramine ; & confideren-
mr dwx ipfius fediones ae,bd. Dico ue-
iocitafeni fummse fuperficiei aqute defeen-
dentis , quando erit ae , ad veiocltatern fu
perfidei, quando erit b d, rationem habe
re compofitam ex ratione fubduplicara al-
titudinu fc ad r & reciproca fedionum,
nempe fedionis ^ ^ ad a e . Concipiatur enim fuperibafi fedio
nis qu^cunq. illa fit, ’aas prifmaticum ai me cuius altitudo
(ity>. lam velocitas fedionis prifmaticse aezd no erit ut reda
ffc ad c ^ mediam inter altitudines. V elocitas uero fedionis n o
ad uelocitatem fedionis bd, cum eandem altitudinem habe-
ant, eff reciproce ut fedio bd ad no* Ergo patet quod ratio
ueiocitatisfedionis aduelocitatemfedionis bd compo-
nitur ex ratione redse fc ad ex ratione fedionis bd ad
n 0 , iiue bd ad ae ,
Hinc manifeftum e fi quod nuper de Conoide parabolico dice^
hamus , nempe motum fuprema fuper fidei defeendentis non ef
fe dtquahilemf edfubinde acceleratum . ^auer^i ratio ne ac e e-»
letetur \eir qua ratione uarientur uelodtates fuprema fuperfi^
ciei aqu^ defeendentis in fph^ra perforat a, fphttroide, atq, alijs
uafikuj regularibusffagil} ex conteplatione procedenti patebit •
Cc 2 DE JAr
20 ^ 'De motuVmeBerum
. - \ ■ K-, ■■‘A
B T A B V L I S .
S Equuntur Tabulsenoa quidem do( 5 Hs calculi vigilijs ela^
borafi , vt a Galileo fadum eft , fed cx ipfa Tabula iinuu
ac Tangentium facili breuiqj negotio tranfeript^ . Quocunq.
tamen m.odo colledae fuerint, Ton minus augent Gaiilei glo-
riam,quam laborem noftrum comminuerint . Cuius enim in-
duftrisB tanta folertia eft , vt per innumeras multiplicationum,
diuifionum , & radicum ambages, adeofdem pene numeros ap-
pellere potuerit, quos ex Tabula defumere nobis conceflum
fuit ^ Prsedidum hoc volo , nos fupponere voluiife eandem-,
maximam amplitudinem femiparabolarum cum Galileo par-
tium 1 oooo. item maximam altitudinem partium toooo. vl
e?dem omnino Tabulas euaderent , & aliqua interdum differen
tia inter illius numeros & noftros appareret. Ideo in folum la-
borem bifTedionum incidimus . Si vero fuppofitionem varia-
re, hoc efl numerum hunc duplum 20000. fupponerevoluiifi-
femus, tunc integrasTabulasdiuerfe quid em eualiffent a Gaii-
lei T abulis,fed immeri poterant fine vlla biiTedione ex finibu%
& Tangentibiis prout ibileguntur mutuari ^
Taiula tontlnens \4mplitHdims ^ eodem impetu
fabarum, Suppofitamdximd dmplitt4cime partium loooo. Suntau-^
tem numeri TahuU ftnusreBi arcuum deuationis duplorum*
GRAD. ,
Amplitudo GRAD. 't |
femipar. 1 Eleuat. f J
*J 1.
GRAD
Ampliiudo GRAD, 1
£kuac. '
-
Eleuat.
Semipar.
Eleuat.
.
o
0000
90
1
23
7'93
<^7
f 'l' '
349
89
24
743 ^
66
’ -2 :
698
88
25
7660
65
1045
87
26
■7880
64
4
1392
8d
27
8090
^3
S ,
J, 73 ^
__8s
28
8290
62
6
2079
84
29
8480
6 I
7
2419
83
30
8660
6g
8
2756
82
31
8829
59
9
3090
81 ^
32
8988
58 1
JO
3420
80
33
9135
57
1 1
374*5
79
34
9272
5 ^
12
4067
78
35
9397
55
'3
4384
77
3 ^
95
54
^4
4695 :
7^
37
9613
53
^5
5000
75 _
3 ^
9703
52
i6
5299
74
39
978; i
*7
3591
73
40
9848
50
i8
•
5870
72
41
9903
49
^9
6157
7 *
42
9945
4S
'
20
6428 ‘
70
43
9976
47 i-
21
6^91
^9
44
9994
46
2 2
6947
68 1
45
j ocool
45
* .. 'l . \
7
l “i
i'
' i
1 1
■
©<r mo^u Troie^oTfef»
.■X:
>
' ‘St 55.1'.
P Ofoimus maximam amplimdinem , hoc eff Bafim (S^ipiT
rabola?ad eieuationeingrad.45.a^|^eflfep$rtiu iox>oM
(quot quadrantes patom /geometricqffia prb^
max. iemiadtus machinarum quas appellmt GoMrine da^ o. )l
Manifeftum ergo cft fi ponamus (in figurapropofi 9. proredo^
rum) alf efle partium loooo . tunc amplitudinem 'maximam
Icmiparaboise eile partium 1 0000. (^demonftrata enim eil am-
plitudo parabola* maximcC dupla ipfiu^ ^rgo amplitudo {e4
mi-parabolsemaxim^ 2equaiisentipfi’i^i^.) " S
Ponamus igitur partium 1000Q .& datus fit angulus elc-^
^uationis dac gr. 40. quseritur dupla ipfius #^' ( nempe arapli-^
tudo lemiparabol^ ) quanta fit relpedu ipfius t ^ 1
Dato angulo d 4 c datur arcus anguli duplus nempe gr#
80. Ergo datur c e 9848. finus arcus dc , fed refpe<5tu fcmidia
metri , quse fit partium 1 0000. Datur ergo etiam longitudo
quxfita /i^jduplaipfius ec, ab eodein numero
^uipfius partium 1000 o> ^ ^ . ; / K
TfAxis. . -i:
Duplicetur eleuatio,eiufq. finus redus accipiatur j & fic nu-
meros Tabulse habebis, qui longitudines, fiue amplitudines fe^
miparabolaripi metiuntur, j ^
Tetlula c&ntinens Altitudines ^miparaholaru (puaru impetus ide fit eu impetu
} f recedentis Tubule . Supponitur maxima altitudg part, loooo. Sunt autem
numeri T abule finii ffes finuum tier forum arcuum ehuationis duplorum %
1 f GRAD
Altit.
f T
GRAD
ALTIT.
1 1 grad
ALTIT. 1
Eleuat. 1
femipari
1 1
Eleuat.
5 emipar.
j 1 Eleuat.
Semipar. 1
i
a ,
'i
3
, ■ ■ 'I' 2. ■
tmmmrnm ««■*
31
-!1.
2<?73
2808
61
62
7650 1
7796
WmmtmmKUtU a
■fci ^ a»
Mi , -
*
' ^ i
A
2 7
A 9 ^
j ‘ ' -
33
34
2^66
3127
^3
64
19 '^9
8078
i
. 76
37
32^0
67
8214
6
lop
3<5
3475
6^
8346
. - -
7
149
37
3622
67 .
8473
S
194
38
37^0
68
i!!L.
9
245
35 »
35)60
65)
8716
lo
302
40
4131
70
.„8830
' —
■■I 1 ,»»»■■
II
la
3<^4
432
-
41
42
4304
4477
71
72
8^40
< 65»047
506
4.3 :
• ««r
4651
73
5 »I 47
-585
44
4826
74
5)240
ii
670
47
5000
77
$»330
r i6
760
• , :
46
7174
76
^417^
17
, SS.1
4 7 ;
7 34 P
77
5 » 4 P 4
1 '
’ . 9 lf~ , ,.
7713
78
5)568 [
'1 -■ ij
^
L~—
— ■ ■-
■ ■ 1
I 19
1060
45 »
565)6
79
9636
20
1170
70
5868
80
5)6518
— «1*
«»1^ —
■r^ ■ ■ •-
1'^ ■■■» . - f
- —
1
1284
fi
6040
81
9711
i
i. 3 ta
1403
- , f. \
117,1
6210
82
9806
1
- - ^ - .
>— -
, :
-15.^7 .
. ' - -j
<5378
83
98$ i
24
1654 ,
r ~ '3
\fA;u^
.'t 654 ' 5 ,-_
, 84
5)85)1
■:
1786
fi
6710
85
5)5)24
1 26
ipaa
1 -76
6873
86
9^7 f
i
.1
— -
27
206 1
! 7 7
7034 ^
87
99 7 ^
18
2204
! 78
71^2
88
9983
T 7T7»
r I 1™*-«
1— —
•
— -
2350
1
7347
89
9997
• 3 Qa
45^
1 1
7500
90
lOOOO |i
• »fl lillJiiM ^ 1
?
ioz De motu TroieBorum
Bxflanatio prosedentis T dhulo . = ^
P Onimus maximam altitudinem omnium proiedionutrL^
ab eodem impetu fadtarumeflfe partium loooo.. Poni-
mus ergo infubieda %ura lin&m ab effe loooo. partium ^
Dato deinde anguio d a c eleuationis gr. 40. queriturxjuaa-
ra iit altitudo a e refpc(^iuipiius ab quae eil i 0000.
Datur quidem a e 82^^, ex Tabula finuum, cum fit {j.nus
verfus arcus ac gr. 8a. qui arcus duplus eft anguli eleuationis
d a Sed datus numerus red:a» a e 82 ^4. erit refpedu femi-
diametri, qu^ fit partium 1 0000. Cum vero nos ponamus^ to-
tamdiametrum eflfe partium loooo. tunc ic erit , 41/2«
hoc eft tantummodo femiffis illius numeri ex Tabula fintium
yerforum excerpti* '
Praxisl
Duplicetur data eleuatiojilliufq. finus verfi femiifis acclpia-^
turi&fichabebisnumerosTabuIsepr^Ecedentis, qui altitudi*
nes parabolarum jfiue proie<ftionumtpetiuntur. t !
Mcidi
Lthr Secundus i iop
I>ecldr4tio Sequentis T dhuU ,
P Onimits dh . amplitudinem omniu
femiparabolaru effe partiu i oo o o F
Dataiam eieuatione c ad gr. 30. iuxta
quam dirigendum eft tormentum. Quse
ritur parabolte a h Altitudo , & fublimi
tas •
Secetur^^ bifariam in Cy erigatur
que ad angulos rectos c d .Fiatq. angu
lus^^redus.Manifeftum eft circa dia
metrum df deferibi femicirculum qui tranfeat per d cunu
redus iit angulus ad d donec concurrat cum diredlione ad ^
Cum ergo fiat proiedio cum impetu/'^ , & diredione a dy erit
amplitudo femiparabol^ linea dupla ipfius e ^nempeipfa ab ;
altitudo vero bhyVtX acy fublimitas ef. Queritur ergo quan-^
titas linearum aeycf.
Cum db fit partium loooo. erit ed nempe fenrifiis ipfiusi
partium 2 5oo.fcmper, qusecunque fit eleuatio. Si ergo ed
fit finus totus, erit altitudo ea 5 774. tangens anguli eleuatio-
nis ^4^,hoc eft Sublimitas vero e/"erit 17320* tan-
gens complementi eiufdem anguli . FIa?c autem vera funtqua-
do ed fit iQOoo. fedquiaincafunoftro ed tantummodo
partium 2500, nempe femifiis finus totius , erunt e a , e/’femif
fes didarum tangentium; hoc eft altitudo a e z88q,ipfa vero
fub^mitas e/' 8 66o.propterea tormentum illud , quod eleua-
bitur gr. j o. ad lioc vt faciat amplitudinem femiparabol^ par-
tium 1 0000. debebit habere fublimitatem, fiue impetu 8660.
Quod quidem idem eft, ac fi diceremus quod impetus proie-
dionis tantus efse debet, quantus eft grauis alicuius naturali-
ter cadentis ab altitudine 8660. earumdem partium. Altitu-
do vero talis parabol^ erit 2 887.
Praxis .
Pro altitudine, fume femiflem tangentis anguli eleuationis.
Pro fublimitate , fume femilTem tangentis complementi an-
guli ekuatiqnis. Dd Tabu- |
^ lO-
TabuU confmens altitudines , & fublimit^tes Semiparabotarum
rum amplituSnes <zquales ftnt» Tartiumfilicet/emper loooo^ Sunt
grad. >
A 1 .TITV-
SVBLIMI.
I GRAD.
ALTiTV-
SVBLIMI
Eleuat.
DO
TAS
Eleuat.
DO
TAS
.. ^
* 4 ^ . ^
,
O
00
infinita
#
23
212 2
1 1 779
I
87
28^450
24
; 2226
.
1:230
I7S
143186
25
2332
10723
[ 3
262
95406
26
2439
10252
4
i 350
7 'S °3
27
2548
9813
5
, 43 7
. 57 » 5 °
28
2659
9404
6
525
47572
29
2772
9020
1
614
40722
30
2887
866g
8
7°3
35577
' 31
3004
8521
9
792
31569
52
3124
8002 j
IO
882
28356
33
3247
' i
7699]
II
972
25723
34
3373
7413'
12
1063
23523
3 S
3501
7141
13^
1 1 54
21657
3 ^
3^33
6882
14
1247
20054
37
3768
6635
IS
1 340
18660
38
3906
6400
•
\6
»434
■ 17437
39
4049
^»75
1 *7
1529
16354
■ 4 ^
4196
5959
1
1625
; 15388
41
4346 :
5752
t i '^
1722
14521
; 42
4502
S 553
(1
1820
13737:
43 i
4663
5362
1919
: 130^5
44 / '
4.828
5 » 78
;i '22 .
2 0 20
: 1237 'v
-45 - ^
jOOO
5 000
#
.1 '»T#i«frtifcWrni WiWi
MI iVW
*vi A 1} ssMffA
71 1. ■■tiHMiir
_ • ^ y ,
' ]
1
aj
■'i
'
/
II t
Muteff^ynAltitudines/emifieffangentiuM angulorum eleuationis Suk
Imitates funt femiffm Tangentium complememorumeleuaiionis •
'iGRAD. AITT-
SVBLI
jEieuat.
TVDO.
?
MIT.
46
5178
4828
47
5362
4663
48
5553
4502
49
5752
4346
50
5959
4196,
5 ^
6iT}
4049
52
6400
3906
5 3
^835
3768
54
68 8 2
3^33
55
7141
0
l-H
56
74 « 3
3373
57
7699
3247
58
8002
3124
59
8321
3004
60
8660
2887
,
902 I
UIl\
9404
2659
^3
9813
2548
64
I 02 5 2
2439!
10723
2332
66
I 1230
2226
6i
1 1779
2122
6.8 1
12375
2020
Od 2
GRAD.
ALTI.
SVBLI
Bleuar.
TVDO.
MlT.
69
I 3025
1919
70
' 3737
1820
7 *
I452I
1722
72
15388
1 625
73
16354
1529
74
^7437
1434
75
18660
'1340
76
2005^
1247
77
2 I 6j;7
1154
78
23523
1063
79
25723
972
80
28356
882
81
3« 5159
792
82
35577
703
40722
614
84
4757*
525
85
57150
437
86
71503
350 j
87
95406,
262
88
143186
^*75
89
2S6450
87
II II ^ 1 IH
9 ?
infimtar
00
12
Tabula contiftens durationes ^ fme.imp/siui od horizonum €omp»ratos prpielth
ftttm ab todem impata fabarum , Supponitur maxirrta dttratio ,
fue impetus maximus effe loooo. Sunt autem numeri
1 grad^
j £ieuat.
Duracio
fiue Imp,
1
GRAD
Eleuat.
Duratio
fiue Imp.
i
, GRADI Duratio f
Eleuat. jvel Imp, I
3
4
?
6
7
8
9
10
11
II
13
14
15
16
17
iS
20
21
22
2-3
24
n
%6
I mm»i
2 7,
28
2@ ;j
S<3 ..
345>
52-3
65>8
872
1045
I2lp
I3S>2
I7<54
1736
ipo8
2079
%
2250
2419
2788
2776
2924
2990
3276
3420
■■wavM» ***'
3584
3746
4067
4384
»w i^mm
4540
4695
5000
31
5150
1
7299
33
544 ^
34
7792
j -T., 1
—■ ..»■
35
573 '^
36
S87S
37
601 8
38
615 7
3 ^
6293
40
6428
41
6j6i
42
66pi
43
68 zo
44
^94 7
45
7071
46
7193
‘
47
7314
48
7431
49
7547
50
7660
51
7771
5 ^
7880
5 3
7986
54
S090
55
8192
$6
8290
■ 5 7
8387
58
8480
59
857 ^
60
, 8^60
1
8746
<52
8S92
< 5 }
8910
54.
89S8
67
9063
6 i 5
9137
<57
9207
68
9272
69
933<5
70
9397
‘ 71
9455
72
9710
73
95^3
74
9^13
75
9679
76
9703
77
9744
78
97S1
■
9816
80
9848
81'
98 78
82
9903
.,.-8:3 ...
992-5
: 84^ r ,
9945
87
9962
8<5
9976.
87
. 99S6
88
9994
S 9
999S
90
toooo
' "
Libey Secundus . 3x3
•1 ' ;
ptio fY^Qcdmns T abulg *
I Vxta ea ,qu3e 4 enionftrata funtin propofidonibus i & 2 1 .
Proiedorum , quando a b fiierit maxima duratio , fiue ma-
ximus impetus ad horizoncem comparatus , erit ac intercepta
in femicirCulo, duratio , fiue impetus eleuationis a c, ad hori-
zontem comparatus. v
Supponimus ab effe partium i oooo. nempe finum totum .
& dato angulo eleuationis eae gr. 3 o> quaerimus ac,
Manifeftum eft , fa do quadrante b df, quando a b fuerit fi-
' nus totus, tunc c a effe finum red:um eleuationis ^ hoc efi: angui
eae ^ quandoquidem ea aqualis efi: ipfi de , Vt oftendi-
{ mus in praecedenti libello . Ergo cum 4 ^arcus fit gr.3 o. erit re-
fiue ac..y ^Qocurelpefiuipfius ^^qu^ efi loobo. Hoc
■ autem fignificat^ quod impetus grauis naturaliter cadentis ex
: h m a adimpetum parabolse in extremo pundo {dummodo
: ad horizontem tantum comparetur ) erit vt i o o o o. ad 5 000.
: Duratio vero, fiue tempus lationis naturalis per perpendicula
j j f a ad tempus , fiue diirationem parabolae erit vt eadem i a ad
^ wcj nempevt
TrAxis,^ ■
Sume ipfos finus re^os eleuationu, & habebis numeros Ta
-bule rexhibeptes dumtiones ^ ^impetus parabolarum ad ho-
tizontem eomp^tos^fc , ■ ^
f c/ ■ <4^
i
Tabii-
■>
spatia fiue mrmenta prokSfionum ^^nalia •
fahiU cmtinens Gradus eleuatlnis aqua Met adhiberi j vt
doproieBionisftatdi^atnenfura»
GRAD. Comple- f
Eleuat. men. I
I Spatia
grad.
Eleuat.
Comple
men.
IO
n
j
89- 43
— —
3°
40
5 2
I. 9
89. 8
88. 51
50
I. 2 5
88. 34
60
i. 43
88. 17
70
2. 0
88. 0
80
1, 18
87. 42
90
2. 35
87. 25
1 00
2. 52
87. 8
110
3* 9
85. 51
120
86. 33
130
3* 44
85. 16
140 1
4. I
85. 59
150
4. 19
85. 41
i5o
I4. 36
85. 24)
170
[4- 54
85. 6
180
|5-
84* 49
1 190
5. 29
84. 31
200
5. 45
84« 14
210
5. 4
83. 56
220
5. 21
00
•
230
<5. 39
83. 21!
240
57
83. 3
250
7. 14
1 82. 45 1
. ’
1
I Spatia .
n- f
260
270
2' 80
300
310
320
33°
340
350
360
370
3S0
390
400
410
420
430
44°
45°
460
47°
7‘
7-
3^
50
• i
8. ^
8. 25
IO* 33
IO. 51
II. 10
II. 29
11. 47
12. 6
I 2. 25
1 2. 44
'3- 5
1 3. 22
82. 28
82 * IO
81. fl
34
81. r5
80. 58,
hIm i
80. 40
80. 2 2
^3
77* 54
77- 35
77. 16
^6. 57
76. 38
13. 42
14. 1
j6t 18
75- 59
14. 21 75. 39
14 40 1^5. 20
spatia fine incrementa proieClionum aqu «
i Suppdnimus proiefiionei dmnes mniem impetuinhahere > hec efis effi
eiufdem machina • ^ maxifMm proieCiionem ponimus part» 4000.
Spada .
GRAD.
Bleuat.
CotnpJe-
oien.
Spatia .‘
GRAD.
Eleuar.
Cotnple-
men.
51 0
530
15. 20;
rj. 4®
74. 40
74. 20
0 0
24 44
25. I 1
65. i6|
64* - 4 P j
530
i6» 0
74. 0
780
25. 38
64. 22
540
16» 21
73 - 39
790
26. 6
63. 54
550
16. 41
73 ' ‘9
800
26. 34
63. 26
5 < 5 o
17. 2
72. 58,
8 10
27. 3
62 . 57
570
17. 23
72- 37
820
27- 33
62. 27
580
17. 44
72. 16
830
28. 3
61. 57
590
18. 5
7 >" 55
840
28. 34
6i. 26
600
18. 2(5
7 '- 34
850
29. 6
60. 54
610
1 8» 4^
71.- 1 2
860
29. 39
60. 21
610
1 9. 1 0
70. 50
'870
30- 14“
59. 46
630
ip* 32
70. 26
880
30. 50
5P. 10
640
19. 54
<59. 6
890
gr. 27
)8.' 3 3
650
2 0» \6\
^p. 44 -
900
32. , 5
57 ' 55
660
20. 39
69. 2 1
I
910
32* 45
57 * i 5
670
2 1.2
68. 58
920
33 ' 28
56. 32
680 '
2 1. 25'
68. 35
930
34 - '3
5 5 -' 47
6go
2 I. 49
68. 21
940
35. 2
54 - 58
700
22. Ig
67. 47
950
35 - 54
54. 6
710
22. 37
67. 23
960
gd. 5 2
ttt
720
2 3. 2.
66 . 5 ^
970
37 - 58
52. 2
730 i
23. 27
33
980
39. i6
50. 44
740
66. 8
990
| 4 o. 57
49 * 3
750
24*
65. 42
» «aKMasmwMM
p ' !
1 OO0I45 . 00
45. 00,
..CT.f^^Sj»yoaMU «••5«
A ■ . ' i- ■-■. , ■ . ,v v-i
BxfUcdth pY^c edent h^T abitU , s ^ ^ -V
D V M fupponitur maxima proie(^io efle partium 40061
tunc iupponitur quarta ipfiuspars, hoc cft f^idiamei
ter circuli Propofitionis p.proiedorum eife l ooo^qui jaume^
rus fupponitur etiam pro finu toto in Tahula iihuutu* : S * ^
Quandoergo data erit futura amplitudo ^^partiu 2 1 2 0/qug ■
maiornon fitnumcro 4000J dabitur etiam 5 3o,ipfius db ~
quarta pars, hoc eft d e erit 5 3 0 . Ergo ex Tabulis finulim ha- ■ .
bebitur quantitas arcus a e gr. 32. cuius femiffis gr. i6.rerit ’
menfura anguli c de. Nempe eleiiatio quaefita, iuxta quam
flet propofita amplitudo d h partium 2/20. talium qualium -
aiaxima proiedio integra fit 4000.
Trdteis pro conflruendd T dhuld j ^ dd hec vf qmuis ' -
per folds Jinuum tdbulds probl.filuerepo^tt .
Dat^futurse Amplitudinis quartam partem fume . hanc in '
. tabula finuum quasre , arcumq. ipfi refpondentem bifariam fe-;
ca . Sic habebis eleuationemj quse amplitudinem qusefitam fa
cit .Sed fufius h^ec in fequentibus explicabimus .
rfidelk
Vfo della procedente Tauola #
S Vppomamo che il mafftmo tiro,cioe il tirofattd dl'eteU 4 &ii^
ne dei fe fio punto dellafquadra da vna colubrina fia pew
tf empto 40 0 0, pa^ geometrici , V ogUofare con la medejtma
vn tiro di manter a tale, che riefca per appunto longo pa[fi 2 s(f 9,
piglio la quarta parte di 1 $60 .la quale e spo. e guardo fu la ta--
uola,€vedo dirimpetto adeffo numero laeleuauone dadarfilt
detto gezz^o ejfer gradi 1 8 , e minuti s -ouero gradi j i . e minuti
SP^fuo complemento» E dico per le cofe dimoHrdte, chc il fudet-
topez^zo con 'vnadiquefie due eleuadoni tir er dia palla lontd-»
nopaffi 2 j(8o,fopra Vorizonte . ^e bene quelle eleuaT^oni ,le
quali pajf ano ii felio punto dellafquadra, nonfipongono per l* at
tiglierie , ma folamente per Ivfo de’ mortari , 0 trabocchi , 0 faU
tamartini . 1) euc peri auuertirfi che con quella prima eleua^i
ne la palla fard vnaftrdda bajfa , ma njeloc e ,
come la lineafegnata ^,econ impeto grande
orizontaie opportuno per sfondaremuraglie, A.
0 dare altro impulfo laterale . Ma con l’ altr a
eleuazionefard la firada b, la quale fard pi-
gra di moto orientale , macon ajfai impeto perpendicolare nei
fine , bportum per sfondarevolte , tetti , e far altrepajfate per--
pendicoUri ali’ orizonte \ ouero per gettarrobbe in vn certo de-
terminato fegno , come farebbero facchetti imb allati con corde^
pieni di zolfo alni tro , 0 farina ; ouero palle con iettere , ifr al-
tro dentro , In fomma l” vna , e l’ altr a eleuazione , che egualme
te fia diliante dal fefto punto porterd la palla nelloBeffo luogo ,
pero con la prima , e minor eleuazione caderd in terra ( come ef
fi dicono )Di ftrifeio > e con la fecpnda e maggiof eleuazione bat
tetd qua fi perpendicolare .
Sl che rarijjtme •volte, e for fi anco mai s^incontreri che ilmaf
fimo tiro d’vn artiglkria fia per appunto quefaffi 4009, come
parchefifupponga nel calcolo della Tauolanoflra, (graneo in
quelle dei Sig. Galileo aperio la detta Tauola potrebbe parere inu»
E e tile.
31 S
t ile . Ma noi rnofireremc che it mmero fuffoH(f di 4000 »fer cio
non ftrue ad al cuna machina particolaUiac.ctb f ojja feruir a tMt
te *vniuerfalmente . Bijogna dunque auuerttre che quel nume^
Yofufpoflo di 4000 . non e di pajjt , ne di canne , o braccia ^nedi
altre determinate mifure , ma Jcbtnedi pArtiafirattey tali quali
effe fi 'fiam , che pero potendo conuerttrfi in tutte le forti di mi-
furepffiihiii fanno la Tauola generale tanto per le colubrine ,
quanto per i mortario ballelire .B per dare 'vno efempio come el-
lajipoff^ addattare a tutte le fpez^ie deW artiglierie ^ eridurre
le parti aHratte in pajjt geometrici faremo cosi,,
lima fimo tiro di un C anno ne per efiperienz,afatta trouo ohe
e per efempio pajjt 2 30 o>e voglio con lo fi e fio fare vn ttro ilqua-
le fi a di pajjt Sd 0 .fac cio cosi . Seil majjtmo tiro 23 0 oi mi dd
Sdo . ttro que fit 9 , il numero 2000. majjtmo della T auola che mi
dard fi aceto l op er azio ne y e trouo '^74^ il qual numero c er cato
ne lia T auola firitroua fra 37 0 , e 3S0 . P ero adoprando agiudi-
Ziiola parte proportionale trouerajjt Idrco dellafua eleua^iome
douer efier e gradi II . in circa^ ouero 7 p.fuo complemento . E
cosi e certo che quella tale artiglieria -y la quale eleuata ( 7 ,pun
ti tiraua pajft 2300. eleuata gradt 1 1 . ouero 7^ . dei quadrante
tirerd pajjt 860, come defiderauamo *
P ere h e poi ad alcuno potrebbe parer dijjicile il trouar per efpe
fitnza il tiro majftmodell^artiglieria , mofireremo .
Vome da qualunque tiro fafto anco cafualmenteifipofifa
trouar il tiro m a fimo di vnpeffiod\artiglieria .
S lii vn pezzo dirizzalo CDiiforme
la lin c a a r,d el la^uaie fia l*'ejeua-
zione i^angolo b acy qualunque £ fk . Y
Si naifuri dettoangcJlo con lalqua-
dra , e trouili per efempio gr . 3 o • poi il
fpari Ikrtiglieria? e vada la palla finoal punto e li mifuri di«
iigentcmentelaji inea ab , che lia perelempio 2 400. palli Geo
mmki » Dirochedatequelledu€cole,cioelaekuazione,.e
ia luo-
^ r ^
la lunghezz^ic^el tiro cafuale /#^^ . viene ad effer data ancol^
linea ^ la qii^le e la meta cjd maflimo tiro, conforme fi e di-
moftrato nellVltimo Corollario della Propofizione 9. de pro
ietti. '
Effendo dato fangolo della eleuazione gr. 30. fara
ilmangoiorettang^olo ^^cdatoinfpezie/eperche e data la
ab in paUl » fara data la d e . quarta patte di effa , cioe 6.0 o. paf-
fi. Opereremodunquecosipertrouar laquantita di ad, per
via di caleolo, e de i feni#
Facciafi . Come il feno retto ^6602, delPangolo ace gr.
^o.cioedelfupplemento della eleuazione# allato ae^ che h
600. CosHIfenoiotale l aooco... ad vn quarto numero 693.
E cosi la hipotenufa a c fara paffi 693. Ma per che anco il tria-
gote rettangolo aede dato in fpezie , ficciafi di nuouo . Co-
me il feno retto j 0000. dell angolo ad c, il quale e eguale al-
Eangolo dato della eleUazione e a c , alia retta 4^ che fi troua
693. paffi:.. cosi il feno totale ad vn quarto numero 1 3 8 d. & co
sila retta cereata^W fara palTi 138(5. Maperche ad effendoja
ImeadelllmpetO j o fuMiinitaeeguak metd dei maflimo
tiro , fenoi raddoppieremo 1 3 8d# veirra a farfi il numero di
2772. pafli , che tanta fara la lunghezza dei maflimo tiro , che
fi cercaua di qitella machina da quale eleuata gn 30. fi trouo
tirar pafli 2400* *
Ma con molto maggior breuita , e con vn calcolo folo po-
tremo operare cosi . Pongafi che ilfeno totale fia c/i faran-
no /a , d>[/d le tangenti vrta d elPangolo della eleuazione, PaU
tra dei fuo fupplemento . Facciafi dunque . - Come il feno to-^
tale , alia c/che e doo. cosi 2 30940. ( che e Ia fomma d’atn-
bidue le fudette Tangenti ) ad vn quarto numero 1 3 8 ( 5 . e cosi
la retta ad C\ trouera come prima i i 8 d.pasfi . la quale raddop
piata dara come fopra Ia mifura dei tiro femiretto , o maflimo »
come vogliam chiamarlo .
j>er Corollario (i pm auuemr e che que Bo e il modo diargome^
tarcyda qualfiuoglia tiro d^nartiglieriayquanto la medejima
fia fer tirareaWinsufer linea ferfendkulare ,* che fara quanto
E e s ll^
220
la linea a d . ritrouata fer via dei calcolo .
Laflejsa linea ad ciinfegna da quanta altes^^^ahifognereh^
h € lafciar cadere vna falla d* artiglieria , accio arriuajle in terra
con il medejtmo im^^eto-^ che conferifce la Bejla artiglieria aflra~
endo perofemp^re dahi impedimento che puo apportare la corpole-
x>a deW arta ^ che fappiamo effer fenftbile per vanare le propor-
x>ioni dimojlrate de’ tiri^ ma molto piu per impedire queHo effet*
to , ^
Come cojelefoletaudle defenipofftamofaperela mafftma altestt^
&a alia quate e peruenuta per aria la palla di vn tiro. Data
pero l’ eleud^ione ^ elonghesdi^adiejfotiro ,
N Ell^iftelTa precedente figura, fia dato Tangalo dclla ele«-
uazione c ab. lunghezza dei tiro a b. Sicerca Fal-
tezza malIima,aHa quale e peruenuta la palla per aria: E queiia
fara ia linea f<r,Pre(iafi pure di nuouo^r 5 oo.pafli,doe la quar
ta parte di tutta laiunghezza ab, e poiikcciafi . Come il leno
8(5do2.deirangolo ^ee fupplemento della eleuazione , alia
a e che e 600, pasfi , cosi 5 0 000* feno della eleuazione e a e
ad vn quarto numero, e troueremo 3 46.pairi per mifura delPal
tezza c cycioh della maggiore altejiza aUa quale fia peruenuta
la palla per aria ,
Deu e dUUertirfi^ che non fempre fi adoprano le artigliefie di
manter a tale che lap alia vada 4 terminat e nelmedefimo piano
,$rizontale j dal quale tra partita^ fi come fuppongom le^MO»
ie dilGalileo, e nofire . Pero dmendofi tirare fopra vnafpiaggia
dlvn coMe deciiui , mero aceiiue \parimente douendo fi tirare
dalla fcmmita dfvna Rocca fui pi ano f&t topo flo oriz>ontale , fin
hora non h abbi amo fcied^ alc una i ntomo alia mifura di que ft i
tiri , Fotrebhe cale olar fila tauola , maciafcuno s^accorgerache
douendofiquelld comporreperognigrado d’ eleuazione dei pe^
ko^epoiper ogni ^ado d’inclmazione della fpiaggia , e per ogni
papd^dteziP^ della Rocca^ iimoltipiko mderebbejquafimmK
\
22 t
jimto . Mo firertmo pero per regoU gener dU il medo di cdlcoldrc
ifudetti tiri quando occorrerd ,
iirpj^ione aif . fail
V na tale artiglieria con la direz^zione a^. diX
S
A . ^
E
.x>
tiro ac d. fopra il piano horizontale ^ . Ma io vo
glio tirare fopra ii piano a c inclinato , e cerco qua
to fara Ia lunghezza d e dei detto tiro fopra quefto
piano • Si tirino h d per il punto d^^hf per il pun
£0 c . perpendicolari alPorizonte j e ficongiunga
fe . quale per le cofe moilrate^ parallela alia ab.
MifurMi-conqualcheilrumentoPangolo da e^ cioe laele-
uazione deila fpiaggia,e dalla Tauola aelie amplitudini fi tro-
ui la lunghezza dei tiro orizontale ad. Dopo quefto facciafi.
Come tangente deirangolo delFeieuazione delPArtiglie
ria ,alia b e, che eia diiferenza delle tangenti de duoi angoli
dab, dae noli, effendo vntl la eleuazione delFartigiieda j
1’altro la eleuazione della fpiaggia fopra Torizonte ; co$l da
nota in pafli, ad vnquarto numero; e fitrouera lare tta/-*i in
pafli^ Facciafi poi di nuoiio . Come il/eno tota le, a quel xro-
liato quarto -numero vche e la mifura di af ln paffi , cosi a^c fe-
caote deirangoio/ii ad vn quarto , e cosi aueremo noto il
numero dei pafli, i quali mifureranno la linea d r, cioe la iun-
ghczza dei tiro che fara quella tale artiglieria fopra ilpiano a e
quando ii lira airinsu ^ ' ^
Ma quando dalpunto ^bifognafle tlrare-giu per
vna fpiaggia defecndente come ab. Cosi trouere-
moiaquantitadi ah, cioedoue vada a ferire lapal
la . Sia data la direzzione a e, cio^ fia dato fango
Io deiia eleuazione dei pezzo., c a fia daio anco-
^^ra Pangolo della i nclinazione della ipiaggia c: a b ,
Immaginiamoci i’ orizonte a c * e tiriamo perpen-
dicolari ad e-flo le b & kdf^ e congiunghiamo c h .la quale
fara parallela alia a e . Hora fu la tauola delle amplitudini tro-
lieremo quanti pi^^a ^ is^i vma noi cerchian^ quanto fia
ikro laGeia€U^afcoio cosi k Come^ tangente 4eli-angolo
\ Uella
V-
ZZZ
ddhh elem^me ddl^migUcrk , alia dk ta&g^iite dellaincli-
nazionedelpianojCosi ad notaiiipaflij,a^d\?iiq^^
ro . Et auerenoo la mifuradi dc in paffi f e pe^o anco tutta Ia,#
ac faranotainpaffi. Facciafidunqjye dinuouo. Come ac
feno totale , alla a c nota in pairi:, cosi iecanre delFangoIo
ca b ad vn quarto numero-; e fara h mifura cercata delia retta
a b in pafli ; cioe la lunghezi^a dei droftiia fpiaggia defcen-
dente ab, ^
Occorre ancora fpejfe volte di ftrare. inpam^erfendicolari
aW oriz^onte, comeinmurdglie diCittdiio dt Torrido d^ altro ,
Pero anc o in quefto cafo foggimgeremo il cale olo pertromjtllaU
. a di qmipmto doue nelfudetto muro f eri ra ia paiU . ,
Siala dkezzione delpezzoialinea \a% C: el^orizote ac^^
il muro della torre d e perpendicolare all’or izonte e da la dk
flanza ad notainpalli. Immaginiamoci chelapalia paffiii-
bera fenza battere ncl muro, e vadaacoipire nelFo
rizontein c , Ia Tauola delle amplitudini da iaquaxi
titadella /ir. Manoicerchiamoi ytezzaV^- . Ti-
rifi c b perpendicolare alForizonte, & '^paralle-
la ad ^^,epoicongiungafi///,laqualepafreraper
Ia comun fczzione della parabola , e dei muro , co-
me fi puoraccorredallecofegiamodrate . Facciafihora,co-
ea lunghezzadcltiro orizontale,alla r ^difterenza trale
linee ac yad.^ii note ^ Cosi la b e tangente delFangolo del-
la eleuazione dell'artiglieriaa: alla ejf tangente delFan goio/4
£ Facciafi di nuouo . Come il feno totale , alla a d nota in
- pasfi , cosi la gia trouata tagente delFangolo e, ad vn quar-
to numero ; il quale fara la cercata mifura della retta de in paf
li, etroueremo ilpunto r^ nel quale anderebb e a ferire quel
tiro . Lo ftcfso caicGlo fi puo anco ridurre quando il muro de^
non fia perpendicolare,, ma a fcarpa,, come quelli delle moder
ne fortezze; ma dubitando di apportar piiitedio , che vtile la-»
fcierb Ia cura di cio a quel Geometra che fe ne curera .
Le afnflittidini detle parahoU;delle qualitrattailQalileOy
amc nohjappongono cheil tiro nontermirtifuiptamdelUcam
A
B
\K
A
tzs
fAgnA^ main quelfidm honzontdleyChe p 4 j^ 4 fer U hoccA dei
fez>z,o, ^uelio non far a vero, f e non quando l* arti^ieridfi
mettejfe con le ruote in vna fofsa ^ fi ch eia bocca venifse fer af~
fdnto nel Uuellodella campagna: Ma fer che cto non fi cofluma^
€fer c hei piri vanno a terminare neW eriz^ont e , che toccal’ infi-
mo funto delleruoteyCercheremo Geometric ament e quanto fojfit
frolungarfivn tiro Ituell aio 3 0 vogUam dire orimntale^ fer
gione deWaltezTfidella bocca dei fez^ico fofra il fiano de Ha cam
fagna . Pare che ilfiemidiametro delle ruote , e la geoJfez,i{a dei
metallo cdgionino che la bocca dejiarti^ierie ordinarie venga
altafiofrail fito orizontale intorno a
due braccia , Suffongafi dunque in
a la bocca eH vna colubrina , e fi a Hho
rizonte b c . altezza della bocca fia
id retta a b fuffofta 2 . braccia^ efi la
farahola a c d fia il tiro liueUatOi fi
tere ala retta bc. Sia il tiro fiemi-
rettOt 0 mdfitmo dellamedefimaarti-
glitria fia farahola aef, efongafi
ohe a f fia so 0 0 pajji Geometrici, cio} ijooa. braccia Fioren-
tine . F ac ciafi il femicircolo fio lito della Profofizione p. a h i.
frodotta ai egualealla zi yfi affUchi Id . Perlecofe rnofird"
tefiara lar etta a i imfeto della far ahola a e f, ouero della a c d
{ferehe fiono della mede simam ac hiyia ) feron 1 fiard ia quarta
farte dei lato retto della farabola a c d . adunque i d fiard dof-
fia di \2i\ma anche fi mofrogid doffia difii, ferhfiem e-
guali i d, ^ a fi (fi vengomadejfierdate tre linee, cioel ivrsoo
I d i j-o 0 0 , ^ a b 2 ' l)Mnquefe:npifar€mofer laxegola del tre,
iQome la retia 1 a a b not e , cosi il quadrato della retta 1 d
adviealtro nu, troueremo d 000 0 il quale fiard il quad, della r et
ta h c, e cauatane laradice quadra , troueremo che la retta bc
fiard 2 4s • braccia . Concludafi dunque che que lia machina , Ia
quale fa ilmajjimo pirodi isoo 0 . bruccia fie kaue^ed ia bocca fio l
leuatadue hracciafofralfirizonte ^ fiard iltko tiueUato , cioc
con niente d^eleuqzidne, iungo in ogni modo braccia 24S,
X24
^anto foipoJpifYolungdYjtqudlunque altYo tho^mn orizontd-*
Icy md t nclindto tn fu^oucro in giUyfeY cdgime deW ait delle
Yuote^ 0d’vn baBione.o d*vnd Roccd, o di qudlunque dltrajito^
eheldfollieui fopYd ilpidno horizontdle ^ fi c ere hera in que fio
modo,
JE certo che douendofi tirare dddd cimd d^vndRocca ^ onero
di *vn cdBcUo pofio in cimd d*vn fidfio ^o da qualanque luogo aL
to fu l piano orizontale delta campagna fott&po fla , i tiri riufei^
Ydnno dffai piu lunghi che i notatifopra la tauola delle amplitu^
dtni I e quefid differ enzdfard mdggior e tdnto piu quanto piu aU
tafardldfituazionedeWartigUeridfopra quelpiano orizontale
nel quale deuono ferir It palle y e terminare i tiri •
Sia l*alr6:iza deila Rocca,o d’ai
tro luogo gf, e debbafi dal puiato
y.rirare fopra ilpiano deila cam-
pagna Immaginiamoci l’o-
rizonte/<^, e fatro il tiro feb e con
qualunque eleuazione, fi eercala
mifiira di ^ ^ .
Dalla Tauola delle amplitudini fi trouerala quantitd di ah
c dalla Tauola delle altezze fi trouera h, ac * altezza della pa-
rabola . La pfatica poi dei ealcolo fi potra fare in piu modi .
Quadretur numerus ab; quadratufqrdimdatter per ac, S*
quotus erit latus reSiumparaboU feb . Ducatur deinde quo~<
tus iam diBus fin cd,d!^ produBi radix quadrata dabit d e .
Ouero potr emp operare cosi .
Ducantur fimut numeri d c , c a , & produBi radix quadra^
ta erit medio loco proportionalis inter d c , c a . Fiat vt cz, ad
pradiBam radicem , ita ab ad alium numerum . ^ quartus nu
merus erit iterum de.
Ouero finalmente aquefio niodo,
Diat vt numerus c a * altitudo parabol^ ex tabula . Adnu^
merum c d altitud, parabola cb" arcis fimuf Ita a b .femiam-
plitudo parabola ex T abula , Ad alium quartum numerum .
Sumatur deinde numerus medio loco proportionalis interdia
Bum
qUMtum numerum ^ ^ inter ab, quUmedius ille pnforthna^
lis exhibebit i ff Hin d e • Bt eum d g aquulis ifji a b n^ta fit ^
erit totd g e nota .
Ma potrebbe foggiuiigere alcuno chc dalla fomraita
fpeflb forfi occorrera tirarc cori Tartiglieria inchinaca all*ingiii
cheaMnsUjpero farebbe neceflfariofapere p^rregoia Geo-
metrica ia lunghezza de’tiri, ilche iiauera inqueilo modo,
Siaiitirodafarfiairingiuilfegnato/’^ conqualuaque ango-
10 d'inclinazione fotto Torizonte, ficerca gh » fingadconTim
maginazionecheiltiro abia da farfifopra l’orizonte conia»,
medeiimainclinazioneperPappunto, &per le regole prece-
denti fi troui la quantita Ai de come fopra, ouero di dh^ daHa
quale fe ieueremo la gla nota/’^ , ouero dg rimarra nota la-«
quantita cercata g ^ . '
Ma fe data la eleuazione gr. 40. dei _B
tiro e labafc i6oo.paiIinoi
voleffimo fapere tutte le diuerfe altez-
ze dei tranfito della palla fopra qualun
que punto dcila linea a c . Faremo cosk Diuifa per mezzo k
ac alzata d b . quefla fara Paltezza fuprema , e fi trouer a fu
la Tauola delle altezze , e delle amplitudini, operando in que-
fto modo . Nella tauola delle amplitudini dirimpetto alii gra-
di 40. di eleuazione trouo la linea ad effere parti 9848.ina^
neila Tauola delle altezze trouo ia linea b d eflere parti 4132.
Poi per larcgola dei tre, dico. Sq ad 9848.midapafli 800.
conforme alia foppofizione ; db cheeparti 41 3 2. quanti pal-
£ dara ? e ritrouo che la retta bd e paffi 33^. Sia ora propo-
ftoqualunque punto e fopra di cui fi vuole faper Paltezza dei
tranfito della palla, cioe la linea e h . Suppongafi che la retta
ae fia r6oo,&ia ec 6oo.e facciafidinuouolaregoladeltrc
in quefto modo * Se il numero quadrato di ad^che e ^40000.
Mi da il numero rettangolo delle rette ae,ec.che e 600000,
11 numero Mche fu trouato 3 3 d.che mi dara?E ritroiio s 1 5paf
fi adunque Taltezza della parabola fopra il punto ^ fu pafli 3 1 5,
Chc e quello che fi cercaua .
Ff Ta^
i2^
Bajlera au€Y* dccenndto queflopoco fer tl calcolo di dic une
v arieta le quali poffono occorrere intorno a. queBi tiri . Poteud-
no forji altri cajijimili d quelli, e particoldrmente i conuerfi le^
ro , md ddlldinteUigenza di queBt fi pofifbnofacilmente dedurre
que Ili , e finge gno di qualunque Geometra applicando ui troue-
ra minor dijp^oltd nellofciorre molti di quefli prohlemi da fe me
defimo , che ml p affar e le lunghezze , (fi le ofcutita delle noBre
efplicdz^ioni , Ver)) pajfier emo allafabbricd della fquadra^ laqud*
le pare ver ament e appropriata , anziifdtta dalla natura d poBd
per mifurar fcientificamente ,fi Geometricamente i tiri de pro *
ietti .
DBLLA SCABRA,
R Iducafi ora in pratica , e fciolgafi per mezzo di vno ftru-
mento alcune delle gia dimoftratepropofizioni. Fabri-
cheremo vnafquadra milirare , la quale con ceriezza inuaria-
bile infegni (almeno alii Filofofi Geometri, fe non a^ Bombar-
dieri pratici} quanta eleuazione debba darfi a qualfiuoglia-.
machina , accio la lunghezzadel tiro riefca dellapropofta mi-
ftira . Sciorremo anco per mczzo d efla tutti i Problemi , che^
foprail tirar delle artiglierie fipoflino formarei quali gia furo-
no promefli dal T artaglia , e poi ridotti in T auole dal ‘Galileo,
c6 alcun^^altro dipiu.Si accorfe nnduftria militare,ehe IVfo di
vna macliinatanto nobile, e di tanta confeguenEa, q[uanto e
rartiglieria , farebbe ato troppo ritretto, fi dipoco benefi-
cio, fe quella nd fi fuflfe potuta adoperare fe non dentro a quei-
lapocadirfatizaycifellatira dipunto inbianco, o vogliarn di-
re di mirafehzadargli conia fquadra ainto yantaggiofo di al-
cuna ereuazione i J u pero pen fato come lipoteJOfe fare , accio
con quei medefimo pezzo, ii quale per fe ftelfo non tiraua pid
Ac onero a 5 o. pafii Geometrici fi potelfe tirarne e 400^
^nnco^oci.cpiu , epiudinoallaiunghezza defmafiimo tiro,
Aepofla farfi da qud t4epezzO:.Mnnenzione& quefta i
jaain-
minciarono ad aiutare il pezzo con Telciiazione i cioe non lo
dirizzauano a dirittura verfo l*oggetto in che doueua colpire *
ma tenendolo nello ftefTo verticale dell bggetto, Io eleuauano
fopraquella linea retta, la quale vadal pezzo airoggettore
i:i 6 faceuano ora piu*. & ora meno , conforme che la sforzatu-
ra dei tiro doueuaeffere maggiore, o minore . Artifizio che fi-
no dal principio def mondo e flato noto anco a i putti inefper-
ti. Vediamochedouenda efficonvna palla di neue, od’aI-
tro, colpire in vn fegno viciniffimo, la fcagliano a dirittura ver
fo elTo fegnoi madouendo poi giuocare a chitira piu fontano^
ouero fare a faffi tra di loro, nontirano gia orizontalmente»
ne a dirittura verfo i loro contrarij,ma volgendo i colpiamez-
z^aria , fenza auer fatto altra fpeculazione , tirano tutti all*ele-
uazione dei quinto , & anco dei fello punto della fquadra mi-
litarealoroignota. Itombardieripoiebberocol progreflb
dei tempo vno flrumento, ilquale facilmente mifura quefte ele
' uazioni . '
Fu inuentata da Niccolo Tartaglia Brefciano Matematico
infigne vna fquadra con legambe difuguali congiunta con il
quadrante, la quale gia pifit di cento anni d fempre flata in yfo »
& e ancora iVnjca regolatricede’Bombardieri, nonfoloper
adoprarl*artiglieria, &alzarfa inquei tiri, che effichiamano
di volata, ma anco perii uellarla negli orizontali, Diuifeil
Tartaglia quel quadrante in i2, partieguali, cominciandola
numerazione di effe dalla gamba minore ; fuddiuife anco cia-
fcuna di effe in altre 1 2. parti eguali j nominando quelleprime
Punti , e quefle feconde Minuti della fquadra . Ponghiamo la
figura della fquadra, c moflriamo come efsa mifuri Peleuazio-
ne dei pezzo.
Sia t anima delCannone a b ^fermo
in qualche ^oJitHYa^ Mettafi in hocca
dUffbla maggior gamba ^dellaf quadra
c a .y? che fi addattiful fondamente di
detta anima , e cafchi il piombc in d Joi
dicQ che Tangoh e c d? cioe L‘ ano e d, e la mifura della eleua*
Ff 2
2ll
ziOf^edelpe^zo . Tkifi vnd orhontd e ^i.fardmo gl^dngdi
intorno algunto g , retti , ma anco rangolo a c f . ^ retto , adun--
que gl^dngoli c af, d' f c^ fono eguali per l'S. delfefto .Ouero
fost . T iri fi per c orizo male hi. Se da gli angoli retti h c d,
a c e , /^ leuerd il comme a c d , reftera V angolo e c d della [qua-
dra eguale alV augolo deW artiglieriafotto l^orizome h i, ofopra
l* oriz>ome a f , che e lo Hejfio per ejfere alterni .
' Coi mezzo poi di quefta fquadra fi e fatta dalli Bombardie-
ri con lunghe ofieruazioni vnapratica tale, ch^efii fanno quan-
ti punti debba eleuarfi vcrbigrazia vna Colubrina da 40.
per colpire in vn fegno iontano per efempio pafli 700. geome-
trici , o in qualunque altra diftanza .
Ma vaglia ilA^ero , le olTeruazioni fono tanto fallaci ; fono
Cosipochi i Bombardieri che le abbiano fatte, eleabbiano
fatte efquifitamente, che IVfo delBartiglieria , leuatone ii tiro
di punto in biailco , non puo auere fe non pochiffimo di certez-
za . Volendofi acquiftare qualche fcienza ficura intorno alia
Iquadra ordinaria , farebbe neceflario di fare Pcfperienze non
folo con tuttele forti di palle, e<;on tutte ledifferenzedipoL
uere , ma in tutte le fpezie de i pezzi, & anco in tutti quelli,che
efTendo della medefima fpezie,fono differenti di granciczza, e
poi a tutti i gradi delle eleuazioni pofiibili . Moltiplico , che
quafi anderebbe in infinito , E notiamo , che conuerrebbe fa-
re qu efte efperienze tutte ad vna ad vna ; poiche no e vero che
per via diproporzioni fi poflTa da tre, o quatcro tiri di vn Can-
none , fatti a diuerfa eleuazione , argoment^re alcun^altro , ne
pur dello fteflb Cannone caricato con la ftefsa poluere,e palla •
Che quefto fiacosi, fidimoftra per mezzo delle Tauolepo-
fic dal Sig. Galileo , e da noi . Per efempio . Quel Cannone
che elcuacoal fello punto tirapaffi 400 o. eleuato advn punto
douerebbetirarla fella parte, &a duepunti ia terza, &a'tre
pumila meta. Malacofapaffamokodiuerfamente. Perche
eleuato ad vn punto, tira 1 0 3 2. in cambio di 666 .cht e ia fella
parte dei fudettomaffimo tiro 4000. AI fecondo punto poi
(dt offeruifi che con quefta eleuazione l’ artiglierie tira^
nofem-
no femprela meta delfnafllmo tiro)nel cafo noftro tirera 2000
incambio di 1 3 3 3 . che e la terza parte . Ai terzo punto tife-
ra 2824. in cambio di 2 000. che eia meta dei mailimo tiro
AI quarto punto tirera 34^4. in cambio 6x2666» PA quinto ti-
rera 3 8 do. in cambio di 23 3 3, che fono cinque fefti di quel
maffimo. Vedefi dunque come accrefcendo egualmente le
eleuazioni dei pezzo , cioe tirando prima ad vn punto folo,poi
a due , & a cre, € quattro &c* fino al fello, gi’accrcfcimenti del-
lalunghezzadeitiri non crefcono egualmente 9 cioe con la
medefima proporzione con la quale crefcono le eleuazioni.-
Ma mentre ii primo punto tira 1 05 2* il fec ondo accrefce fopra
efso, 9^8. Ii ter^o accrefce 824; il quarto ^40. Ii quinto 3i?d.
Ilfeflo 140. Per cauar dunque qualche rcgola dalle efperien-
, era nccefsario il farle efattamente , a tutti i gradi deila ele-
uasionc , in tutte le forti de i pe^i^:.i , con tutte le varieta dellc
polueri, e lediuerfe materie ddle palle , e Ford anco direj che
era necefsario che lefacefseogniBombardiere dafeliefso .
Cofe quali impoflibili a ridurjS fotto rcgole > e cauarne certe;2i-
za alcuna, fe la Teorica, e la Geometria non ce ne daua mani-
fefla Icien^zsa mediante quellVnica propoli^ione dei Galileo ,
nella quale primo di tutti egli ha auuertito, & infegnato a noi ,
che i proietticamminano tutti per vna linea parabolica. Su
quella fuppolizione fonderemo lo hrumento promefso.-fe poi
per Pimpcdimcnto deimezzo le parabole yenghino troppo
deformate , o per molti altri accidenti i tiri liefcono incoflan-
tislimijciballerd auerfodisfatto indubitata mente allafcuola
de Matematici , fe non a quella de Bombardieri .
Noi auanti di |iorrelafabbricadclla iioBra fqtiadra , quale
non colille in altro che nel defcriucre vn folo femicircolo , di-
uideremo lafquadra ordinaria in ponti difugiiali, 61 mamera
tale che mifurino non le eleuazioni dei pezzo , ma le fuiighez-
zede i tiri, che equello di cheiVfo nollro ha bifogno . '‘Cosi
aueremo cercezza che Partigiieria , fe fara alzata kd v n punto
diefsafquadra, tirera alia lungbezza dVn’ta!efpaz!o, qua-
lunqueii fia lalzata pdi a due pumi raddoppiera precilaitiente
2^0
tiro ; fe a trc punti , tireritrc di quci fpa 2 i/,fe a quattro c mez-
20, tirera quattro e me22o : fe a dnque &; vn quarto, tirera cin-
que & vn quarto ; e cosi fino al fefto punto crekeranno fetn-
prenelloftefso modo, e conia ftefsa proporzione i punti dei
lafquadra nello rtrumento, e glifpazij dei tiri nella campa-
gna, e dalfefto fino alduodecirnopunto anderanna nella fi ef
ia manieradecrefcendo * Lacofiruzione , e dimoftrazione e
Geometrica, cauandofi dalla propofizione:da noi pofta al nu-
mero XI. de proietti , la quale dalla data amplitudine infegna
tro'«arl’eleiia2ione# E ferue comunemente per qualfiuoglia
forte d’artigiieria, edi mortari, per qualunque fpezie di palla,,
odipoluere.'
le gdmbe ,
ddUfquadrA ab la
maggiore, ^ a c Id
minore :foifatto ce
iro in a fdcciaji it
quadrante cAt .fi
pra it quale Jt hanno
a notare i pdnti di-
fugualiyd" intorno at
diametro a c ./aOcid
Ji ilf ^,mic ircolo a f c
i tirata ld£o perpe-
dic olar e ad a b, f*
gente alfemicircoto
diuidafi ag in fei
parti vgudli per aue
fe i fei punti della
fquadra^epoi ciafiu
na parte in 12. per
au er e i minuti ( qua
do pero la grande^
dello ftromentofark e ap ac e di qHeflafeeonda diuifione.) Ho-
tafiavna dede/ei parti la gh., Ahifi lahmi *parallelaa gf.
la qua-
531
$d qmh ffghi Ufmicircolo ne i funu m , i . Tirifi poi dal cen-
tro a la Y<ett4^ f d? & il funto d far a il feBo della fqaadra . Ti-
rifila ai X^^it funto XJardilquinto dellafquadrai tirifila a
m ^/7 pumo n >f4rdU fettimo , t cosi di tutti gli altri . Au-
uertafi perochefoperaT^omfard pih giuft a, f e dopo auer troua-
1 0 i puntt former emo con ia trafportaz»ione 'd^ejft il
nono , decimo^ ^ vndecimo . I mezzi punti , i quarti y dt* i mi-
nuti fi trouer anno nello flefifb modoy coldimdere in me ^9 , o in
^uattro partiy ouero in do dici ciafcuna de Ile porzioni della linea
a g . con alzar leperpendicolari dalli punti dede diuifioni i fe-
gh er anno dette perpendicolari il femicircolo y deperi punti del-
fi tir€r4nno i fiemidiamietri nel quadrante , che quefii
fegheranno il quadrAnte ne ipunti defiderati yde' me\zi puntiy
de^ quarti yO minuti.
Hora hnanifeftoper la Propofizione JX. noRra, chefe
la linea deiia direzione, 'o vogliam dire della elcuazioiie dei
pezzo fara a o , puero ap j la amplitudine e lunghezza dei tiro
lara come la quadrupla di/’ o y e fe la direzione £ira a my ouero
An . il liro fara come la quadrupla di rm\ e quando laeieua-
zione fude fecondo la linea afd y il tiro fara come la quadru-
pla di , HalellmQ foyrmyqf. per la codruzione nodra
c€guairaente ii cccedqdo j e pero anco le loro quadruple , oucr
iroitiri fopradetti ^ualmente ii eccederanno pvnPaltro ,
yfo dellapredetta diuifionCyfatt a ne^llafquadr a ordinaria .
S laci propofta qualunque artiglieria , o mortaro , e con eOa
facciafi vnafola efperienza i cioe fia clcuata a qualunque
punto , come percfempioal quinto . Sparifi, e fi miluri la lun-
ghezza dei tiro, cjxpuili,yerJjigrazia5 effere 2 ooo,parti . fatto
queftopofliamo fapere quanto tirera la medcfima artiglieria
caricat^^ nello fteffo modo , dceleuata a qudfiuoglia punto > o
minuto, che fara facile per laregola dei tre , effendo in queflo
frumento tantoipiintiquantolalunghezza de i tin proprzio
^ali.cJLiapratieaequefta# yoglioiapere quanto tira jl iedp
punfo . F6 cosi ; fe 5 . punti diedcro 2 000 pafii quanto daran-
no 6 , punti ? e trouo 2400. pafTi . Dico dunque cfae qudla ar-
tiglieria al fefto punto,cioe col maffimo tiro , tirera due mila c
quattrocento di queile parti delie quall al5.punto ne tiraua
iooo, ■■
Auuertafi pero che iti cambio di fare quefta operatione co
i punti 7* 8. 9. 1 o. / 1 . & 1 2. fi fa con i loro complementi, i qua
iifono 5.4. 3.2. 1. &o.
Ma fe ci fuffe comandato f & importa molto piu ) che noi e-
leuaffimo il fudetto pezzo in tal modo , che la liingiiezza dei ti-
ro douefse riufcire per efempio padi 1 joo.opereremp cosi. Se
2 000. paflt fuiono flitti da 5 .punti, o per dir meglio da So. mi-
nuti di fquadra ,1300, paffi da quanti minuti fi faranno ecco
Poperazione 2.000. do. 1300. ? ^9. E troueremo che per fa>
re ii tiro di lunghezza di paffi 1300. bifognerebbe dare
alPartiglieria i^eieuazione di minuti trentanoue di fquadra ,
ouero di punti tre Sc vn quarto .
Modo ferfabhricdre UfquadrA mftrd ,
M a fe noi vokdlmo formare vno flr umento , ilquale n 5
folomifurafsela lunghezza de i tirifatci adiuerfe ele-
uazioni, tna anco Paltezza deila parabola , la durazionc, o tem
po dei viaggio , Ia fublimita , e Paltre cofe dimoflrate nel pre-
cedente libro de proictti ; tutro fi fara coi folo, e femplice femi-
circolo della propbfizione p.Ma venghiamo alia coftruzione .
Preadafi ^
Ia lamina ret E
tangola ^ ^
^d . di otto-
ne, od'altra
foda materia
la quale hab
bia Ia gam-
ba lungadapotcrHietterfiinboccadclpczzo. Facciafifo
. ^ pmil
friiyial^etrp 46 vnofcmfcircplo
Ip deiiapropofizioncp. dcproietd j & in^ pongafi il filo coti
11 pioinbo,e diuidafi il femicircolo dfb in 90 . parti eguali,chc
iaranrip ii 90, gradi dei quadrante; oucro in 1 44 parti eguali,
cte farannoipuntij C minuti eguali della fquadra ordinaria.
Moftriamo ora Geomctricamete come que fquadra fiaatt*
a mifurare con fomma fimplicita le lunghezze , Paltczze de i ti-
ri, iitempo dellc durazioni^ le fublimica dellc parabole t C
le ekuazioni de*pezzi . E poi porremo la diuifionc dclle linee
in cfsa,fenzaauerbifogno diTauoIaalcima per operar detta
PoiigafiyCtimenellaJegUf
detta c a b c d . in bocca di
vn J^exze e a . qualunquefi
cafchlitfiornbo sulfa
M f delfemicircolo a £b di
uifiin pe. farti eguali* £
certo frimier amet e, chel^Of
cp b f mifitra t eleua^ionc
kelfezto e z. fo pr a l^ori&pn-
te . impero chehauendd mi
fpuM dmifone dei femicir»
colo in p 0 , parti fplamente
valutato Qgni duegradiper
/olo ^ abbiamo fam che .
tarco^fjiami/uradel^^ ^
3 ^tjj^keUa eleuapione dei feid{p fopra tori^nteiqtta^
U erizonte/arafempre la linea z f . JOico dipiu , chefe
^rtmoihe lalme:q zh, diametro dei femicircolo pa tmfeti
della pYopop a Wtigferia ^ ouero la meta dei majjtmo tiro i ia Ip
mdt f/^f^pdicplare nl diametrOi /kra la quarta parte della
"^9 langhe^adeltiroi la b b ./^ra l*alte^zafiipre^
wta della parabola \l4 z h y/ardlajfkilmita 1 4^ b f far a tltem^
f9 0 duraziom deltm^
Che
p^em .; 0 . de proiehii dlefuk 'Mrdtjjt,) fr^lmghlfi
'ne a ddlladirf£iM'k ici 'fB 1 ii^
defMtdtHeme^^d^fbi cdM^tfnwd^rid^dtk W^f0t4ifM
Btn^rc\£dch€fi^e^ilk
^eikhofirdppfbfi4'4rW^er^fj^'i£ti^UddfdtMmetro'hJ
'iinfi cdPpei^ervil grdn^tmMfcdU ^]!\^¥df^tla B i
^iinqiiefmto’ W oHzbfftMe iiti\ Binar^ftbvp^ ^
'ditata / rof d fizione p . de frouttu dhe la linta vdxfard ta quar*
dkfart e reale d ella luwghezza dcltird: furimente che d mfark
dal tezza nonfnta , tna re ale d^ejjb tiro ; e cosf daltre mifure ttel
f mnircolo b i 1 far amo tutte vere 'i e re ali . Bota Mtif che il
tri angelo b b f, ^ fmile altrtangolo hvesiyfer legere dmbiduete^
t angeli , e fer auer due angoli allacma b. lAdm^teenHUtne^
defme froforzioni faranno tradi loro tutU le mifure fkcoUy 0
fint € a ella J quadra a c , netle quali profor^omfom tutte le mi-*
furevtre nelVmmaginato •> e vajfofemeircolq 'btie ^Cfbe, /k
linee a b , b f, f h ^ h b , auerannofrUeHiddd 'ine^
defme che hanno reffettiuamente^fe Ib, bi, i bi >tn b ffei^
quanto ali* argomentar nelle profor ^Uidfpkemo fen^ klcum
errore feruirci honmeno delle fntefuldfquddta , ehe delle vite
immaginate neld ampiez&a deitariad
Reda hora, che ponghiamo come quefladottrina, che fin
qui e Rata mera /pcculazione, poffa ridurfi in pratlca maiiqui-
le, e con facilita . Ciafcheduno vedecheper auernoicqghi-
zione della quantitJ delle linee
zioni nelia precedente figura , farcbbe neceflaridVehe t
ppedette linee fuflero diuife inpam mihutiffime con qualche
comnne miiura* A queRo.^ diuideremo in pard
^i}aM>e minteiffime^^<^ametro^ # i8i il fefnidiahietro^ei^
eome appareneila reluente fignra,douedipmghiamo Ia fqiia-
dra finitaie pr>i darejMO I ciafcuna diuifibhedella cueon
zalerueguide parallele ^ dfetiidiametri, aedd in effifipolfa^
leggere il rinmero^ e4a qtofita delle linee , che faranno indi-
ci della lunghezza? dcaltezza detirhe helpunto deli*angola
> dei
3 .
V
dei femidrcolo ^ metteremoilffiycoIpjdmboJ
Quanto al numero dellepa^eeire,nelle quali Edpuera dl-
uidere il diametto a h potraeiferc in arbitno di eiafcheduno i
fara pero bene eleggepe il numero 2 o66.per chcfacilitera To-
perazioni Aritmedene ,
Deue ben no|Crfi , cheie alcuno fabbricafTe vna fquadra co
me li ^ detto pofla per v^ai^ied*ardgiierie ibla, auercb-
bc fenza vn^idima iaticidi calicolo la miluradi tutti i tiri di
efla . La dinidd^^ di quefta tale fquadra dpuerebbe farfi a
poftcriorlirrqderip prodo . [Facciafil’eiperien2^del maffimo
tiro di quella ta|e atdgjreria, jper la quale vogliapio far la fqua-
dra a pofta j e tjroni eflere verbigrazia paffi 3 odo. piuadafi
poi il diameirojdella fquadra in parti 1 500^ & il femidiametro
pcrpendico|fe|d|n i^rtii j^jo^egu^r 3 cioe fingafl, e fupponga-
fi che ii dii^^^q idaffiino tiro 3 ooo.
parimentcebeiliepiidiarnetp^ perpendicolare ed 750. fiala
quarta parte deihied:efimo tiro: inal|imo,e cosi data poi qualu-
que altra eieuazione;, fubito chc inetteremo quefla fquadra in
bocca dei fuopezzoi, imnrediatamente vedremo: quanti paffi
fara la iunghezza, e qiiantil^altezza dei tiro , &cJMa pero que-
fta tale fquad^^tta verbigrazia per vn Cannone da <fo. fareb
be anco btfena per ogn’altro Caniione da dd. che fusfe della
medcfima lunghezza, & altre propori^ioni come quello •
E ben vero chc volendo noi fare la fquadra vniuerfale, che
ferua indilferentemente per tuttele fpezie, e tutte le grandez-
ze deirartiglierie , faremo cosl . Diuidafi neila figura prece-
dente il diametro a b in parti 2 000 . eguali tra di loro . Pari-
tnente fi diuida il femidianieirjp r ih pmiidoby eguali fira di
loro.(Noi per ia piccolezza della figura abbiamo diuifo folo in
3 oo.pigliado Ic parti a dieci a dieci.jFatto queftb fi tirino dalle
diuifioni della eirconferenza fegata in gradi eguali al folito ,
ie guide parallele alii diametri j accio fi pofla fqpra efli diame-
tri kggere la quantita delle linee rette , confornie oceorrcra •
Siaci ora propofta vnVtiglieria ignota/^ .Facciafi ia pre-
liaefpericrizainqueftoaaQdo® Pongafi in bocca di effa ia,»
fqua-
, c (cafchiil filq in qq^nquii
guida la quatitita di ^ a fui femidiame-
tro diuifo > eii tenga amenioria , e poi.
fparifi lartiglieria, e fi mifuri il tiro,che
Ja pa® ( per ef^mpio) 12 5 q .. Carichi-
fi di puouQ PartigUeria neUp
^j^^uJzicjiuerlamente, tanto . ; , ,
filo <^chi altrpue in »» la lunghe^M^ tiro ..
Facciafi cosi . Se il numero di i o da la lunghczza di i ^5©
palfi^^l il numero di ml^ chefilegge fui femidiametro diuifo»
quanti paifi dara? e trouerai parimen^e la lungfiezza dei tiro
numerata in paifi . ^ ■ '
Chi voletfe Paltczze , e non klupghezz e dentiri, facciala
fieffa dperazlpne comc s’e detto > raagon qqn le linee # o ^: mi
che dahno le iuitghczze, m fi bene con le le quali
danno ie altezze ...Se poi vokffimolefublim^h^^^
bc operare conle go,gL. Ma quehpi>che «nporta piu^ aleu^
no dopo fatta la preuia efperienza , volefle che quella medefi-
ma artiglkria faceffe y,n tiro propoftoci, long^, per efciqpio
22do.paiIl .'Si cefca quanta ekuazione dcbba t^fi al pez^o .
Operificosi . Se lipam 1 2 50. dellapreuia efperienya mi dan-
no io numerata .lipaffi 2 z 00. che mi daranno ; e trouerai vn
numero ilquak fia per efeippio nd^^ fquadra afcritto alia li-
nea ml. Sidoucra dunque alzar Fartiglieria tan|ordie il filo
paffi peril.puntd m. St aHoriii tirariufcira di palB 2 zooa •
^ I tpmpr puero durazioni de i iirifi dafinodalelihee h%hm*
e per auer la quantita di qiiefie fi pub far in due modi . Primo
per via di caleolo , perche il quadrato
dei tepo^ilneila paffata figurare fempre
eguaie aHi duequadr^i, dell^ltezza h
e ^e dellaqiiarta parte jdella lunghezza
Second o j epn lare atuflte le diuifio;
niHelk perileria h , c j ^/y|hella prefeii-
t e figura)dal centro a . kguide circo”
Gg 3 lari
lari b e , cfy d h , che cosl ^iTchdd Ia dh ditiifa g|d in te»
nutiflSme eguali , eila citmfii-eraitntte le rctte ^ b ^4^, kd^ che
lbnoitempide’tiri, -
Confe^amo fero che (jadnto all^vfe milkdre , foUmente l*4m
flitHdiniyolHnghez\edeitm f4re che imfortmo , e fidm di
tnolto momento Valtre fom tutte curiofita dccefforie y le quMi
fetuom molto ftu fer gufto di GeometrU.che fer 'Vtile di guerrd,
Pero cht veltff \ U fquMrdfolo f er que Bo riffemdelle lungheT^
z>e ; io frenderei tlfemicircol&z b e di ottone ( come ne lia fre^
f ente jtgur4)ilqu4le hauejjela gamba zdy ^
€ coi femidiametro thdiuifo in farti mi^
nutijftmeeir eguali fac endo ilf rincif io dei
la numeratione dalfunto t m Di f iit dar ei
dtuttii funti della fer^ma f, g , h , i , ?// B
le loro guide g h , f i . far alie le alia zCy e
Cost snauerebberofofra la Qb , diuife yi
Humer ate tutt e le £n y gOyle quali fer udno:j^ff i
ferleamfUtudiniiolunghe^edetiri,
Takola Ld quale moftra quanti gradi e minuti dei qu adrante
ordinario contengaciafihedunfHntodelldnoftrdfq^^^
che hdifuntidifugu4liyfoBaac4r.iso.
Per eieingio^fi^er ^
ca doue cafcMk. di- ' |
uiiione^K dei ieitimd
punto doftrodifugua ^
le . Guardo la prefen 'f
fcTauola, dirimpet- g;
to ai nuiTierQ VII. e g
trouochecafcafopra §
II grado 6 i . € 47. mi r;
Buti dei «quadrante ^ *
lordinario»
rmesio
tnezzo
I
4 . 48
VII
mezzp
7* if
me220,
II ^
9- 44
vin
mezzo
'la. ipl
mezzo
III
If 0
•
IX
iiiezzo
^7*
njezzoj
jy .
54 .
■ X ■'
111^220 p
134. -18
mezK)
. V'\ ■
1 $
,
XI
meno
15-34
mP2ze
VI
4f. 0
- '■
X ^ .1 -
.4^’
€U
47;
6f,
4»
69^
7%*
30,
77.
41S
$9*.
3«!
4f|-
84»
■I2j
s?.
$0»
Hi
*
..
'■.a.
n
9
»
13 .
n
0 ;
3* "
a
Jdk
M A (jH che fidmo entrdHd eofijtderdre il mot^A ^ inifeto de
froietti ^»0» fi fuo sfiiggir Voccafione di foggifingere
quale h e cofa circa U varie tk d^e for&e loro , nel b at ter e fopra le
fuferjicie refifienti^ora con maggiorcy oracon minor angolo dlin^
clmaztpne, llGalikocontemplalHmfeto d'eJjiproiettiin cgni
funto della loro parabola y e lo mi fur a folamente quanto e in fe
mede fimo , cioe rtfpetto a quel piano , in cui perpendicolarmente
€gli percuoteffe ,
Notfupponendo che vn impeto mentr e arriua 4 percuotere y
quanto af e fiafempre l* iftejjb ylo confidereremo , e mtfureremo
quanto eglijiarijpetto al piano refiflentCy variato y folamente
dalla diuerfita de gldngoli deW inuidenza.N on e Babardiero tan
to inefpertOy il quale non fiappia^ che le palle delt artiglieriay?ne»
tre percMOtono in vn muro , hanno fempre minore, e minor forzay
(data ognaltra partta') quanto / angolo deWincidenza far a pik
epiu acuto . Si chcyfe quel cannone con fejfanta libbre di ferro,
e quaranta di poluere , non folo sfonda ma ancora fconquajfa con
ilmoperpendicolarevna Oortina Appena poi la offenderayben-
che abbia la me de fima carie a , e la mede fima difianz^a , con pro
iezzione dei tiro y ch^efit chiamano diftrifcio, Il Problema^
per quanto io fappia ycintatto . Per'bf e fiprodurra qualche cofa
meno fufiiftente , e non pura geometrica , &fi compatifea fin che
altritratti meglio ladottrina yO fi rifiuti affatto, che poco im-
porta*
Suppofizioni^
1. iParlercmo folamente per i tiri deirartJglierle : pero
Supponiamo 5 che queila porzionedellaliheaj che fala palla
poco prima e poco dopo ai colpire , ha come iioea rerta . 56
cheh tratta di linea veramentecuruafmaauendo-qucfta (fe
fuife intera j la fua lunghezza di piiidi tre mila palll geometri*
ci , h potra bene conifiderarne vn braccio, ouero^n pa!mo fo*
los ouero yn dito fenza errore feniibile , per linea retta .
Supponiarnofecondariamente cheieforzej onero ioi-
peddeprokttifiaiKJ^ comefoflOiipa^ che DeilafteiI6.rcm-
poh
Gai.%. po fi^C0rfon©:^cio^ .Segliipad| 4^i.i^^.&^ ‘
de m9tu fcorfi daLttlobik ttelmedefi tempo , gPiimpeti,
eequa ili q forzenci cdlpire iaranno Come gli /pazij if is,
rcipettiuamentc. ^ ^ i , >
3 . Mafe iInkdefimo^pa^mverra fco^
mobile in dmerfitcmpi, gl^mped o forzedel mb- )
bilempercuotereaueranno Ja^pmposzio^^^^ reci-r .
GaL proca de i tempi . cioe Seilmedciimorpazio i^V..
de motu fara fcorfo vna.v^aka nel tempo «j^V- lc vn’altranel
aquahiii tempo/’. la forza dclla prima fara comc/i e delia
fecondacome e .
4» Supponiamo poi che tutti i tiri abbino,:^uan
toafeileflfi, fempre ilmededmo impeto i iichefe?:
guircbbe quando dado jPcrraa liartigHma^ fempre
ncl medeiimo iuogo , con kmedefimaearica^ me-
dcfima eleuazione, e didanza &c. folo: fi variaiTe
Jk X
D
I
T
f
„1
i
i
t;
^ I
t ,
'■! '
i
l\)bliquita dei muro. . ,V >
Suppoft o queft o : mentre vna paMa dr cannoae fi amiicina
al muro oppodo , la linea, e difittiira dei tiro , o e perpendico-
lare , al muro , o no * Se eperpendiGplar© , la pereoflfa opera
con vna tal foza (^che proueremo efier la maflima che pofla
auer quel tiro . J Se farg ad angoli obliqui , corae la linea db ,
alia parete bc. \o noto che riipetto alia parete b c . fono nel-
la linea db delproietto due motiinfie
me compofti: vno cioe, di auuiclnameii
toperpendicolare alia parete ^ 1’altro di
palfaggio laterale, 6 parallelo alia ftefi-
ia . II perpendicolare ci viene, e moftra-
to , e mifurato dalla linea a c * il parallel
lo dalla linea ,• poi che nei medefirao
tempovengonopafTati dalla palla ambi ; >
glilpazij ^ '
Hora ofTeruiamo che di quede dae ibrti d’impcto , vna fok
ea propofito, per accrefcerle forzerifpetto arompere il mu-
ro ,& internar ia palla in efso, doe rimpeto delia lazioneper-
pen-
24r
fendicolarc L^altrOjancor chefuOfeinfinito, non accre-
fcera mai ia forza dei prdictto contro alia refiftenza dei muro,
fe pero non gli acceileralTe anco lalazione perpedicolare.An^
zife fufse i^orizontale femplicejefolo, fenzamiftura alcuna
dei pcrpendicolare , chealtro farebbe Ia palla , fe non correre
equidiftante dal muro , fenza mai toccarlo, non che romperlo,:
fe bene fufse vn fottilisfimo vetro/* Qiiando dunque data la di-
rittura di qualfiuoglia proiezione, noi fapremo quanto di que-
flo impeto perpendicolare entra ncllacompofizione dei mo-
to 5 fapremo anco l^attiuita , o momento dei proictco verfo la»#
refiftenza della muraglia contrapofta .
Sia la linea di qualiiuoglia in-
cidenza, ^^.fopra ilpiano hf^
prefa con qualunque inclinanaio
ne, ma pero fia laporzione ah
tanto piccola che pofsa confide-
rarfi per retta. Tirifi perpendico-
Jare al piano hac,^ e R congiun
ga ch . Tanto dunquedimoto
parallelo fara nellalinea . rif-
pctto alia parete ^/.,quanta c la linea 4’ h . Ma di quefto non
facciamo ftima , perche moltiplicato non aiuta, e diminuito no
debilita il momento, mentre l’altro impeto non alterato refti il
medefimo. Di perpendicolare poineliaftef^av fara quanto
la linea ac tth forza dei coipo fara magior ejC minore, fccon-
do cheneiloftefsotempo farafcorfala wc. maggiore o mi-
nore.
Supponiamo hora che la fbixa dcl incide^ja a hSiOL come a c,.
Perfapcr la forza di qualunq;al£ra incidenza /a^^jprendafi d
h , eguale 2 i ha tirata hc de , perpendicolare al piano fara Ia
for;5adiqueflaincidenzacome Piflefsa linea de. Poiche fe
ah. db . fono eguali , e fono i tiri delPiftefso cannone , faran-
no fcorfe nelmedefimO tempo. Adimque anco le ac. de.iof- /uppojt^
no fatte neli^iftelsotempo/ pero gli impeti rifpetto ai muco fo;-
nocome
fuppofi^^
gjme»
2df^Z
Irifmremcdmqm che\ ie,4Uimt4 , 9 memnti 4^ i tin d$im
J^mente mclindti fono come ifemrettideglian^golid
des^z^e, -i ■ >, ; ,
Si caua di qui per Corollario che la i nciden za perpendico-
lare ^ ^ . ha inaggior forza di Cutte le alere , efse ndo la forza di
efsa come il feno totale. Elaproiezioae paralleia non ne ha
nientC) efsendo la forza fua come feno nullo.. L’incidenza db^
ad angoio di 3 o. gradi ha la meta deila forza totale, efsendo il
feno fuo Ia meta dei lemidiametro . Le aitre pol, conforme aue
ranno maggiore ominor fenoretto, aueranno raaggiore,o
minorforza*
Le forze deile proiezzioni hanno reciprocamence la mede-
fima proportione, che, hanno i lati dei triaiigolo , che fulpia-
Xib vien formato dalle linee delPincidenzef
Sia vna proiezione fatra per la linea
AC 1 ’altra per la linea ah • Efailpiano
dei triangolo abe . perpendicolare al
muro.
Perche dunque lo fpaziio ac S\ corre ^
dalla palla nei tempo ac; elo fpazio
ah cioe fleuato il moto parallelo J lo
ftefso fpazio ac fi corre ncl tempo ah. *
faranno le forze reciproche de i tempi .
Cioe la forza per ac » fara come a h • e per ^ ^ come ac,
Allorai proietti aueranno Ia ftefsa for^a nelpercuoteres
quando ghmpcti faranno come le fecanti angoli dei
complemento dclle incidenze .
Sia rtmpeto per la perpendkolare a h
come A h . & abhia vna tal forza ; Accio
1 ’impeto per rinclinata a c . abbia la me-
defiraa forza, dico chePimpetoper ac
alPimpeto per a h deuc efsere come a c
alia 4 ^;laquale ac e fecante dell*angolo hdc complemen-
to delPinclinazione «,
Poiche
241
Poiche fefaranno gPimpetipcr ^^5 & cohie fono gli
fpa:zij dhid^ ^^-.imobili/correrannonelmedefimotempole
due linee .cioeloftefsoauuicinamentoperpendicok- Periai
XQ ah » Dunque aucranno Ia medefima forza contro al muro .
Di piu fe coi tale cannone, e per Ia Ii
nea c ^.la palla s'’internafse tutta per l’ap
punto nel muro ; adunque per tutte le A
linee eleuate non foio s’immergera tut-
ta ne jlafolidita, mafara fempre mag-
gior pafsata , perche ha maggior forza .
Ma delle meno eleuate, per checifeuna
auera minor forza , niuna entrera total-
mente nelia parete, maalcune ancori-
falteranno, e sfuggiranno dalhaitra parte.
Sia f eth detto tutto quejio aBraend0 da vn ctrto effetto di
f tegam ento , 0 refrazz^ione chefamoifroietti nel fa(faY con in^
clina^ione dalmezzo raro almezzo f iu denfo, incuruandofi lali
nea al eonttario della refraT^one della lucere ffe^e vijibili »
/ujjpog*
JFJNE D£" LJBKl DEL MOTO»
PE DIMEN^
K 1
^ l ".
5 C '3:1^ /i! i f: > i? :’^! ; ■ •». .■ ’ ■'<'
*■ -vlV^^ » <:''i*'iK -.'iOrnO-i . 'ii.^A j^;Ty.|.ij>-n :;I oii ~ ,-.'^i',v t-
.‘••'vtv:, ^ ' -f ? ;
t\ i\l ':m 'i > ',11 Yii iiov
t •
qii^i i jq luun bKi,;".. i:"' f " . ,\ - K'>ri
'V ^1 IjH ’ j'f J :oj'i,fv3
* ^ ' • • ’ ■ ■■ ■ t
-tifi -arniV^-JL-ta
',i ,>-3-f 'i X>'i'9
jk , i
, Ai..>l 'n. 5 . ,;'/■■ 1 -^ r_
4. 03 ,.r3n'i> li-rfUit^udViorivrfj jn>iJi5
2 >
u a'3q^»v: .>v;«! ■■••4 Av-.4 ■
v^' 3 lO ■' 3-;^, -.. . 'l ^
\-
' ■' \v * \i V. ■ » ‘
iNi
0 4in.^i^,.\: aai3.fiS(« ;VH<^ .
O . ■. ; ■ ->- :- '2 f f-'^ ■*' ■' ■ ■
:.r^ :
n.-^ !:<]0?:^ 4 jv"
' .(
t'*: , • • :
'1.0
« i • ■ i •'-.
• V I , .i V''-' »^' '
.1 • ■ % ->■>■(■• -■
i
•'V
'<• 4 ;
i%'iU^-'..''- -•'
) r
f ^
J[ ; ^ ^ - k- *> V*
■'j ■
,!-r ■'; ^ V J
:': ■
n / .•
■ .• : ■•%?‘-J.^- ^- *-■ 't;^'- *- •- ■•-■'■"«.i ' t -
-• r '^4?' ■ :- 4 ■'
-' ^'4 -
4 X r- V - - ~ " ■ • '■ . ^-
: iOl ♦ Ol- ••'. ! 'i-4 < ‘
^ ' J- ■ ' ' ' ' ■ ■ 'i - * -
■ ; V /„V- '. - ' ;-
■■, . ', : A V i i-4 4 4 -I ® '^■' ■ ■
T':il
.* -i ; <i;,:''* uO>0' -'% '
u ■■
*>■ ^ ) n 7 i t
^ f i l-fl &. ,i'' A T .i>:
.ol:: Ua
< . •‘, ■" .' *> V i
£
‘1
•«.» j
DE DIMENSIONE
PARABO LM
Solidique Hyperbolici
TKOBLE MAT A DVO:
ANTI Q^V VM ALTERVM
In quo quadratura parabola XX. modis absoluirurjl
. partitn Geometricis ^ Mecanicifque , partini ex
indiuifibilium Geometria dedudts
rationibus;
N 0 F F M A L T E R F Mi
Inqm mirahiliscmufdam filidi ab Hyperbata genit f
accidentia nonnulla demonfirantur ,
GVM APPENDICE
De Dimenlione fpatij CycIoidalis.&CocUc»;
Ad SerenfJJimumVrincipem ’
LEOPOLDVM
AB ETRVRIA
I F F I C I L E reorjSereniP
fime Princeps Leopolde,fer
rea hacaetate libros confcri-
bere 5, difRcllius dedicare ::
quandoquidem bonarum Artium flu.-
dia vbique in bella degenerant j & Re-^
goantes vjrt non exigunt ingeniorunt
vires , fed corporum . Etrufea tameu
^egia 5 non minus foecunda virtutum j,
qu^m Principumjmundum edocet>eau
dem effe Mineruam & Bellona, vnum-
que Apoiline qui arcum limul amat ,,
& citharani . iSereniffima enim Celfitu-
do Tua ( vt reliquos omittam) littera-
rum, & icientiarum omne genus pcrin»
de foiiet, eolitq: , ac fi mundus alta pa-
ce frueretur, pulfifq^ Furijs folsE Mulas;
A z. domi-
I
■ .
dominarentur. Verum alia rtie maior
difficultas terret > dum ego tenuitatis
mea2 eonfcius mecumipfe cogito, libel
Ium hunc ad eum Principem ire, qui il-
lum non folum protegere poteft , fed
etiam iudicare . Qy icquid eft, non acre
iudicium Serenift. Celfitudinis Tuae ,
led incomparabilem humanitatem in-
uoco,illam inquam humanitatem,quae
nuper ampliffima in me beneficia con-
tulit, ■& humi iacentem erexit fortuna
meam . Audiat preces meas Dominus
Regnantium, talemq; Principem diu
cuftodiat : fiquidem diuinitatis interest
huiufinodi viros profperari , vt aeterna
Prouidentia magis elucercat,& coniun
£lam aliquando cum poteftate fapien-
tiani in terris dehionftrare valeamus .
Serenifs.Celfitud.Tu9
Humillimus, &obfequentifs. femus
EuangelifidTomcellms ,
AdLe-
AD LECTOREM ’
Procmium .
N Vllm m njniuerfo Mathematicarum difciplinarum
Theatrofortajfe tritior puluis reperitur^ qukm pa*
rahoU quadratura . ^uare ergo (inquis amice Le*
Bor ) circa tritum argumentum tam diu defudafli ^ libenter
equidem excipio obie Bione s tuas ) fedn^tinam yltimus deju*^
dauerim • ^mm tamen njenlam mihi negas ^fcias eandem
plurtmis egregie laudatis Scriptoribus te denegare , Ob>*
ieSium enim de par ab oU quadratura , quod noHra hac eeta^
te confiteor mihi nimis iam inueterafife ^ crediderim neq^ no^
uum fui^e Caualerio^ Galileo , Luc^ Valerio . ^ alijs^^uin
immo ipfum Archimedem accufat 5 qukumque improbat
mbrationes arca fubieBum yetus inHitutas , Audiamus
ipfum in Froe mi 0 Quadratur £ pairaboU/vbi fcnbens lyofim
theo inquit. Eorum enim, qui antehac Geometrise
operam dederunt > nonnulli id ioueftigarcj & memo-
ria mandare ftuduerunt , circulo dato ^ vel circuli por-
tione quacunque > fpatium rcd:ilineum aequale illi pef-
fe inueniri. Item fpacium a coni totius redanguli fedio-
ne compra^heoium & Irnea re&a , ad quadrati formam
& menfuram reducere conati funti fumentes non faci- ;
Je conceffibilia fundamenta, ^mbus njerbis difertiffi^
me fatetur Geometraru Princeps argumentum librorum De
dsmenfione ctrcuu ^ cjt* de quadratura parabola ■. neque fuum
fuife ^ neque nomm . Sedf quis attente confideret Froe>-
miaUm epiflolam Jibro de Imcis/piraiibMspr^fixam ^ mteU
s
liget pr^cipud Archimedis Theoremda^ altorum inuint a fui f
fe 3^ magm ex parte Cononis . Maximae etiim Fropoftio»
nes librorum Dc^phsBra& Cylindro; De ccnoidibus,
&fph^eroiJibuS:,& De lineis fpiralibus(^ qui libri inter
opera Archimedis Principem locum tenent ) Cononis funt :
Qui f inquit AuCior) non fatis temporis ad hsec exco-
gitanda fortitus, vitam permutauit, & ipfa reliquit inex-
plicata^* cum illa inueniflfet, Sc alia quamplurima per-
quifiilet> ac multum adeo Geometricas facultates am-
pliaflfet * S t ergo licuit admirabili , ac prope dimno AuSlori ,
circa aliorum inuenta labor ar ecquis negabit ignofcendum in->
geni olo meo mutuata theoremata contemplanti^ Sed ejla
quod conclu[io antiqua fit j argumenta certe ^quibus illa con»
firmabitur plurimum noua erunt ^ inaudit a\ Immo
cum ad alteram partem libelli accedemus^ tn qud de folido
acuto hyperbolicQ dicendum efi ^ nonfolum ipfum Theorema
inexcogitatum ^t ita dicam paradoxicum erity fed etiam
demonBrandi ratio inufitata^ Qd penitus noua . V num ( i n^
quis ) reliqui Scriptores^ qui hmufmodi quadraturam aggref
fi funty yel pngulas y n^el ad fummum binas prodideruntsne^
que tamen mediocrem laudem confequuti funt . Fate or 3 fed
nec ego libellum hunc ex profijfo infiitui ^compofuiquei immo
quod gy alijsy mihi quoq^ accidit ifingulas hafie quadratu»
Tds diuerfis temporibus inueni j quas m ynum colk 3 as nunc
demum y olentibus fimul exhibeo » T u tamen exclamas 3 heu
nimis e fi : quotus enim quifq^ repertetur tam famelicus Geo»
metra^qui legat pene yicies repetitam propofitionemy cum nu«
mero lemmatum fere duplo i Huic Jane obieBtoni libet con-
tradicere. Cum enim libellus in Fropofittonesy yt plurimum:
non
li^&ncoherentes ii^ejhipt \fid difpojtus ^hicunque
libmrk initium focm^ojjli > ^ finem^dicam mn^ Mttrtiak
tibi earta plrcetur
Altera s diuifu^ fic breue fiet opu$ ,
Si veri matiis probare confilium eorum quivnam, aut aU
teramtamumquadraturam edidere i qms prohibet f ^ in
hoc legere potes ynam^ aut alter am^ fi tamen hoc quoq^ nimis
naidebitut , nullam . Vtilitatem exigis ^ concedo s ^ in hanc
partem libellum excufare non aufim . attamen non deerit for
tajfe aliquis qui penitus inutilem non exifiimet , cum Geo*
metricus i fit , Sola emm Geometria inter liberales difciplk
nas acriter exacuit mgenium y idoneumque reddit adciuita*
tes exornandas in pace m bello defendendas: cateris enim
paribus ^ ingenium quod exercitatum fit in Geometrica pale*
Hra 3 peculiare quoddam , ^ virile robur habere folet: pr^m
Uabttqhfempef s) ^ antecellet y circa fludia AfchiteSiurte^^
rei belUm) nautiaeqs puemamscirca Aritmeticamy artemqs
metiendi 3 vnde totum cimle commercium dependet ^ regitur-,
que- ^uinetiam circa minifietia fimnorum ^ ^ aquarum
fiagnamtmm ^ vnde non ni fi magna percipiuntur fiue damna ,
fim beneficia 'aprovt bene ^ me l male intelleQ a fuerit huiuf»
modi rerum natura . Sed efio qmd inutilis penitus habeatut
libellus i fiue quia Reipub-jmhil intere fi paraboU quadratu^
rai fiue qma multis ab hinc faculis excogitata fuerat , de.,
imonfirata. Huk ‘uero obiedduoni refpondeat Ideuerendifsm
BenediSius Cafie litus M.agtdier meus » Ipfe enim dicet 3^
iquod fi Principes terra 3 folam illam vulgarem ^ Qfi apparen<*
tem vtilitatem tn Artibus magni facerent ^ exigerentque ^dam
mandi penitus ^ffint Sculptores^ Celatorefque egregtj^eijcien-^
3
di cmtdtihmTioidres j, Mtijtci y CiihcLTkdi^Voet^yAtqm H
gentes Mij • Contra ^ero ditandi efjent^atqy ophm ^ o^cijfq}
omnibus demerendi pi Hor es ^quorum utilitati nulla alia par
eft y caupones yfinores , Qd quicunque artem colunt ^tt a
minum furnmopere ^'vtilem . ^uinetiam f njtilitas fola aU
tendatur 5 damnandus erit yim yfus , ^ detentanda cultu--
ra cvinearum . At in fummo pratio habenda aqua y cuius y--
uhtates tam facile efi numerare y quam difficile fit ifs nonm-
digere ^ . '
: Vt cum que ea res fefe habeat y y emamus ad ohieUiones
qua circa artis fundamenta ^-ver fantur . Indignor equidem
Lucam Valerium y ^erenof nfieculi Archimedem y cum op^
UmamcaufamfiuficepiJJetj pefilmd defenfone wjum fuijfi.
Scient ab eruditis culpari figurarum Geometricarum dimen»
fionesy qua. Mecamcis fundamentis innixee Bahdiunturytam
quam duplex falfum fupponant : alterum y quod fuperfi-
cies grauitaiem non habentes , habere tamen concipi-
untur : quod fila quse magnitudines ad li-
bram fufpenduncsequidtftantia (upponuntur:, cum ta-
men in centro terrae concurrere debeant . Ego naero in
ea funi fient enti a y yel nullam ex bis fiuppofitionib» ejji fal fiam ^
yelrehqua omnia principia Geometria falfa exiUere eodem
modo* Falfum enim eB , qucd circulus habeat centrum i
fphara fuperficiem^ conus fili ditat em • Loquor de figuris ab--
firaBis quales Geometria confider are filet s non autem de fi»
ficis y ^ concretis . Neceffi igitur erit fateri quod circuli cen
trum yfuperficies sphara yfilidiias coniy ^ reliqua huiufi
modi non controuerfa^ nullam aliam habeant exlBentiam^
er illam quam accipiunt per definitionem y p^r intelk*
Uum* Eodem ^forfusm^dogr duitas efl in figuris Geome*
tricis^ quomodo in ijfdem efi centrum^ ^erimeter^Ju^erficies^
fiolidttas ^ c. Laudarem igitur in Mecanicis contem^UtionL
bus noud definitione pgurasgener are shoc 3 aut alio non ab fi
tnili modo .
Quadratum eft quadrilaterum quod , cum ^equila-
tcrum , & asquiangulum fit:, fingula ipfius punda mo-
mentum habent procedendi ver fus aiiquam mundi pla-
gam per lineas inter fe parallelas .
Huiufmodi enim definitio omnem demeret occafionem du»
bitandi 3 illis 5 qui lldecantca Archimedis o^era-^fe eundum ipm
fius mentem non accipiunt . Sedhucufque diSiumfit proob^
Uter andapnm<efalfitatis nota ) quod figura Geometricae gra*
uesfint»
Venionunc ad fecundum (^t aliqui euifiimant) falfum
Erindpio » njulgatijfimaefi etiam apudgrauijfimosyiros ob*
ie^io illa 3 yidelicet Archimedem fuppofuifle aliquod
falfum , dum fila magnitudinum ex libra pendentium
confiderauit tanquam inter fe parallela ^ cum tamen rc
vera in ipfotetrar centro concurrere debeant. Egoye^
ro (quod pace clarijfimorum dirorum diSium fit) crediderim
fundamentum decanicum longe alta ratione ejfi confideratsm
dum^ Concedo fi Fi fica magnitudines ad libram libere Jkf
pendantur 3 quod fiU materialia Jufpenfionum conuergentin
€runt ^ quandoquidem fingula ad centrum terra rejpiciunt^
Verumtamen fi eadem Itbr a > licet corporea 3 confideretur non
in fuperficie terra ^fid in altijfimis regionibus nsltrd orbem
Solis stum fila (dummodo adhuc ad terra centrum re fpici»
I ^rum^ fidquafiaquU
& diffan^
IO
diBantia . ConcipamUsUmij^famlibraniM *vU
trk Bellatam libram firmamenti in infinitam di fiant i am ejfi
froueSiam i qt^is non mtelligitfilajt^fpenfionum iam non am^
plilts conuergentia ^ fed exaMi parallela fore ? ^ando ego
con fidero libram ^ figuras Geometricas ponderantem ^ non co^
cipio illam efie inter cartas librorum in quibus depiBa con-
fpicituri neque Juppono punSlum ^ ad quod magnitudines ip -
fius tendunt , ejfe centrum terri^s fid libram fingo in infimtu
remotam ejje ab eopunSlo ^ ad quod ipfius grauia contendunt .
Si pofied ibi conclujero triangulum aliquod triplum ejfi cmuf
damjpatij ^ retrahatur imaginatione ipfa libra adnofirasre^
giones s concedo quod retraBd libra deflruetur aquidi flantia
filorum fufpenfionissfed non ideo deflruetur proportio iam de^
monBrata figurarum . Peculiare quoddam beneficium habet
Geometra-^ cum ipfi ab BraBionis ope ^omnes operationes fuas
mediante intelkBu exequatur . ^uis igitur mihi hoc nega*^
uerit fi libeat confider are figuras appenfas ad libram s, qu0
quidem libr a wltr a mundi confinium in infinitam diB antiae
remotafupponaturf Pkl quis proibebk confider are libram
in juperftcie terra conBitutam^cmus^ abBraBamagnk
tudimsUndanhnonadmedmmierr^pHnBum^ fedadcen^
trumcamcuU ^fimfielkpolarisl Triangula^ parabolie-^
imm^etiamfihpr^ cylindrlqs Geometrici ycum nuUamperfh
habemt motus, diffirentiam^mn magis ad ipfius terr a y quam
ad Saturni centrum contendunt er^ beneficium^
fiuum quifquis figuras illasy tamquam ad unicum terra cen^-
trumemdernes^ comemjfiMm^*Cmdemque:mniicebiti^^
confiderar^punbia emtfitmqifi^^eiufmodi wirtute pm^^
dataiytfiM^ae^erfitsemhmi^afimafiifil^
ter
terfc^AfdUhsltiiudi momento cmtendaHti His
fus:,qm ^era fmty qumadmodumjuntyep^s paeones fign-»
rarum^ qu^ in definitionibus adhibentur ^ mra etiam erunt
quacunqiT heoremata per Mecanicas rationes ab ipfisahBrst*
hentibus fuerint confiderata^ neque per falfas pofitiones de^
monflrabuntur . T unc itaque fdfum dici poterit fundamen'*
tum Me carneum^ nempe fila librae parallela ejje ^ quando ma^
gnitudines ad libram appenfie fi fica fint^ realefquCfS^S* ad ter •
r a centrum confpir antes n Non autem falfum erit ^ quanda
magni tudines (fiue abfira^a ^fiue concreta fint ) non ad cen^
trum terra yne que ad Mi ud punSlum propinquum libra ref
piciant sfed ad aliquod punBum infinite di slans connitan^
tur^
Caterum ybreuitatis p ^ facilitatis gratik d vocabulis
cmfuetismn difcedemus\pmSiumque illud ad quod magni**
tudines libra contendere/upponuntur^ Centrum terra nomL
nabimus s Planum illud :, quod ereUum efi ad lineam co*
neBtentempraiiBumpunBum cum centro libra , Morittpn*»
t em de more appellabimus »
Suppofitiones , <5c definitiones.
I.
P OBatur eatn effe centrigrauitatis naturam , ve ma-
gnitudo liberi lufpenfa ex quolibet fui pundio
nunquam quiefeat nifi cum centrum grauitatis ad infi-
mum fuse fpharg pumflum peruenerit.
Cmipimusfigurm ABC,/uffenfm ex fui pun^o Z),
B 2 mediatt~
medUnujilo EDdih^vhhoc efl^
ita in quamcumque partem
conaertifojjit , Sit centrum ^ a
uitatis F. j^onamufque reCiam
EDG .pr^endicuLarem ejje ad
horizontem .
C ertum e (i ,, donec centrum
F fuerit extra "perpendiculum
EG^ figuram ipjam numquam
manfuram eJJe , Quando ruero
punSifum F, fuerit in perpendiculo fujpenfionis EG ^ tunc fi-*
gura omnino quiefcet : Centrum enim grauitatis ipfus nuf
quam poterit amplius inferius defendere : ^in immo fi fi-
gura moueretur^ centrum ipfium aficenderet^ quod ejfi non po-*
tef* Si quis enim centro Efnteruallo EDF> tamquam nj7id
reda linca^/pharam concipiat ejfi defcriptam i ipfa erit Jpha-
ra^ in cuius Juperficie feretur punSium F ^quando EDF.exten
fa fuerit y O* adreSiitudinem reda&a • certumque efi infimu
punUum huiufmodi fphane ejfe in perpendiculo E G .
II.
jEqiiiponderarc fibi ipfi figura dicetur , quse ab ali-
quo fui pundo libere fufpenfa maneat, & ad nullam fui
partem inclinetur .
IU.
j£quiponderat fibi ipfi figura , quando ( cum liberi
fufpenia fit) in ipfo fufpenfionis perpendiculo centrum
grauiratis reperitur . fi enim adhuc moueretur^centrum '
gi:auitatisafcendete(. ([j^uodefiimpofiibile.
Cen-
IV.
CcntrQra grauitatis tunc repetitur in ipfo fufpenfio.
nis perpendiculo>quando figura libere fufpenfa libi ipfi
SBqaiponderac . Alias enim figura quiefcerec, & cen-
trum grauiracis ipfius pofiec adhuc inferius defeendere*
Quod eft abfurdum •
V
Ceniraliter ad illud libra? pundum appendi figura
dicetur:, in quod cadit perpendiculum 5 ex centro gra-
uitatis figura? produdium .
Efto enim libra AB ^ cuius fuU
crumJitC^ ^ ad ip/am appen»
fa fit figura CEB ^ita njt totum
latus CB cohereati ^ fit ^elu^
ti ad ipfam libram conglutina^ £
tum s Efto centrum grauitatis
figur a punUum T>0* eoe D agatur perpendiculum DE ad
rizpfitem ereSium .
lam figura CEB dicetur ^ ^ confiderabitur ^ tamquam
appenfa centraltter ad punCium F • ConHat enim ex pr^edU
dis^quod fi figura latus CBjoluatur yndiq^ a brachio libra ^
filumque remaneat filum connexionis DF-^ nihilo tamen mi»
nus ^gur a adhuc manebit nut prius manebat 5 eandemqi fer»
uabit nrerfus libram pofitionem , quam antea habebat • Vide
Arch, Prop, 6 • De Quadratura parabola •
VL
-/Equalia grauia ex aequalibus diftantijs a?quiponde-
rani , fiue libra ad horiiontem parallela fuerit, fiue in-
clinata •
Et gra-
14
Et grauia eandem reciproce rationem habentia j
quam aequiponderant , fiue libra fit ad hori*
zontem parallela, fiue inclinata*
H,(£cfine dia explicatime pmmim p&terMtj qumd&fui^
dem in doflrina aqm^onderantmmnBmquamfu^^mitur ii*
bra hom^Mti <^qmdiHans : Attamen qum *dBmdi paffmt ,
mn ommittendam cenfeo demonflrationem s ^rajertim cum
nonnulli ex libra materiali mde fabricata^ errorem f^e^e*
rint inintelleSiumadmiJerint*
EJlo inclinata libra
A C fuf^enfa ex ^unfio H
B ad filum BD • Sintqi \
magnitudines BFC i ^
G. centraliter appen/k
ex punBis E A ^ Et
ponatur ejfi ^yt magni-
tudo BFC , ad magnitu^
dinem G ^ ita reciproce
difiantia AB ad BE* Dico libram A€ s quamuis inclina^
tam j magmtudmefque abipfitpendentes^penmis conqutefce-»
re aquiponderare *
Producantur enim perpendicula G AH iLEI^ per centra
grauhatis figurarum G tranfeuntia , ducaturqs hori-
Tpntahs libra C H ^ qu<ie item appenja fit ad filum MD . Ao-
niam igitur eB per JuppofitionemyVt magnitudo BFC^ ad ma^
gnitudinem G , ita reciproce A B ad B E5 fiue (oh parallelas)
H M ad M £quiponderabunt magnitudines B F C ^ ^ G ^
ad libram horizontalem HC appenfie . Ergo commune centrn
grauitatis erit omnino in perpendiculo D F • Propter ea ma^
Dl
M.
1 f
B
s .
/
/
T
i
gnitudineskqmfondemlmntetUmdimad-^ A C fuf.
penduntur X alias mmerentuT^ commme centrum grauU
tatis ip/arum 3 quod demonUratum eB^eJJe 'jn perpendici*l&
^od ejlimpojjihile,
nmt/fri hveUtiUS
toncludentmhocmodo. ^
ConneBantur (in eade
figura ) centra gramta-
tis duBi reBd G h .
Quoniam magnitudo B
F C ad magnitudinem
G i efi njt AB adBE 3
fiue ( ob parallelas ) yt
y
GN ad N Ij erit N centrum commune grauitatis magnitudU
num appenfarum • Si ergo libra A C non quiefieretj centrum
grauitatis AT, afcenderet , Cum enim fit in perpendiculo DF^
moueri non potefi quin afcendat .
Flon me latet AuBorumcontr ouer fiam ^ circa libram in-
clinatam ^ an redeat , maneatue ^ Jupponere centra magnitu*
dtnum i n ipfa libra ejje collocata • N os tamen ^ quia in hoc li
bello i femper conftder abimus magnitudines irfid tpfam li^
br am appenjas 3 malmmusrei noBr^ firuire ^qudm aliorum
controuerftd demonBrationemacconiodare.
C aterum fajfiones parabola quas m operis progr e jju fuppoZ
n emus tamquam notas , yel ipfius Apollonij erunt ^ ^*el Archi
medis s njel faltem ex Apollonio ipfo facili negotio deducen^
tur j cuiufmodi fiunt h^ ^ quae fequumur .
S i Farabola reEtam lineam tangentem habuerit quibuf
libet autem punBis ipfius tangentis reBoi line<& wfique adpa^
rabo«
l6
rabolam demittuntur dquidiBmtes diametro , erunt demij^
Jk mter fe longitudine yt Jknt portiones tangentis potentii
interfe. Deducitur enim hoc ex lo.prim , Conic. Idam re ^
au demtjfc portionibus diametri rejpondents at partes
ipjius tangentis , ordinatim applicatis aquales/tint •
Item ^ fi intra parabolam d punElis quibuslibet reUaiU
tms ordinatim duSia , qua bafis parabola dicitur reSla lineas
erigantur diametro parallela . Erunt ereBa inter Jeyt
funt reBangula faBa a portionibus bafis^ qua
ab ipfis ereBts abfcinduntur . Hoc enim
O* d Caualerio d nobis tn fe-
cmdo libro de motu oHen^
ditur.
17
QVADRATVRA
P A R A B O L AE-
Pluribus modis per duplicem pofitio-
nemjmore antiquorum, abfbluta.
Lemmd Primum,
jl PARABOLA duas tangentes habuerit ^
alteram-ex termino bafis, alteram vero ex ver-
tice : tangens ,qu^ ad bafimeR, bifariam fe-
cabitur ab illa, quas per verticem ducitur.
Bjiopdr ahoLa a b c , cuius diurnet er b i , ordi^
nuttm vero applicut a (fmehajis ) fit tan^
gens eu termino bufis ftt cdii per
verticem vero tangens b e . i)/-
co ipfdm c d bifariam fecari in
funldo e .
Cum.n.c d fit tangens i didi.
met er i erunt aquales interfe d b* xt ^
bi. Ut quia a c itdinM mapplU
G * cata
? % PTimt
t
1 8 De Dimenfione Parabolae
*fu/d. diametrum b i, ipfa ver)) h c ta/^git in funBo b, erunt
fer t/er faralUlp a c , b e . jE"/ ideo erit vtdh adb i , ita A^adt c. ^4-
* re aquales erunt etiam d e, e c , ^od erat ofiendendendum drf.
Lemma //.
Si parabola duas tangentes habuerit ex bafis terminis ; xtdtx
linea quse ab occurfuduarumtangentiumducituf diametro pa-
rallela , propofitieparaboIiE diameter erit.
Ljlo parabola a b c , cuius ex
funLtis a cjr c^dua tangentes fnt
a d 5 edi concurrentes in d . Ex
"functo autem d , re£ta ducatur
d e diametro parallela . I>ico ip-^
fam d e propofij^a parabola diame
irum ejfe .
Sit enim^Jl pojjibile eft-, diame
ter f g . Erunt ergo ob tangentem
/ Conio ^ ^ aquales inter fe diametri por-
sum, tionesihyb^.Iterumobtangen
tem c i , aquales erunt i b , b g . Et ide)) aquales erunt inter f e ip
fa f b,b i .* totum^edr pars . quod fieri non poteB. Non ejl ergo alia.
diameter prater ipfam d e . filuod erat oBendendum &c .
••
Lemma 1 1 It
Si parabola tres tangentes habuerit; duas ad bafim, & ter-
tiam per verticem ; erit triangulum fub tangentibus compraehen
fum oduplum triangulj , quod oritur ex duitu quarta tangentis
per verticem alterutrae femiparabol;^ .
Efto parabola abe , cuius bafts a c, diameter b d i duatangen--
tesadbafimdiCy ce . Tangens per verticem fit f b g . Demitta-
tur ex f , concurfu tangentium a f , g f , rect 4 f i > diametro par dT
ftr Lem, leld : eritque fi diameter par abolp a i b . E>uc atur deniqutl m >
t angens femiparabolam aib per verticeml. Dico triangulum
f e fub tangentibus comprahenfum , oBuplum ejje trianguli
° ' Ifuij
19
Problema Primum •
1 f m , quodnAfcituT esc duBu
qudrta tangentis Im fer verti
cem i fortionis a i b .
Imgatur ab ba(is parabo^
a i b , erunt qi faralleU a b
1 m; cum fint aquales f bla
eb tangentem a f, erit af dupla
ipfiusiX ; ideoque triangulun$
a f b quadruflum trianguli
hi Jimilis 1 f m . Ergo etiam
{ht quadruplum erit triangu
li If m (funt enim per Lem.pri
mum aquales bafes a f , f e Proptered totum triangulum f e g
eBuplum erit trianguli 1 f m. £luod erat oBendendum r.
f .Cef.
ferheml
frimuu^
Corollarium Primum .
Ergo triangulum f c ^^faBum a primis tribus t angentibus
tuflum oftendetur eodem modo etiam trianguli n g p . ^ profte*
rea femp er quadruplum erit duorum fimul triangulorumlfjaXyVig^i
quapoft ipfum (duBd vtrinque alia tangente ) oriuntur ,
Corollarium fecundum .
Ilanifeflum etidm eB triangulum ^^ojub tangentibus con^
tentum , auferreplufquam dimidium ex trilineo mixto abce ; /*-
quidem triangulum f e g dimidium eft duorum simul triangulo^
rum e b a , c b c * Ergo erit plufquam dimidium trilinei mixti
abce.
H inc fequitur quod poffibile fit intra figuram mixtam abc^f .
fguramreBilineam infer tb er e per continuum duBum tan^n-
iiutn i qu* quidem figura inferi fta deficiat d figura mixta, defe- ZTl. ^
Oumineri quam fit qualibet datamagnitudo . '
Lemma IF.
Si parabola duas tangentes habuerit adbafim: deinde per
ygmcesfaaarum p otCionuni Alig tangentes ex ordine ducan-
G 2 “ tur
^ _ .
2,0 De Dimenfione Parabolse
turj& hoc fiat quotiefcunq; libuerit: figura a tangentibus cir-
cumfepta, fi ex vertice parabol^ fufpendatur f^pofitd diametro
ad horizontem perpendiculari ) sequiponderabit-
BIfo pdrdhold
abcj cuius dU-
met€r\s^^& dust
tdngentes ud bu-
fimfint a e , c e ;
per verticem ve-
ro h tangens fit f
bg . Deinde i de^
vnijjis (vt in fra-
cedenti Lemma-
te) diametris
%i-)per vertices
portionum d.\ih i
b'i c , tangentes ducantur 1 m , n o . It erumque per vertices re-
liquarum quatuor portionum tangentes ducantur p q, r f , t u,xzi
^ fic femper donec libuerit: Dico figuram; fiue potiur duas figu-
ras reClilineas a tangentibus p qx f f p , t ii x z g iieircumfieptas ,
€x punbloh pquiponderare : fiatuta prius diametro h d ad hori-
ZiOntemperpendiculari ,
Ponatur it aquehd diameter par ah oU ad horizontem perpen-*
dic ul aris ; ^ reClam fg , i quamcunq; inclinationem fortiatur )
concipiamus ejje libram ^ euius fulcrum fit inh >
^mniam igitur applicata a b bifariam f h at ur a diametro fh
inpunlUo y ; fiunt q a b , Im ^parallela , erit etiam 1 m fieBa bifa-
riam in h ; ^ ide)} duorum trianguloruml f m > n g o, centra gr a*
rtitatisfunt in fh , g i ; funtq; fh, g i adhorizontemperpendicu-i
lar es ^ideo appenfacentr aliter erunt diB a triangula ad libram
fg. ex punBis f ^ g. Aequiponderahuntque ex dift.antqs aqua-
libus b f> b g . Cum ipfa quoque triangula fint aqualia ; nempe
fuboBupla eiufdem trianguli f e g . Badem prorfus ratione pofi-
ealibrd\myduomangulap\<i^xm{appenf^ erunt expunBis
- - -- drmifqui^
Problema Primum ^ a i
^ m > Aquifonderdhuntqi ex fun6io h , ^deo affenfd erunt ex
"funBo f. ( quandoquidem filum fuffenfionis f h ferfendiculare
£ fi ad horizontem .) Duo vero triangula t n u , x o z , fr adibis
aqualia ( cum fint fingula fuboUufla aqualium 1 f m , n g o . ) fon
derabunt fimul ambo ex funBo g . Ergo quatuor fimul pradiCfa
triangula aquifonderabunt cx puncio b ^ nempe medio totius //•
hra f ‘gv Eodem modo concludemus reliqua triangula, quotcun^
que fint , ex puncto b aquiponderare . Vniuersa ergo figura a tan
gentibus circunfiepta ex pundlo b aquiponderabit . Jduod (frc.
Corollarium I.
Hinc pro Corollario animaduertemus centrum grauitatis prf-
diCl^ figur^ 5 a tangentibus comprahenfg , ejfie in diametro para-
boU . Cum enim figura pr^diHa ^quiponderet ex pun6io b , erit
centrum grauit at is illius in linea qu^ ex punUo b ducitur perpen
dic ularis ad horizontem \ quapropter erit in bd diametro para-
bol^ .
Corollarium IL
Colligemus etiam c entrum gr duitatis emnium trilineorumix
torum , quf fub linea parabolica a b c fub omnibus tangenti-
bus a p q r f t ii X z c , eompr^henduntur, ( emper in diametro par a-
bol^ exi fler e . Patebit autem hoc modo . Centrum trapetq a f g c > 15 ptmt
efi in diametro ;centrum etiam pdrabolf e fi in diametro-, ergo cen
irum reliqua f^ure mixte erit in diametro . Si erfro centrum- hu~
fujmeat pgura est matametro; centrum ettamfigurp a tangenti- di emfd,
bus circumfept^ demonftratum efi ejfie in diametro propter ea ce-
trum omnium fimul trilineorum,qu§ continhurfiub tangentibus
hneaparabolic a, erit in diametro per 8 prim. Aequipond,.
Lemma
Si parabola duas tangentes habuerit alteram per verticem^
alteram vero ad balim , &ex altera parte bafis habeat paralle-
lam diametro ; figura fub tribus prjedidis redis lineis » & curua
ex pundo/tangeixr
tisver«
^ X D6 Dimenfione Parabolae
tis vcrcicalis , in quo ea fic diuiditur, vt pars ad reliquam C angen
tcmterminata, dupla fitiliiusqua^ ad parallelam diametro ter-
minatur.
BJio jfdrahola a b c , cuius tmgtns 4d bdjim fit e d ; fer verti-
cem vero f b g j ^ a ^Jit fdrdllela diametro . Secetur deinde f g
in e , ita vtfc dufla fit reliqua e g . Dico figura a b c f g Hatu-^
t a diametro adhoriz,.ferf€ndkulari)aquifonderare exfunke c.
Concipiamus
enim diametr.
parabola efe
horizjonti per-
do sepcr intel»
ligendumeB)
cfuamcunq; td
dem inclinatio
nem fortiatur
libra g f . Dt
duBa tangen-
tem di ( qua om
nino tranfibit f er €y vt infr) oBendemus ) int illigatur g f. libra
efie , cuius fulcrum eft^i ex qua pendent ab vna parte triangu-
lum m^t\ab altera vero ifigttra mixta a b c f e . J^a quidem
figura fiinterfe non aequiponderant, ponamus alteram iffaru
praeponderare . B fio igitur ; ^praeponderet frinio a b c £e, tan-
to excejfu quantum eB fpatium k .
Infcribatur intra ipfam alia figura a tangentibus h i I m n o p
qfeh, terminata y it a vt reliquae portiunculae fub diBis tan-
gentibus (fi curud paraholica contentae yfimul minores fintfpa-
tio k (quod fieri pofie confiat ex Corollario Secundo Lemmatis
Tertq ,) Vr deponderabit igitur adhuc figura fub tangentibus
compraehenfa ; quandoquidem pars ablata minor efi exc e fu K ,
(fi in eodem punBo b ponderat fimul cum tot a magnitudine ^ tam
enim ablatae y, quam totius , centrumgrauitatis efi in diametro ,
' " ' ' vtoBen-
pendicularem
(hoc autem mo
/
Problema Primum . 2,5
oBendimus ad CorollaMum Secundum Lemmatis Quarti .
Accipiatur iam g r quarta pars totius g a ducaturqi e r . Su-^
matur etiam e 1 dupla reliquae lgi& ex punBo 1 centr aliter fuf- ^^adm
penfum erit quodlibet triangulum habens verticem in e punSto^ t urapa--
clr bafim in reBa g a , quae ad horiZiOntem reUa ponitur .
lam fic .* duo triangula z e x 3^ u f t , ad triangulum e d {.funt j
vt duo ad 8. (ir ad triangul. t\>6.vtz,ad 4, dr ad aequate age.
vt 2^ ad 4^ ergo ad triangulum are. erunt vt z.ad nem-^e vt
\t ad tg, hoc ejl vtl eadeb reciproci . fluore in libra 1 b duo
praediila triangula 2 e x > u f t aequiponderant triangulo a r e ^ .v
puncto
S umatur it erum g f quarta pars totius g r , iungatur ef. Cu
ergo, g r e Jit quarta pars ipsius g a e , vel ipjius e d b , erit g r e
e It au a pars totius e d f . ^apr opter aequale, erit g r e , alterutro
ipforum z e x , u ft Sed quoniam bxiejj: ootaua pars ipjtusztis.^
erunt quatuorfmul triangula hzi,lxm5.nuo,ptq .^ quoniam mau
aequalia funt inter f e ) ad triangulum zcxvt 4. ad 8; Jiuevt 2 .
ad 4 & propter e a etiam ad triangulum g r e , erunt vt 2. ad 41
ad ipfum vero f r e erunt vt 2. ad nempe vtl eadeb . LquL
ponderant igitur ex punito e hinc triangulumix e , inde qua*
tuor praedi It a triangula h z i , I x m , n u o > p t q Lodcm pror->
fus modoySiJub quat.uor his tr iang^ia fuerint i.n rejiduisportiu*
culis triang. ex ordine defiripta^ ojlendemur-aequiponderare ex
. eodem puncto c, cum quodam triang^ cuius vertex fit eybafis ve^
to c ontine at s , quarapfius g { drc..S€dm nofho cafu^ cum demon
ftratum fit primaduo triangulaz ex, ufc, aequiponderare trian.
guloi r e. E eliqua item quatuormangula ^quorum, vnu efib z i.,
aequiponderare trianguh: (v f i Aequiponderabit mafimulfigu
ta ex praedictis triangulisdompofitaytriangulode f, expunito.e^.
Sed demon B ratum futti eandem figurampr deponderare triangu^
lo a egi nec efife igitur eB. vt triangulum a e g minus (it triangm
to zeiytotumjua parte iJluodeB impo^ibile
Sivero ponamus praeponderare trianguldmzeg figurae 2ibc-^
f c .. M Bo y drfit excefjfis quo praeponderat.fpatium k , Ac cipia--
tmgx e quarta pars triangulis getdfjtemm accipiatur g fe>
±4 Dimenfione Parabolg
qti an a p4rs trianguliora 'i (^hocfcmperfiat , donec ventaiUat
ad altqucd triangulum g f e, quod minus Jit fpatio k , Tunc enim
triangulum a f e adhuc praeponderabit jigurae a B c f e . Sed eo--
dem mcdofut fupra demonf trahimus triangulum ipfum afe aequi
ponderare alicui f gurae reti ili ne ae infcriptae intra figuram miti
t am a b c f e . Neceffe ergo it erum erit vt infcripta figura reiii-
linea maior Jit quam figura mixta abcfe,cui ipja infcribiturpars
fuo toto . ^Juodejl abfurdum cffc.
Aequiponderat ergo ex puncto e 'vniuerfa figura a b c f
fub curua parabolica., duahufq. tangentibus , ^ linea ipjidiame^
tro parallela continetur . ^i^od &c.
^^od ajiumptum e fi ita ojiendemus : Nempe tangentem a d
tranfireperpunctumtihocetiy ita fiecare rectam
f e 5 dupla Jit reliquae e g . -i" ecet enim a d tangens rectam f g vt-
cunq-t in e . Idm \ cum parallela Jint a g , b d, aquales a e,^ d;
erunt aquales etiam g e , e b , Sed aquales funt f b, b e , ergo f c
dupla eB ipjius e g . Ideo a d transit per illud e punctum , quod
ttb initio dixeramus ,
Tropo fitio Trima ,
V AE LIBET parabola fefquitertia eft trianguli ean-
dem ipfi bafim , & eandemaltitudinem habentis .
Efto parabola ABC, cuius
diameter B D , iunganturq. AB,
B C, Dico parabolam fefqui-
tertiam effe trianguli ABC , ean
dem cum ipfa bafim, & eandem
altitudinem habentis,
1 Ducantur tangentes A E,CF
ad bafim : F H vero per verticem B; A H fit ipfi diametro pa-
rallela. concipiamufq. parabolse diametrum credam efle ad ho
rizontem . lam feda H E in I, ita vt E I dupla fit ipfius IH , erit
fifiangulum HAE centr^ta appenfum ad pundum I ( habet e-
' ■ ' " ' ^ nira
" Problema Primum.
mm centrum grauitatis in .reda quse ex i ducitur parallela ad
H A , & propterea ad horizontem perpendiculari . ) Erit infu-
per figura mixta A B C F E centraliter appenfli ad pundum B .
(quandoquidem habet centrum grauitatis in diametro BD ad ride c»
horizontem perpendiculari .J Sed vniuerfa magnitudo, com-
pofita ex dido triangulo HAE, didaq; figura mixta, sequipon- **^^-'*‘
derat cx pundo £; erit ergo triangulum HAE ad figuram mix- Lemm»
tam ABCFE , vt reciproce B E ad E I , nempe vr 3 . ad 2 . , Pro-
pterea trapezium AEFC fextuplum didi trianguli , erit ad figu- oftende*
ram mixtam ABCFE, vt 18. ad 2. &per conuerfionem ratio-
nis , ad parabolam erit vt 1 8, ad 1 6. C^ilium ergo partium pa-
rabola efl 1 6, earum trapezium AEFC efl 1 8. & triangulum A
BC 1 2 . Quare parabola ad triangulum ABC erit vt 1 6, ad 1 2
nempe fefquitertia . Quod erat oflendendum.
trapezium ztief extuplum fit trianguli hae, patet .
iV am parallelogrammu \\ 6 ^duplum eH trianguli h a b ^ propte-
rea quadruplum trianguli hac. ergo trapezium a e b d trip-
lum erit trt anguli hae. totum vero trapezium a e fc . fextu-
plum didfi trianguli hae. ^md (fic.
C um autem trapezium a e £c '’xtuplum fit trianguli h a e , erit
feY.tuplum etiam trianguli e a b ,* ideo triplum duorum e a b ,
b c f , iV empe vt i s .ad d. Per conuerfionem vero rationis , erit
ad triangulum zhc vt iS.ad iz . ^od&c.
Lemma VI,
Si du^ parabola vtraque duas tangentes ad bafim habuerit ;
erunt inter fe trilinea mixta fub tangentibus , & curuis parabo**
licis contenta, vtfuntipfa triangula fub tangentibus compiaj-'
henfa.
Sint du£ parabola a b c , d e f*. quarum vtraque duas tangen
tes ad bafim habeat a g, g c prioris, d b , f h ,poH er iorh pa-
rabola , Hico trilineummixtum a b c g, ad tr Hin eum mixtum
defh, efievt triangulum age’, ad triangulum dhf.
I) Si enim
±6 De Dimenfione Parabolse
' tj! itd : habebit diter um ex trilweis,f Uta a b c g,
dd reliquum , maiorem rationem quam triangulum Si^Cydd dhfi
EBo fpatium k excejjusy quo trilineum a b c g , maius eft quam
vtfit in ratio nwiangulorum .
Ducatur fer verticem: b, tangens i 1 ,* demlfftfqi ex fundis i,
Im, 1. &' 1 3 lineis diametro farallelis ( qua diamem femifarabolarum
emnt) ducantur tangentes o m , , n p .* d" fun6lis o j m j n,p,
demittantur alia diametri vtfup a \ ducanturqy alia tangentes:
Bthocfemfer fiaty quoufq^reliqu^ fimul omnes fortiuncuUyqua
. fubt amentibus cuma parabolica continent uri minor esjint
Um,i . fpatmk . T une, ntjsnmerfa' figura tangentibus circumjeftay& m
trilineo mixto a b c g infer i ftay habebit adhuc ad trilineum dc
fh 5 rationem maior em^quatriang. a g Cj ad triangulum d h f .
Inlcribaturiam etiam inaltero trilineo mixto d e f h . figura
iotidem laterum y dubiis mmrum tangentibus toties ^ quoties
dublafuerint in priori trilineo ^
fii0niamvero ejl yVt tr iangulum i g I ad triangulum q r h ,
, ita duo Jimul triangula o i m , n 1 p , ad duo fimul u q f , UZ:.
enim fortes cum foriter multif licibus in eadem ratione . )
Etvtduo fimultriangidit oim, nlp> adduo: xxe^iyXrZyita
quatuor triangula quafunt irtfrafunBa o, m > n , p > Udquatuor
. Mky/quajmtjfhhfunldis \^iyty:ziyok
etiam ornnirymtm^miidfimM (mmfeJhtmaMfkrifta infrio^
ritri-
Problema Primum • iq
tlttilineo mixto , ) ad omniavonfcquenttd Jimul ( Adfigu^
rdm infcriftAm in poHeriori trilineo mixto ) vt vmm dd *vnum ;
nempe vt i^\,4d q h r . Sine fxmptis eorum quadruplis , *u§
zgc ad dh£ . Sed eadem in fcripta figura habebat ad trilineum
d e f h maiorem rationem quam fit trianguli ad d h f .
nus ergo erit trilineum mixtum d e f h , quam figura fibi inferi-
pta : totum fua parte , £luod efi impojfibile . T rilinea ergo fuh
tangentibus , ^ curua parabelica comprahenfa yfunt inter fe vi
triangulafub ^dem tangentibusxfi bafibus contenta .
Fropofltio 1 1»
P AraboIa fefquitcrtia eft trianguli eandem ipfi bafim,^ can*
dem altitudinem habentis .
Sit parabola ABC,
cuius diameter B D ; X
^fitinferiptum trian
gulum ABC* Dico
parabolam fefqiiitcr-
tiam effe trianguli A-
BC,
Ducantur du^ tan-
gentes ad bafim,qiia;
fintAE,CE.&FG.
tagat per verticem B
Demiflis deinde F I ,
GH diametroparallelisjvt fint diametri portibnnnlAIB,EHCj iXtmi
ducantur per I,&HtangentcsLM, NO. ‘
Erit ergo per Lemma procedens, trilineum ABCE, ad tri-
lineum AIBF , vt eft triangulum AEG, ad AEF . iiue ad FBE .
Idem vero trilineum ABCE ad aliud trilineum B H C G, erit vf
idem triangulum AEG, ad triangulum BGC jhoc eft ad BGE,
Coniundimergorerittrilineum ABCEad duo trilinea AIBF, »4
BHCG.yt triangulum AEG ad triangulum FEG, nempe vt 4 ; « . ^
^ * advnum
\
^8 De Dimenfione Parabolas
ad vnum , & diuidendo , erit triangulum F E G ad duo trilinca
AIBF , BHCG i vt 3, ad vnum . Trapezium autem AFCG , ad
eadem trilinea erit vt ^.ad vnum; & per conuerfionem rationis,
ad parabola erit vt 9. ad §. ad triangulum ABC, vtp. ad 5,
Qualium ergo par tium parabola eft 8, talium triangulum ABC
^ cft <5. Conftat ergo parabolam inferiptifibi trianguli fefquiter-
tiamelTe. Quod erat 6cc.
Lemmd VII»
Si in parabola inferibatur triangulum : eandem habens cura
parabola bafim, eandemq; altitudinem, inferibantur etiam
pariter & in reliquis portionibus duo alia triangula : Erit trian-
gulum primo inferiptum ,0 duplum alterutri pofterius inferipti
trianguli.
Hemonfirdtur hoc Lemmd ab Archimede Prop. 2 /. He
dratura parabola.
Lemma V 1 1 1 ,
Si in parabola euidentd inferibatur hgura ex triangulis eon-
Hans . Tam bina ipfius triangula (fi prout fibi mutuo refpondcnt
ita fumantur) quam etiam tota inferipta figura, sequiponderabit
cx pondo medio bafis ipfius parabolse.
JEjlo parabola a
b c , cuius diame^
ter Jit h & in»
uerfa Jlatuaturfi^
gura^ ita ^t dia»
meter ad hori\on»
tem fit perpendi»
€uldris . SeLiade»
indevtra^i ad,dc
htfidridm in e f ; ite
fumqueJeCiis par»
tibus hfiarid in g ,
h, i , I . DucdntHf g ttl ^ C n , h 0 , i p , f q , 1 r . &c^ Paralie-»
la ad diametr um ,
Inficri»
Problema Primum . xp
infcrthdturque in f^rahoQ figura amnobpqre. ( qua di:^
shur euidenter infcrlbi ,) Jjico triangula qua figuram inficrif^
tam comfonmn^ fthina^ ^ ^rout fibi mutuo, reff ondent ka fuma-
tur j aquiponderare ex ^unko d . Vr^tercd v ni u er fam figuram
infcriftam , ex iffis triangulis com^ofitam , ab eodem j funClo d ,
fquiponderare ,
Sumantur enim duo triangula fibi mutuo refpondentia ^futat,
n o b J b p q , qua interfie aqualia erunt ,• cum triangula a n b , t»
b qc fuboBufia .fint eiufidem triauguli a b c ; ffa vere n o b ,
b p o^yfuboBufia fiint aqualium triangulorum a n b , b q c. Ha-
bebunt infiuf er centra grauitatis inreclis ofjpt 5 qua quidem imprimi
ab angulis Ojp, ducuntur adpmclamediabafium y. nb,. bq, aquifsM
Cum vedo o s h , p t i reB^ ad horlz^ontem pfit^ fint perpndi-
culares „ erunt padiBa triangula n o b , b p q centrali ter appen
faexpunBis h^cf’ i., ^^amobrem ab equatihus difiantqs hd,
di, ^quiponderabunt^Et file de reliquis figur^ triangulis . ^md 8 . ptmi
erat prirno propofitum » dup
Eigura autem vniuerfia euidenier inferi pt a eemponitur expdr-^
tibus aquiponder antibus a punBo d ; quare etiam ipfia ex d pun--
B 0 aquiponder ab it * ^uod erat ofiendendum^
Lemma I
Po/itisijfdein. SI a parabola dematut vLiiuerfa figura eui-
denter inferipta, etiam omnia fegmenta parabolica, quiscir-
eumrelinquunr ur , ex pundo D . cequiponderabont .
E €p et ita ''enim eadem figura demon jlr at um e fi figuram inficri-
ptam aquiponder are expunBo d. Ergo figura inj cripta centru'
grdmtatis habet in perpendiculo hoYi\o mali d b . (per a-fiappo-^
(itionem)fied etiam- parabola centrumgrdui.tatis habet in diAme-.
tro db, {per 4. fecundi aquiponder antium ) ergo centrumom-.
niumreliquorumfegmentorum erit in diametro db., Mudre ex:
punBo d aquiponder abunt , per $ fuppofitionem .. S^pd dre..
" , CotoHariuin V. . ■ ' v- ■
Confiat etidm eodem prorfius argumenro-^reiiquum figma euk
deU’’
jo De Dimenfione Parabolas
denter infcriftA , detraSio priks triangutd a b c , xqmpmderArt
expunUa d . Item rtliquum paraboU , dempts manguh a b c ,
fquiponderare ex
Lemmd X.
Si ex parabola auferatur diinidiiim trianguli irifcripti,tota re-
liqua figura mixta ^quipondcrabit ex puns^o bads reliqui triaia
' • guli , in quo fic ea diuiditur , vt pars ad curuam terminata qua-
drupla fit illius , qu^ terminatur ad diametrum.^
E fio pdrdhetd a
* hc inucrfdi eiufq;
diameter hditdfid
tuatur vt ad horlz^o
tem fit p^rpendicu^
^ laris I Eetra^oq;
Jemitridngulo in~
fcrtpto d b c ; feee-
tur ad hafis reliqui
femimanguli , in
quinqypartes ^qua
leSiquarHmvnafitdt, Eko hmufmodi figuram ex punffo e
fufpenfdmydquiponderdre'
Nifi enim aquiponderet ; Cum reBa zdfit libra , cuius fulcru
efiin e,d" magnitudo a fb ^Q^confians ex duabus portionibus
€ohU, parabolicis^ appenfa fit ad pundum d fecmdum centrum graui
tatis ipfius t Reliquum autem triangulum a b d altera rnagnim
do appenfa fit ad pun£ium)\ (fumpta d h tertia parte totius da;/
Altera ex his duabus magnitudinib.praponderare necejfe erit .
’ Ponamus prim> praponderare duas portiones a f b , b g c ; &
fit excejfus quo praponderant , aqualis fpatio K ,
In fer ibat ur emdemer intra duas portiones pardbolicasfigurM
multilatera , itavt omnia fimul fegmentaparabolica circumrelk
Hdminorafintfpatio K. T une enim praponder abit adhuc figa
ra inferipta multUdtera a i f I b m g n c b a •
, , Acci*
Problema Primum . 51
"Accifidtur d o qudrta -pars totius d b ; cf duda a o , mn fo-
tum triangulum a d o , aquifonderahit febiiffi exfUnBo hiftd
ttiam quodcumq'^ aliud triangulum habens verticem in a* ba-
fminrecla dh ,fbi iffi aquiponderabit ex pun^o eodem h.
Jam fc : Sualium partium a d eli js, d h ejl s r & d e eB
Jdrgo d e ad e h ^ erit vt s, ad 2, Cum autem demonfiratum Lm . 8 .
f t duo triangula 2, y b gc, aquiponderare expunElo 6.1 tri-
angulum vero boa » ex punBo li ; ^ cum duo pradicia triangu-
lajint ad totum triangulum abd vt duo ad 4. i erunt eadem ad tx Lm,
triangulum a b o , 'i'/ 2, ad nempe vt hc ad e d reciproce . ?•
^^amobrem duo illa triangula a f b , bgc, cum triangulo abo,
aquiponderabunt fufpenfa ex punJlo e .
Sumatur deinde d p quarta pars ipfius d o ,* ducatur que a p ,
Jam I quia duo triangula i\h ^ b rn g ^quiponderant ex d tm>%»
itemque duo a i f, g n c , aquiponderant ab eodem puncto d ,•
omnia fimul pmdiBa .quatuor triangula ^quiponderabunt ex
puncto d; Suatuor aut em prodici a triangula adtriangulu a f b
funt vt duo ad 4. Sunt autem a fb , a o d , fub quadrupla eiuf
dem trianguli abd (^propterea ad triangulum d.o^ , erunt vt
2. ad s . nempe vt \\.^ ad ed, reciproce . Aequiponderant er-
go quatuor illa triangula cum triangulo a o p , ex puncto c Er
go vniuerfafimul figura euidenter inferi pt a a i f i b tn g n c b a
aquiponderat triangulo a b p . Sed, eadem pr ^ponderabat trian-
gulo abd. Minus ergo e H triangulum a b d quam triangulum
a b p . totum fua parte : quod e ft impo flbile .
Ponamus 1 ieinde pr^ponderare triangulum a b d i excef- ' =
fus quo prp ponderat aqualisfpatio K
Accipiatur a.o d quarta pars totius trianguli abd,* iterum
q0e fumatur a p di ^quarta pars trianguli a o d ict hoef emperf ar^^
donec ventatur ad aliquod triangulum ,pura a p d , quod minus
fit quamfpatiumK. T unc enim reliquum: a b p adhuc pr^pon-^
der abit duabus portionibus paraholicis a fb, bgc. Sed idem
triangulumcfimdetur ( eod,e?n. pr or fus modo vt fupnt) ^quipon^
der are alie M.t fg^ir^intrapaTabsilicas portione s-i,nfcTipt^: .* nccef
fe igitur erit quod poxmms paraibohcj^ minores fint quhnyjlgUTdi
De Dimenfione Parabolg
ilU fibi infcrifta j telum fua parte . ^upd ejl impojjtbiU . 'Aequt-
ponderant ergo parabola muerf a ( de mpto f ^mitrtangulo infcripr,
to') expuncto quod didi ume Ji y ^md erat oflendend,(^e,
Coroilariuiii
Blnc inferre pofumus y qmdf ex puncto e, redi a ducetur
diametro aquidiJianSy centrum praedidtae figurae erit in produ^
dta. siquidem f gura ex pundio c aequtponderat y linea ex
c ducta aequidiftans diametro yCdt ad horizontem perpendicu^
laris . Poffet etiam demo nfir ari y nifi extra rem ejfiety centrum
praedidtae f gurde didtam parallela ita/ecarty vt pars quae tetr-
minatur ad curuam fit ad reliquam vt ii. ad u.
Vrofoftto III.
P AraboIa fefquitertia eft trianguli eandem fibibafim^ & eas
dem altitudinem habentis ♦
ftacei.
Efto parabola ABC, ex qua
demptum fit dimidium trianguli
inferipti : Siimptaq; DH , qiite fit
tertia pars totius DA & DE quin
ta pars eiufdem j fi parabola liu-
iufmodi ftatuaturinuerfa, itavt
diameter fit horizonti perpendi
cularis, tequiponderabit figura
expundlioE, Sed triangulum ABD appenfum eft fecundum
centrum grauiratis ad pundium H librae HD . Du^ autem pa-
rabolict^ portiones refidu^ appenfse funt fecundum centrum
grauiratis ad pundum D ; Ergo triangulum ABD, ad duas re-
liquas portiones erit vt DE ad EH, reciproce, nempe vt 3. ad 2:
Sumptis autem antecedentiu duplis erit totum inferiptum trian-
gulum ad reliquas portiones vt 6 * ad 2. Conuertendo igitur,
componendo, erit ipfa parabola ad inferiptum fibi triangulum
vt 8, ad Nempe fefquitertia . Quod
' ■ ^ Libet
Problema P«mum ”• jp
Zihet htc demonfirare LemmdLued Valerjj^uoBft Hmm ma*
diuerfifqutfemtHs Mefhdnied frincifqs , Iffe enim vHtw
Zrofofitime ilU , qua dnte demonftrauerat centrum gruuita/h
hemiffhdtrij . Nes autem fmiU ratione , de in prae edent ibus ,
monHrabimus (jr Lemma y ^ ipfamVdUr^ e oncluJtQnem ^
Lemma X /.
Omnis femiparabola sequipondcratcx pun(5lo'bafis, in qu®
{ic ca diuiditur vt pars ad curuasn terminata fit ad reliquam vf
quinque ad^triar:
Bfiofcmipardbola a be , cuius
diameter ab fiatuatur ad horiz^on^
Hm perpendicularis : Se^ia deinde
ac in £, itavt ci ad fa , 7?/
vt j. ad s . 'vel vt \s -ad p. Dico
guram ex pun^fo ffufpenfatTipquu
ponderare.^
ScceturiterJfm ac hifariamin
d, demifsa d e parallela dia-
metro ytrit iffa de^ diameter p a-
rabolf bec . Sumatur iam ai ter-
tia pars utius ac- J^alium igitur partium ac efi 24. taliu
ad ai Brgo d.f/rr/, dr fi 'una . Iam fi
figura non aquipondir at ex punBo f; Cum id fit libra quadam
cuiusfulcrumefi f, ^ ad punelum iapfenfum fit triangulum
a vb C a expunUp vero d appenfa Jk parabola bec; altera ex his -
figuris praponder abit . P-onamus prim)) praponder are parabolam
bec, fitqi exc ejjus quo praponderat aqualis /patio K.
Jnferibatur euidenter intra parabolam b c c figura rePf ili.
.nea ritaojt ornntsfimul rrfidua^por Hunc ula quibus parabola ex^
cedit inferiptamfibi figuram, minores fintfpatio^, Manifeftu j
aft , qu od infer ipt a euident er figura adhuc praPonder abit trian*
guloixhc.
Accipiatur ah c quarta pars totius trianguli a b c . Qum au- i
Hm ii ^ fit adhtptiMntemperpcndiculdris '"^ (^ triangulum bec
£ habeat
f 4 Dimenfione Parabolse
1 3 fnmi cintrumgTdmtdtis in reCia g e j eritdioium tridngulum
fquipon. dfffnfum ad d . iri angulum vero b hc appenfum adpunBum
x^y quandoquidem a \ tertia p^rs eft totius x-Cy ipfdvero ab per-
.pendkdiaris ad hori’i^ntem confiltut a eji^ ,^oniam autem b
e c ad.zhc efl vt vnumad 4. y erit idem h^c ad hhc vt vnu
ad s. nempe reciprocevt ii ad idyAequiponderant ergo expun
ifo f , triangula b e c , ^ h b c .
Sumatur iterum 2 l\c quarta pars trianguli ahc; quonia
duo triangula b m e , e n c aquiponderantex g {vti demonlira
Ltm . 8 . tum eii ) aquiponderabunt etiam fufpenfa ex d . Cum autem duo
^ diif a triangula bme, enc, fnt ad triangulum b e Cyjiue ad ip
Ji aquale ah c , vtvnum ad 4.3 erunt ad i hx y vtvnum ad ji
nempereciprocevt i i ad fd^ Aequiponderant ergo ex punClo
f . duo triangula b m € , e n c , eumtriangulo 1 h c. Figura ergo
vniu erf a euidenier infcripta intra parabolam bec. aquiponde-
rat ex punllo f . cum triangulo 1 b c . Sed eadem praponderabat
triangulo abc . Necejfe igitur eil quod triangulum abc mi»
nus Jit triangulo 1 b c . totumfua parte , ^md eH abfurdum .
Ponamus deinde praponderare triangulum abc, .^ Jit excef
fus quo praponder at aqualis fpatio K . Sumatur ahc quarta
pars totius trianguli abc. Iterum fumatur al c quarta pars
trianguli ahc, Ft hoc femper fiaty donec ventumfuerit ad ali*
quod triangulum , puta a i c, minus fpatio K . 'T unc enim tridn*
gulum 1 bc adhuc pYaponderahitparabol^ b c c . Sedeodem mo-
do, quo fupr a, demonslr abimus di^um triangulum I bc aquipom-
dLrareemdamf gura euidenter infcriptaintrd par dbolamhtc^
Vndcfequereturipfamparakolam bec minorem e Jle aliqua figu
rd fbi in f cripta ; totumvidelicetfua parte , ^upd e JI abfurdum..
Jequiponderat ergo femiparJboia^vtidiBumeH confli tuta ,
expundlo l fufpenfa. ^luod(J'C.
Corollarium .
Bine patet y quod ( cumfemiparabolaaquiponderetexpunllo
(i ah t dcfrdttaturreBahorizmti perpendicularisjnhac de-
m f . ./ 7 >/ dddrit-eentfumgrauitatisfemiparabo.la yaliasenimnon pqu$
Problema Primum . 5 5
ponderdref ex £ , Verum quoniam etiam diameter parabolg a d
horiZiOntem perpendicularis conBituta eft i concludemus 3 quo d
reSla qua ex punBoi ducitur diametre fquidiBans , tranfit p er
centrumfemiparabola ,
Propofttio IV»
P Arabola fefquitcrtia eft trianguli eandem ipfi bafim^ & cati
dem altitudinem habentis,-
P
Efto parabola ABC, cuius dia-
meter BD, triangulum veroiii-
feriptum (it ABC, Dico parabo-
lam didi trianguli efle ftfquiter-
tiam.
Sumatur, qualium partium to-
ta D C efl; 2 4.ralium D E 8.; D F 5^; & D G , 1 2 . Eritque ca-
r undem E F vna , &FG tres y Dudis vero E H ,.F I, G L , dia-
metro parallelis , erit in E H centrum trianguli B D C j in F I
centrum iemiparabolte D B M C, &in G L centrum portionis
BMC,
•Ponatur centrum trianguli effe pundum quodeumque H .
Item centrum femiparabolse elfe pundum quodcunque I
(quamquam huiufmodipunda extra ipfas figuras vbicunq; li-
buerit fumantur, tamen verum femper eod e modo inferemus . )
iunda deinde H I, &produda , in ipfa H I erit centrum portio-
nis parabolic^B M C ; quod cum fit etiam in reda G M produ-
da , necelTario erit in communi concurfu L . Parabola ergo B
M C ad triangulum D B C erit reciproce vt H I ad I L, hoc efl,
vt E F ad F G , nempe vt vnum ad 3, Componendo ergo , fum
ptifq; duplis , erit tota parabola ad totum triangulum vt 4 . ad 3.
Nempe fefquitertia. Quod erat propofitum,&c.
Poterat h^c demonBratio produci etiam hoc modo , prpmi^o
\ hoc Lemmate »
t S .frimi
Lemprn
ced.
^./e6s,n^
quif,
t. prim^
aqui^Qm
•M
Sipa^
De IMmeiidoneParabolise
Si forabila id cxtremumifdjis lineam habuetit didmiffB f i*
falleUm,(!r di dmetri quadruplam, duUoqi tertio latere, €om»
fleatur triangulum ^Vniuerfa hae figura fquiponderabit ex pu»
€io tertij lateris, in quofic dtuiditur vt pars ad €HTMamJ§rminA*^
$a fit ad reliquam vt j. ad
Efioparabola abc, euius diameter
d b fiatuatur ad horizontem perpendi*
eularis ; confidereturque ipfia parabola
inuerfa:T umad alterutrum bafis a c
extremum ,puta ad punllum a , adiunt
gatur reffa a e , diametro aquidifians ,
^ ipfius. diametri quadrupla . Duclo^
deinde tertio latere, ec triangulis ac,,
feceturin f, itavt c i, ad £e fitvt-
j, ad s » Dico huiufmodi figuram, ex:
Cfiendc f fquiponderare, ^^oniam
m infra enim ce ordinatimapplicatur ad diametrum zs; erit tota figu*
ra e a b c fiemiparabolai. Ergo ijfdem rationibus , eodemq; pro*-
grejfu , quo vfi fumus in lemmate, i z,oHendcmustotam figuram
aquiponderare ex f. Sumatur iam e i oElo earum partium , qua*^
liumtota sc ell i a. dr el 12. cf p,Eritq\ if earumderm
*vtta,(^ fli 3. Ergo c.um parabola Tnhc pendeatexpunclo l,
appenfa ad ipfum fecundum centrum grauitatis;tr i angulum <ue,»-
a e c ex punlio i ; erit parabola, abc ad triangulum a e c
rvt reeipToee i f ad FI , nempe v tvnum ad 3 ]. ; fiue ut 4 1 ad 12 \ .
«I eom • ^ propter e a ad triangulumv ti.hc ut 4.ad j.drc. E fi enim' abc
muni ha quartdpars ipfius zcc c!rc .Confiat ergo parabolam fiefiquitertiii
ft 7 * AC (ffe infcripti fibi trianguli .
sltitudi- ^
me
inver^
$n mw- Sfipd affumptum ell , nempe rectam c c ordinanm applicari ad
me quai diametrum a e , oftendemus hoc modo ,
fupla . jy enim non e fi ordiuattm applicata, c c , applicetur, ordinatim
c m y eritq-, m abc ferniparabola ,* fr qui t funt aquales ad , dc, ,
4h fetni- erit mc fect a bifariam in. XX, Ergo mxx fefquiterti a efi' ipfius n
parabtUhi fedetiom ea ob consiructionem fejquitertia e H .ipfius Ib^,
ergo.
if£if rettqUA e m fefquitcrti a eB reliqnp l n ; ^ e c 1 9 ,«
ifjtffs c 1 . quod efi imfoj^thile . B Ji enim dufld , non du- ti .
temfefquieerHd , ^jtare nuUd dlidfrfter ct tx functo c ordi-
fidtim dfflkdri fote fi ad diametrum a e .. 2 ^od(^c .
Fropo^iio V.
P >AraboIa fefquitcrtia eft trianguli camdcmipfi bafim , ean*
demq,* altitudinem habentis
Eflo paraBoIk'
A B G t cuius dia^
meter, B D, trian-
gulum inferiptums
ABG v Bieo pa-
ra bollim elTe fef-
quiterdam trian-
guli ABC. fibi
inferipti..
Si enim ita non- A H M. P C
cft,.ncq;triangu-
Ium A B G crittripliim duarum fimul reliquarum portionum h
E B, B F C Sed erit.vel magis quam triplum, fiue minus quam
triplum*.
Sit primo mihus quam triplum , eruntq; dua? reliqu» portio-
nes magis quam tertia pars trianguli A BC, Efto exceflfus ae-
qualis Ipatio K , & inferibanturintra-portiones primum trian-
gula A E B , B F C ; iterumque ih reliquis portiunculis quatuor
triangula A G E , E H B , BFF , F E C j deinde odto &:c. & hoc
femper donec excelTus portionum ftipra inferiptas' euidenter fi-
guras fit minor fpatiok. Tunc.n. erunt inferiptar figur;^ adhuc
maiores quam tertia pars trianguli ABC.
Sumatur iam triangulum A B M' quarta pars totius trianguli
AB C . Et quoniam ABC quadruplum eft tam trianguli ABM ,
quam triangulorum A E B, B F G fimul fumptorum, aequale erit
irian-
58 D&Dimenfibne Parabolas
triatiguium A BM duobus fiinul triangulis A E fi, BBC
propterca triangulum M B G triplum erit duorum Emul trian-^
giilorurh' AEBVBFC.
Accipiatur iterium triangulum A B N quarta pars cotiqs trian
guli A B M.. Cum ergo A B M quadraplum fit ipfius A BN; Sc
ltm,7^ duo A E B , B F C , quadrupla fintquatuor fimul fubfequenciu
triangulorum AGE,EHB,BIF,FLC; cumque anteceden
tia fint trqualia , tequalia erunt etiam confequentia;& propterea
cum triangulum NB M triplum fit trianguli ABN, triplum etia
erit id cm irian gulum N B M . quatuor fimul triangulorum A G
1 a E E H B , B I F , F L C. Et vt vnum ad vnum ita omnia fimul
ad omnia * Qmare totum fimul triang ulum N B C, triplum erit
figurarum euidenter intra portiones i nfcriptarum . Sed triangu
Ium A B C minus erat quam triplum earundem : Ergo A B C
minus cfi; quam NBG totum fua parte . Quod efi abfurdum &c.
Ponamus deinde-triangulum AB Gefie plus quam triplum
duarum fimul reliquarum portionum . Efto : & excefiui, quo eft
magis quam triplum , tequale fit fpatium k .
Accipiatur A B M quarta pars totius trianguli A B G 5. Ite-
rum fumatur A B N quarta pars ipfius A B M . Et hoc femper
fiat donec veniatur ad aliquod triangulum, puta ABN, quod
minus fit %atio K . Eritq: adhuc triangulum NBG magis quam
triplum duarum portionum * Sed eadem prorfiis ratione, & or-
dine quo fupra , oftendemus triangulum NBG triplum elTe cu-
iufdam figurae intra portiones euidenter infeript^ ; Necefie igi-
tur erit quod portiones ipfe minores fint quam figura intra ip-
fas defeript^ : T otum fua parte . quod eft impofiibile .
Triangulum ergo A B C duatum reliquarum portionum tri-
plum efi 5 componendo j & per conuerfionem rationis para-
bola ad fiium triangulum erit vt 4. ad 3. Nempe fefquitertia *
Quod erat propofitum &c*
Lemmd XII*
Si parabola tres tangentes habuerit, duas ad bafim, tertiam
ver6’per verticem : Erit triangulum fub tangentibus comprae-
henfum, reliquae figure ( 4?mptd parabola^ triplum . •
Problema Primum # 39
Mfio fdrahold
abc ^cmusdid^,
meter b dy td/^^
gentes ad bafim
ZQyCtifitrumtt*
€emvtfa^hg.
Bico trian^u
Ium f e g , Juk
tangetibus com^
frfhenjhm reii-
qudi jigiir^ mia^
tae abegf (dc
ftdfcihcetfaYaholaJtrtflumeffe,
Sientmmn eB triflnmyerit e erthm^^ uel minus quam
triflum. '
Si tfrimb minus quam trif Ium l eritq i reliqua figura mixta
abegi, magis ,qukn tertia fart trianguli f e g - Sit exi efifus
K . Ducanturq; fer uertices ahfciffkfum fort.ionum tangentes
h i , I m ,* Jterumque qer uerticesfiubfequentium fortiomtmi ta^
gentes agantur n o , p q, r s , t \i . c^ hoc fiemper ; donec excejfius
figurae mixtae abegf, fupra figuram ex iriangulis conii an- ,
tem nopqrftu g f , mimis aliquando relinquatur quam fpa--
tium K . T une enim eritadbuc figura ex triangulis inferipta
maior quam tertia pars-trianguli .
Accipiatur triangulum f e i quarta pars trianguli f e ,g y erit
que triangulum f e i aequale duobus fimul triangulis h f i,igiii .•
( c um tam ifia dito y quam illud folum ^fubquadrupla pM eiufde qitm,
trianguli { q Ergo tri angui, i e g triplum erit duorum [imul -
triangulorum hfi,Igm.
Sumatur it erum triangulum f qx quarta pars ipfius fe i.. Cum
que fit f e i quadruplum trianguli fex yduo ‘vero triangula h f
i , 1 g m quadrupla fi rit q u at uorfiimultr i angulorum n h o , p i q Lem
I r 1 f , t m II , ffi Antecedentia aqualia ; etiam conficquentia aqua-
. lia erunt yeritqyjriangulum f e x , aquale quamorpr adiB is trt ^ ,
. angulis n h o , p i q , 1 1 s , t m li .• propter e a x e i triplum erit
eorum-
40 De Dlmenfione ParaboI^
eorumdem quatuortrianguhrum . €umq,Jtt vt vnumMdvnum^
itd omnidAd omnia. : Erit totum /imui triangulum x-e g triflum
vniuerfa figura reCtilinea intra figuram mixtam irficrtfta , Sed
aiufdem figurf inficrifta triangulum f e g minus erat quam trU.
f Ium ineeeffe igitur efivt triangulum fcg minus fit quam if*
fumxt^ totumvidelieetfua farte » Ssi^dtUimfofftbile •
Tonamus deinde triangulum f e g ejfe flufquam triplum reU^
quf figura mixta dempta parabold E fio & fit excefius aqualis
/patio k ,
Mcipiatur tridngtelum quarta pars totius fcg.* & ite^
tum fumatur triangulum fex quartapars trianguli fe i:(jrhoc
fiatfemperdome veniatur ad aliquod triangulum ^ puta fex,
quod minus fit [patio K . Er itq. triangulum x e g adhuc maius
quam triplum reliqua figura mixta abegf. Sed eadem peni^
tus ratione , atque ordine vt fupra , ofiendemus triangulum xcg
effe triplum cuiu/damfigurf intra figuram mixtam a b c g f, d^^
fcriptf^ Hecefie ergo erit , vt figura mixta a b c g f . minor fis
quam aliqua figura (ibi inferipta ; totumfuaparte ^ed e fi ah
fur dum .
Si ergo parabola tres tangentes hahuerit , vt pofitum sfi , erit
triangulum fub tangentibus contentum^reliqua figurae j dempta
parabola triplum , filuoderatpropofitumt^e.
Propoftio VI.
P Arabola fcfquitertia cft trianguli eandem ipfi ba(iiTi,& e^0
dem altitudiaem habentis*
Eflo parabola ABC, cuius
diameter BD ; dua: tangentes
A E, CE ad tertia F
BG per verticem. Dko para-
bolam fc fquitertiam elTe mfcrip
li f bi :trianguli ABC.
Tiian guium enim F EG .ad
duo
Problema Primum. 41
duo trilineai mixta AFB, BGC per pracedens lemma, eft
vt 3 .ad vttum .. Ergd trapezium , A F G C (cura triplum fic
trianguli F EG/adduo eadem trilinea mixta eritvt^.ad vnu.
Et ad parabolam erit fperconuerfionem rationis^ vt 9. ad 8 . 6 c
ad triangulum ABC, erit vt 9. ad < 5 . Qualium ergo pardum
parabola eft odo »taliumtriaugulum ABC cft^; Quare pa-
rabola ad infcriptumfibi triangulum eft, vt8. ad d. nempe fet*
quitcrtia.. Quod erat &c,.
Lemma XII 1 \
Si parabola tres tangentes habuerit ;:duas ad baiim ^ tertiani
vero per verticem i & ex vniuerfa figura dempta fit parabola»
dimidiumq; trianguli fub tangentibus contenti . Reliqua figu-
ra aequiponderabit ex quodam pundo , quod ita integram tan?-
gentem lateralem diuidit, vt pars quj]e ad contadum curuse ter^
minatur fit ad reliquam vt 9. ad vnum •
‘ E Ho parabola a
bc , cuius diame^
ter bd concipia^
tur ad hori^ontem
perpendicularis i
Sint que dua tang^
tes ad hafim ac,
cd, verticalis *ve^
ro tangens e b f .
SeUd deinde late^
tali cd in \i^ita
vt e h ad h d fit
vt g. ad vnum '3, Di
( 0 figuram huiufmodi ( dempti parahoQ y ^ fiemi triangulo- ver*,
ticali eb dj aquiponderare expunUo h .
Sumatur d i quinque partium earum , quarum d f efiisfiue
quarum d h ei? j . Eritq-, d h h i vt 3 . ad 2. Cum autem
b d fit ad horiziont em perpendicularis , portiones mixt^ a b e ,
F bef,
r
42 » De DimenfioneParabolae
b c ty aff^enf^ erunt fecundum centrumgramtdtis ad fune^um
b , fiuead fundum d . Xnangulum vero . b d f ^ ^ eandi m cau^^
famy fr eodem modo f^endebit centr aliter exfundlo u (quando-
quidem ii dufla e Jiipfius id ; &ipfa d b ad horizontem per^
pendicuUris,) lamfitBa magnitudines non aq uiponderane tx
h punBo libra d i , altera ipfarum praponderabit ,Efo i pra-
ponderent primo dua portiones mixt^ a b e , b c f , Sitqi excef-
fus quo praponderant i aqualis f patio Yi.
Infcribatur intra mixtas portiones f gura ex tangentibus , vt
idm fapefaEtum e fi . Donec e xcejfus portionum fuprd figuram re^
Uilmeaminfcriptamminor sit f patio YLT unc enim figura inf cri-
pta adhuc praponderabit triangulo b d f .
Accipiatur triangulum dio quartapars totius trianguli df
fjf tm* b; erit q i triangulnm dfg aquale triangulo nfo ( cum ambo
fintfubquadrupla eiufdem trianguli d £h)dr propter ea triangu-
lum d f g ad duo triangula 1 e m , n f o , erit vt vnum ad 2 . er-
go h^i ad duo triangula 1 e m , n f o , erit vt ad 2 . nempe re-
ciproce vt d\\ ad h.i , T riangulum igitur b gf, duotrian
gula 1 e m , n io ytx punBo h aquiponderan f inuicem .
Sumatur iterum dfp quarta pars totius d/g,m>^; dfp.
aquale duobus (imul triangulis qua fiunt infra pundia n , cf o .
'II ( Sunt enim quarta partes aqualium triangulorum d f g , n f o ,
Tropureatriangulum dfp ad quatuor fimul triangula \,myXiOy
erk vt vnum ad 2 . Sed triangulum ip i ad eadem qudtuor tri
angula. erit vt i. ad 2. nempe reciproce ‘i// d h , ad hi . Aequi-
ponder at igitur triangulum p f g , cum quatuor diCfis triangulh.
I, m, n, o, ex pundlo h . filuamobrem vniuerfa figura intra por-
tiones infcnpta aquiponderabit cum triangulo bp i ex pundlo.
\i .Sed eadem pff ponderabat triangulo bdf. NecefiejgttureB
vt triangulum b d i minus fit quam triangulnm hp ii totum/ua
parte, ^upd ejfe non pote
Tonamus deinde pr ^ponderare triangulum bdf dudiusfimul
portionibus mixtis a b e , b c f id " ponatur excejfus quo prapon-
der at yf qualis fpatioY.,
Accipiatur triangulum dfg quarta pars ipfms d f b.d"/V^.
rum
Froblema Primum • 4^
fumfum4tur dtp quartd fars ipfius d f g , cJ- fic Jempet , donec
•veniatur addit quod triangulu,puta d f p minus fpatio K. Tunc
enim reliquum ttiangulU adhuc pr^ponderabit portionibus mix-
tis a b e , b e f . Sed ojiendemus eodem penitus argumento^ atq;
erdinevtfupray idem triangulum pfb fquiponderare alicuifi-
guYf intra portiones ■^h e y bef, deferiptp , Necejse ergo erit
quoa ipfa duae portiones mixtf minores sint quam aliqua Jibi in-
fcriptafgura totum fua parte i quod e fi ab fur dum . ConUat er*
go quodpropofitum fuerat .
Frbpopm V th
P Arabola fefquitertij cft tiianguli eandem ipfi eS-
d em altitudinem habentis ..
Efto,ut in prrecedenti lemmate, para^
bola A. BC. cum duabus tangentibus
lateralibusjfiue ad bafim, AE, GDi at- D»
que EBF per uerticem . Concipiaturq;
diameter ad ) lorizontem perpendicu- %
laris;:& ablatd parabola , detradoque
dimidio uerticalis triangulij accipiatur.
D l tertia pars totius DF, & iit DH feF-
quialtera ipfius HI . Aequipond erant
ergo ( per lemma prsEcedens ) ex pun-
do FI librse DI, due magnitudines.
Nempe hinc dutr portiones A B G F|E appenfse ad pundum D ;
inde uero triangulum DBF appenfum ad pimdum I . Qu;im-
obrem D B Fad A B C F E , erit ut reciproce DH ad HI, nem-
pe uf: ad 2 . Sumpiifqj antecedentium duplis, ^rit totum uerti-
cale triangulum E D F ad reliquam figuram rrixtam triplum,
Propterca / ut in Propofitione lexta d emonfiramm efi:)para bo-
la inferipti fibi trianguli fefquitcrtia erit . Qnod erat propefi.
tumdemonllrare»
¥ %
Lem-
44 Dimenfione Parabolae
Lemmd X IV^
Si duorum conofum latera trianguli per axem f€(51a fuerint
in partes «quales numero , & magnitiidinc^ du(5iifque per pun-
i^la fedtionum planis bafi parallelis , fuper fedtioiium circulis
intelligantur cylindri «queaiti intra conos deferipti: Erit ut pri-
mus conus ad fecundum, ita omnes cylindri primi coni, ad oni-
nes cylindros fecundi coni ,
duorum conorum tridngu
Id fer dxem a b c , de f , duo
eorum Idtcra^f utd a b, d t^fecen
tur in fdrt es numero d qudles;
nemfe in totidem fdr te s diui^
ddturtdm a b , qudm d c ,• Jintq\
fdrtes Idteris a b pqu^les inter
fe y& fdr te s d e itemdqudlesinterfe,. TiuBls deinde fer fin*
gula feUionum funBd f lanis g h , i\&c, bafi a c fdr alie lis ;
itemflams mn , opdre. baji d f farallelis; Concifiantur cy^
Undrl .eiufdem altitudinis intra conum a b c dejeri
fti ,* itemq; irt altero cono alq cylindri aquealti intelligantur i
JDicoeJfevt conus ab c ad conum dtiyita omnes cylindros c$^
ni a b c std omnes cylindros coni d ef ,
‘Concifiantur duo coni g a h> m d n ; quorum tertie es fint t
d , bafes 'uero circuli g h , m m
Jam i Cylindrus zh dd conum g a h, efl vt cylindrus dn ad
conum mdn^ (nemfe in ratione trifla) conus vero gah ad co-
num g b h in eadem baji^ ejlvt ad gb ; fiut (frofter diui-
Jionemin c onBruBiojs e adbibit amjvt dm ad me, hoceH vt
conus m d n ad conum m en . Conus demque gb h conum
fimiUm ahcyefl vt cubus g b ad cubum ha; fiu^ (frofter cen*
JlruiHoncni) vt cubus m e ad cubum e d, nef e vt conus mea
ad conum fnniltm d e f. £luareexaquo cylmdrus ab ad conii
ab Cycrit ut cylindrus d n ad conum d e f. Btfermutando cy-
lindrus ah ad cylindrum d n er it vt conus a b c ad conum def,
, V Iterius ^Cylindrus etiam gl ad cylindrum eodem fe-
nitus
Problema Pnmum 45
mttHsmoh demmftrdiur ejfe viamus g b h adeofium m c n,^-
vt conus ad conum d e fi ^ /f&c modo femfer , Ptoffe- * *
rea vtvnus cylindrus ah advnum dn, itdquilihct antcceden
tium ad quemlibet confequentium , er£o vt vnus ad vnum^nem^ ti ,
pe vt conus a b c adconum d e f , ita omnes Jimul cylindri coni
a b c , ad omnes Jimul cylindros coni d e f » ^t^od c^c^
Lemma XV*
Dato trilineo mixto , fub linea parabolica , eiufq; tangente »
& alia reda diametro parallela compr^henfo; poflibile eftin
dato trilineo figuram inferibere conliantem ex parallelogram-^
mis^quealtis,quie figura deficiat a trilineo mixto minori difi*
ferentia quam fit qu^cumq» data magnitudo .
Bjlo linea parahoUca a p
b c , cuius tangens c d , d*
diametro aquidijlans Jit a
d. Dico intra trilineumin-
tum a b c d • deferibi pojfe
f guram conjlantem ex pa^
rallelo grammis f que altis ^
quae figura deficiat a trilix
neo mixto , minori defeBu
quam Jitfpatium quodeun*
quedatumYL,
Secetur enim d c bifari-
am in X i iterumq') partes bi L
foriam diuidantur in h d*
in p 5 femperq'^ hoc fiat ^do-
nec veniatur ad feBionem
aliquam puta d e , eiufmo^ ^
di^ vt parallelogram. a d e ,
mimsfitfpaM K. {SuodMUtmht fieri pnp.p^tet. Si enim
compleatur fardUkgrammum adc.ex ipfo per continuam bU
JeCUenem/tmper detrabim dimidium i ergo tandem remane^
Mt
46 De Dimeniione Parabolj
a e minus quolibet duto ffatio .) Ducantur dande eotfUn*
itis fi itionum reilp e f, h g &c. aquidi It antes ipf d a ifer pun.
ita autem i , b vhi p ar aliti ffecant parabolam , ducantur
i g,mn ^ c .aquidif antes tangenti cd . Etfaitum erit quod
oportebat .
r arallelogrammum e nim co, aquale efi ipf & addito
communi o i , erunt duo ( o , o r , aqualia ipji r q ,f u€ ipfi r f /
additoq; c emuni r t , erunt tria c o o r , r t , aqualia ipf t p, hoc
af ipfWy additeqi comuni tz . fefemper procedendo ^ trunt
dtniq, omnia /mulparallelograma cortz.ybia aqualia ipjipa
rdlUlogramo a e . nempe n inora fpatio k. M ulio igitur minor erit
defiitus fgurain/criptf ex parallelo grammis aquealtts compo*
ftfyatrilineo m^xto abed, quam Jhpropoftumfpatium iC.
d^od erat
Corollarium ► '
Hinc no t abimus , quod eodem prarfus modo , e}demq; opeta-
tioncyfgura etiam circumferibitur dato tri lineo mixto ^conflans
€x parallelogrdmis aquealtts^ ita vt e xcejjus f gura circumferip
ta fupra ipfum trilineum , minor ft quocunque fpatio dato K.
Lemma X V /.
Si parabola tangentem habuerit : & infuper duas redas dia-
metro parallelas , quas duo triiinea abfdndant fub tangente , &
iineaparabolicacompr2ehc nfa5 Erit figura cx paralielograra-
tiiis sequealtis conflans in maiori trilineo dekcripra , ad figuram
t iufdem fpeciei in minori trilineo defci iptam, vt cubus maio*
ris tangentis ad cubum, minoris ,
Lito parabola a b c , cuius tangens c A i diametro paralie^
la ft vtraque d a , e f ; fant duo triiinea mixta a b c d ma^
iusy f b c e minus . Dico^fi in utroque trilineo inferibatur fi-
gura eonfians e x parallelogrammis aqualibus utrimque numero^
{ut in prae edenti Lemmate expofitum efi J figuram tri line i a b c
d;, ad figuram trh
iamus^
in ei f b c e , effe ut cubus 6.C ad cubum c C .
( ad euitandam linearum multitudinem^dr con
Pf oblema Primuffli i 47
fUjtontm } tfu
angulum gcc
€um fud porth
ne pdrdholf m*>
terccptd fhc,
transfern^tttf
fe idem quod
pojttum efifuh
Jignis h i 1. /ri
lineumq, f bc
c ejfe idem eu
triliueomnVu
InfcribMUf ^
idm in utroque
trilineo abcd, ^ mnli, {quod quid em repfdf ent dt ipfum
fbcc trujldtum) jiguYdconftdnsexpdrdllelogrammis dqu edi-
tis i fit idem numerus parallelogrammorumin utroq» trilineo,
Intelligdtur et idm eonut , cuiusuertex c, fiue 1 ; ^ didmeter
bafis fit , hinc quidem ad, inde uero h i . Smtquein fingulis
eonifegmentis cylindri iquedlti op, qr^e.
Idmpardllelogrdmmumh^ dd (diy efiutrebfd hv dd fp,
hoc cft ut quddrdtum rc dd cp; hoc eH uiiquddrdtum rt dd*^P^m\
quddrdtum pu,- hoc efi ut cylindrus qx dd cylindrum
Eodem modo , erit pdrdlelogrdmmum x r dd fd, ut cylindrus
yr ad ud . Ergo erunt duo fimul par dllelogrdmmd bp, xr,
dd lA; Mtdm fimul cylindri cp, yYyddcfimdrumud, Pro-
cedendo itdquefemper hoc modoy dr denique componendo ycrit to
tdinfcriptafigurdexpdfdllelogrdmmiscGnftansinmlmeo ab
c d , ddpdrdlUiogrdmmum f d, ut omnes fimul cytmdrlyqm in
sono acd, dd cylindrum ud*
Amplius ipdrallelogrdmmum fd dd til compositum hah ei
TdtiomnHtxrdtioneretffip dd nz ^ siue quadrdti pc ddzl
{funt enim dua figura , fed circa eandem parabolam translatam )
siue quadrati p u ad zKp Et ex ratione re6ld Ap ad \z, E B
ergo par dlklogrammum [d ad ni m cylindrus ud ad ki,
lieni-
Ijcnique faralUlogTdmmum n i dd tot am figuram infcriptamin*
4pnde-^ tratriiincum mnii, e fi ut cylindrus ki ad omnes cylindros
conum hli. Propter ea ex ^quo erit figura ex
in MterO' p ar alUlogrammis conBans infcripta in maiori trilineo a b c d ,
pgura . aa figuram ex parallelo grammis infcriptam in minori trilineo
m n 1 1 , ut omnes cylindri in cono a c d W omnes cylindros in co-
j^Q hli. Nempe ut conus a c d ad conum hli, hoc e fi ad conum
g c c f qui idem e fi . ') Nempe ut cubus Ac ad cubum c e . fifuod
erat (fi c.
Lemma XV 11*
Si parabola tangentem habuerit, &infuper duas diametro '
parallelas redas lineas, qu^ duo trilinea mixta abfcindantiE-
runtinter fe abfcilTa trilinea vt cubi fuarum tangentium .
Lfio parabola a b c , cuius tan*
gens c d : ffi’ diametro parallela
fit utraque d a , cb . Dicotriline*
um mixtum a b c d ad trilineum
mixtum b c e , efje ut cubus tan*
gentis d c, ad cubum t agentis
ce.
Si enim ita non eByit alterum
illorumyi pojjibile efi, maius qud
Ht habeat dUlam proportionem ad
reliquum ; fir ponamus illud ejjfe
a b c d, maius quam quod efie de-
beret exciffa K.
Infcnhatur intra trilineum a b c d figura ex parallelo^am^
mis f que altis con lians ; ita ut a trilineo deficiat minori defeClu
Ifm. 15 qitam sit fpatiumV (h^c autem fieri pofife ofiendimus) H ahebiu
que adhuc figura infcripta ad reliquum trilineum bce m at ore
rationem quam cubus Ac ad cubum cc ,
Infcribatur intra alterum trilineum bce figutL eiufdemfpi
cici /d eiufdem numeri par alie logrammorum c umdeferipta tn-
Preoblma Primum . 4p
' tfd trilineum a b c d . Erit er^o figura inf cripta trilineo a b c d
ad figuram infcriptam trilineo bce vt cubus ad cubum
ce. Sed eadem figura infer ift a trilineo abed ad trilineam
bce habet maiorem rationem quam euhus d c ad ce. Mi-
nus ergo efl trilineum bce quam in fcrifta fibi figura . totum
Jua parte , ^md efi impofitbtle , Conflat ergo propofitum ^
Propoftio V i IL
P Arabola fefqukertia eft tria ngiili eandem ipfi bafim, Ik
eandem altitudinem habentis .
Efto parabola ABC, cuius
diameter BE, tangentes vero
A F , C F , produ eoufque ,
donec occurrant ipfis A D , C H,
diametro parallelis . lunganturq;
red^ line^ AB, B C. ( licet in fi-
gura omifig fint.^ Dico parabola
trianguli ABC efse fefquitertia.
Erit enim A B C D ad triline-
um B C F , ut cubus D C ad
cubum CF, nempe ut odo ad
unum . ( cum enim fit ut A E ad
ECjita DF ad FC, erit DF aequalis ipfi FC; cubufqj
D C oduplus cubi CF .^ Item tiilineurn CB A H ad tri-
line um B A F, eft ut odo ad unum . Coniundim ergo erunt
duotrilinea ABCD, CBAH, ad fpatium A BCE. ut
odo ad unum . Et diuidendo bis,erunt duo triangula A F D,
CFH, ad fpatium ABCF, ut ad unum . Quamobrem
triangulum AFD, fiue AFG ad/patium ABCF erit ut
3, ad unum 5 & ad prabolam erit ut ad 2, uel ut 6 , ad 4. Pro-
pterca parabola erit ad triangulum ABC ut 4. ad 3. Nem-
pe fefquitertia . Qupd erat propofitum demonftrare, 6cc.
G
Eem*>
50 De Dimenfione Parabolae
Lemma XVIII.
Si fuerit yx prima magnitudo ad Iccundamsita tertia ad quar-
tam ; Et hoc quoticfcunq; libuerit . Fuerintq; omnes primse in-
ter fe , item omnes terciiE magnitudines inter fe aquales . Erunt
omnes primse limul ad omnes fecundas, vt funt omnes tertias fi-
mul,ad omnes quartas magnitudines .
aI e! il
BlE, Et
1
1
I
c
D<iDj.D Q
JW-
>rr
E fio vt a j)rima ad b fec undam
c tertia ad d quartam . Et iterum vt
c prima ad f fecundam^ ita g tertia
ad h qMartam':,Et fic quotiefeunq-i libue-
rit . Sintqi omnes prima a, e, i, &c.
item omnes tertia c , g , m , d^c. inter
fe aquales .
Dico omnes primas fimul ad omnes fie- p jsf
eundas fimuldtaejfievt funt omnes fimuL fl D jj|
teYiia^ado7nnes quartas magnitudines , ^
£luoniam enim conuertendo efivth
ad a ita d ad c. Itemvt £ ad e ;
(tue ad aqualem a , ita h ad fiue
ad a erunt fimul bf ad^^y vt funt d h fimulad c. Hoc
modo procedendo , oHendemus omnes fecundas fimul cfie ad a ,
vt funt omnes quarta fimul ad ipfam c. Ipfavero a ad omnes
1 5 ^um- primas € fi vt c ad omnes tertias (funt emm aquefubmultiplices)
Ergo ex ^quo omnes fecunda ad omnes primas y funt vt omnes
quarta fimul ad omnes tertias . C onu er tendo igi tur coli at quod
eratpropofitumdemonjlrare . . _
♦ ^
. Lemma, XIX.
Si parabola tangentem habuerit ad bafim j ex alia vero par*^
te redam diametro parallelam - Erit triangulum fub tangentCj
& parallela diametro, ipfaq; bafi compri^henfum, ipfius para-
bolse triplum.
24 . ^utn
ii .
il
£Jlo
51
a t
Problema Primum
EBo pdrdbold a b c ,
€Uiustdngensc d, pdrdl-
leld didmetro fit a d; Di^
€0 trUngulum a d c efih
pdrdbold tpfius a b c , trt
pium .
Si enim non e fi triplum
pdrdbold jper conuerfione
rdtionis^non erit fej qui dl
terum mlinei a b c d ;
proptered f duplicdto dn^
te cedente ) totum par dlle-
iogrdmmum a e non erit
triplum tnlinei abcd .
Trilineum ergo abcd -er it 'uelplus ^ vet minus quum tertid
pars parallelo grammi a e . Pmaturprimum efie plus quam tertia
pdrs ^^(j ftt exeefiui fqualefpdtiurn K .
Infcribdtur intra trilin eum abcd, figura con jlans ex pardi
lelogrammis aque altis ^ deficienfque ab ipfo trilineo minori defe--
Ciu quam fit ipfumfpatmm K . Btinfcripta idm fit e iufimo di
gura . Erit ergo adhuc figura inf cripta plus quamt mia pars pa^
rallelogrammi ae. -
C onctpidtur cma rectam a d , circulus , qut fit bdflscumjfi
dam emi 'vertice habentis in punBo c . fuper eMebaJi intel^
ligatur cflindrus a e eiufdem altitudinis cunp ipfo cono ; feciufi
que Jit tam conus quam cylindrus planis bafi parallelis per fingu
las rectas hi, c. duitis . Concipiantur etiam intra
conum- ^ edi cylindri dquealti po , i./m/-.,
lamfic: Parallelogrammum zi ad n d , efivt reltd ail^
o n .nempe vt quadratum dead quadratum c o,- fime , m qua - '
drdtum d a ad quadratum o g , nem pe , rut cylindrus a f ad cy* ? •
iindrumap O y Etficfiemper . Suntq\ omnes prima magmtudi-
nes ^oyiales pdrdllelogrdmmo dfitl^o- aquales inter fie om»
nes autem tertia magnitudines aquales cylindro a f, atyue idett
^e. Etmt ergo omnes prima Jimuf hoc efiparalleldgya.^ts-
G 2. mum
guk
5 1 De Dimcnfione Parabolas
nmjn a q , dd omnes fecundas fimuf nem-pe ad figuram infcripta
tntrilineo abcd, 'ut funt omnes tertia nempe cylindrus
ad omnes quartas fimulfoc ejl ad omnes cylindros intra co^
ntim a c d defer iptos . Conuertendo igitur ,* erit figura tnlinets
infcripta ad par allelogrammum aq v temnes cylindri intra co-
num aed ad cylindrum aq . Par allelogrammum vero 2 l(\ ad
par allelogrammum a e eflvt Ao^ad hoc e fi vt cylindrus a q
ad cylindrum a e * Propterea exaquo , figura inftripta in trili-
neo ad totum par allelogrammum a c , erit vt omnes cylindri in
cono inferipti ad cylindrum a e . Sed figura infcripta in tr it ineo
' efi (ex iam diSlis ) pUfquam tertia pars parallelogrammi a e , rr
go omnes cylindri in cono defbripti erunt plufqua tertia pars cy-^
lindri -xt -i nempe maiores quam conus a c d . pars videlicet fuo
toto» ^od efi impofiibile , ,
Sed pondmns nunc trilineum xhc A efie minus quam tertia
pars parallelogrammi a e yfitqydefeBus aqualis j patio K. Cir-
CofelLt cf^pffcYihatur trilineo abcd figura conHans ex parallelo gram-
* * mts aque altis excedenfq; minori exceffu quam fit fpatium K; dt
erit fgut a circumfer ipta adhuc minor quam tertia pars paralie-
logrammi ac *
Concipiatur iterum cir
carePlam ad circulus
pro haji coni , qui vertice
habeat c; itemqiproha^
fi cylindri a c e d eiufde
altitudinis cum ipfo co*
no xc A*
IntelligatUY infuper
circa conum def cripta fi-
gura folida conflans esc
cylindris aque altis aq*
^i&c^
Jam parallelogram^
mum X f ad par allelogrammum aq (ob aqualitatem ) eB vt cy^
lindrus a d f g 4d cylindrum a d q r . Amplius * Parallelogram
mum
Problema Primum . 55
. mum ad 'paralltlogrammum li efi adlo^i
nempe vt quadratum 6.C ad quadratum c q , fiue vt quadratum
da, vel i ad quadratum gq,* nemf e vt cylindrus gh adcy^
lindrum g i. ^ hoc modo femper . Suntqi omnes fingilla-
tim prima magnitudines aquales parallelogrammo af, (^ideo
inter fe: item omnes terti^ aquales cylindro oh id interfa
ergo erunt omnes prima [tmul^ hoc eB parallelogrammum a e, ad
omnesfecundas Jimul^ hoc e fi ad figuram trilineo circumfcriptdy
vt omnes tertia fimuly nempe cylindrus z.c, ad omnes quartas
fimuly nempe ad cylindros conum acd circumferibentes , Con-
uert endo igitur y erit figura c irc um fer ipt a trilineo <^ad parallelo^
grammu?n ae,'r// omnes cylindri circumferibentes conu ad cy-
lindrum a c . Sed figura trilineo circum fer ipt a minor e fi quam
tertia pars paralio grammi a e ,• ergo etiam omnes cylindri circu-
/cribentes conum minores erunt quam tertia pars cylindri ae>
Nempe minores cono acd. T otum fu a parte : quod eff f non p§--
tefi . Triangulum ergo a d c ipfius parabola omnino triplum erit,
^teodpropofitumfuerat ,
) Propofitio / X*
P Arabola fefquitertia efl: trianguli eandem ipfi bafim,'&
eandem altitudinem habentis •
Efto parabola ABC, cuius dia-
meter E B , triangulum inferiptum
fit A B C , Dico parabolam trian-
guli ABC cfTe fefquitertiam ;
Ducatur enim tangens CD, &
fit reda AD diametro iequidiftans:
Erit ergo per priEcedens lemma ,
triangulum ACD parabolae triplu;
& propterea erit parabola partes
quatuor carum, quarum triangulum
A D C eft duodecimjnempe qualiu
I ./exii,
«h par»^
hdsm .
ob pmili
tud.tria*
gPiU
trian-
54 Dimenfione ParaboI^
triangulum ABC eft tres . (triangulum enim A B C ajquale
eft triangulo EF C,cumvtrumq; duplum Iit trianguli EBC,
ergo triangulum ABC quarta pars erit totius A D C . j Con-
flat ergo parabolam ad infcriptum fibi triangulum elfe vt 4. ad
3. Nempefefquitertiam. Qupd&c.
Fropofitio X.
r
P Arabola fefquitertia cft trianguli eandem fibi bafim > can-
demq; altitudinem habentis .
Efto parabola ABC
cuius diameter BD. Di-
co parabolam ABC in-
fcripti libi trianguli elTc
felquitertiam .
Compleatur parall elo-
grammum ADBE, &
nili parabola fefquitertia
Iit trianguli libi inferipti,
neque (fumptis dimidijs )
femiparabola ABD fef-
quitertia erit trianguli A».
B D j neq; eadem femipa-
rabola ABD erit 2 . tert. parallelogrammi ED> fed vel plus,
vel minus quam 2. teft. eiuidem .
Elio primum fi fieri potell femiparabola ABD magis qua
2. tert.parallelogrammi E D s ■& ponatur exceffus sequalis fpa-
tio K • Ipliqj femiparabol^e figura inferibatur conflans ex pa-
rallelograiTimis aequealtis ( more apud Geometras vlitato, pro-
ut flidum efi Lemmate HY,) ita vt difeentia inter figuram in-
feriptam , & ipfam femiparabolam minor fitfpatio K. Tunc
enim infcripta figura adhuc maior erit quam a .ter.paralielogri
mi ADBE. ...
Duca-
Problema Primum * 55
Ducatur circa diametrum A C femicirculus AXC, com-
pletoq; redangulo , fiue quadrato A F X D . ducantur G L, H
M, IO perpendiculares ad AC,& compleantur redangula
D L , G M , H O ; Tumintelligatur figura A F X D circumuer
ti circa axem A D ; ita vt quadrans ADX hemifphsrrium de-
fcribat , quadratum vero A F X D , cylindrum j & redangula
in quadrante infcripta totidem cylindros faciant in ipfo hemif-
phcrrio comprsehenfos .
lam parailclogrammum BG ad PD, efivt BD ad GP,
fiue vtredanguium C D A ad redtangulu C G A ; fiue vt qua-
dratum X D ad quadratu L G i fiue vt cylindrus X G ad L D.
Ethocmodofemper. Suntque omnes primae magnitudines as*
quales parallelogrammo B G, & omnes tertiae aequales cylin-
dro XG. Ergo erunt omnes primaefimul , hoc efi: parallelo- Lm.it,
grammura T D, ad omnes fecundas fimul , nempe ad figuram
inferiptam in femiparabpla , vt funt omnes terti^ fimul , nempe
cylindrus V D ad omnes quartas fimul, hoc efi: ad omnes cylin
dros in hemifphaerio inferiptos . Parallelo grammum vero TD
ad E Deftvt cylindrus VD ad FD, ergo ex aequo, erit pa-
rallelo grammum E D ad figuram in femiparabola inferiptam
vt cylindrus FD ad omnes cylindros in ipfo herrtifpliaerio c6-
pr^henfos. Sed parailclogrammum ED minus eft quam fef*
quialterum figurae intra femiparabolaminfcriptcc; Ergo cylin-
drus FD minor erit quam fefquialter omnium cylindrorum .
in hemifphaerio deferiptorum . Quod efi abfurdum. Scimus
enim di dum cylindrum hemifphjrr j eife fefquialterum •
Efto deinde ffi fieri potefi:)femiparaboIa minor quam 2 .tetf.
ipfius parallelogrammi E D . Ponaturq; defedus aequalis fpa-
tio K.
Tum ipfi femiparabolae figura quaedam circum feribatur, con
ftans ex parallclogrammis aequealtis (more folito,vt fadum efi:
in Lemmate X V. ieiufque Corollario ) ita vt differentia inter
circumferiptam figuram ipfamq; fcmiparabolam minor fit fpa-
tio K. Tunc enim manifefium efi , quod figura circumfcripca
- h . adhuc
De Dimenfione Parabolae
B Q,
5 ^
adhucminor erit quam 2 ^
ter. paraiiciogra mmLED .
Fiat circa diametrum A
C feraicircLiius, vt inde-
fcriptione procedentis con
ilrudionis , completoque
quadrato A O F D, perfi-
ciantur reliqua redangula
FL,GM, HNJA.cir-
ca quadrantem defcdpta.
Tum re uoluatur figura AF
circa axem AD, itavtfo
iida generentur iam dida:
nempe hemifpli^rium ex
quadrante , cylindrus ex quadrato A F ; totidemquc cylindri
quot redangula erunt ipfi quadranti circumfcripta .
Iam paralleiogrammum B L ad fe ipfurn eft vt cylindrus fa-
dusex F L ad fe ipfurn. Amplius. Paralleiogrammum Q_M
ad PM ;efl: vt ad LPrfiue B D ad LP, fiuevtredang.
C D A ad C L A , fiue vt quadratum F D ad L G, fiue vt qua-
dratum R L ad L G ; nempe vt cylindrus fadus ex R M ad cy-
lindrum ex GM:&:}iocmodofemper. Suntq; omnes primiE
magnitudines aequales parallelogrammo B L , omnefq; tertiae
Lm.i 8* cylindro fado ex F L . Ergo erunt omnes primae fimul
nempe paralleiogrammum A B ad omnes iimul fecundas, ne-
pe ad Fguram femiparabolse circumfcriptam , vt funt omnes ter
ciae fimul, nempe cylindrus ex O D fadus,ad omnes quartas ^
nempe ad cylindros hemifph^rio circumfcriptos . Sed paralle-
iogrammum E D magis eft quam fefquialterum figuro circum-
fcriptoad femiparabolam, ergo cylindrus ex OD magis qudm
fefquialter erit ad omnes cylindros hemisphaerio circumfcrip-
tos. Quod eft abfurdum: Scimus enim cylindrum hemifphae-
rio circumfcriptum ipfius hemifphaerij effe fefquialterum ,
Patet itaqjparallelogn £D fefquialteru effe ad femiparabo-
ia m A B D ; & idcoXemiparab. fefquitercia trianguli A B D,
oyA-
P A R A B O L AE-
per nouam indiuilibilium Geometriam
'^1 ACTBN VS de dimenfione pdrahoU
more antiquorum di6tum Jit ; Reliquum
€U'vt eandemparahola menfuram noua
quadam ^fed mirabili ratione aggredia^
murjope fcilicet Geometria Indiuijibi-
lium , hoc diuerfis modis : Suppofms
enimpracipuis T heorematib. antiquotu
tam Euclidis ^ quam Archimedis ^ licet
derebus interfe diuerjijjtmisjint^miru
exvnoquot^i eorum quadr aturam par aholajactli negotio elici
poffei vic e 'verfa . quaji ea Jit cornmune quoddam vinculum
veritatis . P oftto enim quod cylindrus infcripti sibi coni triplus
ftt, hinc f equitur parabolam infcripti fibi trianguli eJJ}fefqui-
tertia; Si vero mauis pr^mitt ere cylindrum infcriptae fbifphae^^
H rae ejse
fS De Dimenfione Parabolae
*'ir£ ejje fefquidltemm , continuo faraboU quadratura infera-
tur . Eadem concludtiur fupfofta demonflratione^quafrohat
centrum gr duitatis coni pojitum efein axe it a "vt fOrs qua
ad 'verticem reliqug ft tripla . Parabola non minus quadra-
tur etiam fupponendo fpatium a Imeafpiraliinprimareuolutio
ne deferipta^ cd a recia qua initium efreuolutionis^ compr^hen-
fum ^fubtriplum effe primi circuli . Contra vero ; fuppofita pa-
rabola quadratura^ prodici a omnia T heoremata faczle demonfra
ripojfunt . ^uod autem h^c I ndiuifibtlium Geometria nouum
penitus inuentum sit ^ equidjem non aufim afrmare . Crediderim
potius beteres Gcoznetr as hac futtodo^fosin inutntione Theo-
rematum dife illimor um , quamquain demonstrationibus aliam
viam magis probauerint ,fue ad occultandum artis arcanumf-
ue ne vlla inuidis detr aci oribus proferretur eccafio contradicen-
di . ^uicquid efl ^certum eSi hanc Geometriam mirum ejfe pro in-
uentiene compendium^ekinnumera quafi imperfcrutahiUaprheo-^
remata^ brekihusfireiiis, afirmatiutfq; demonftratiombus c on
frmare; quod per doUrinam antiquorum fieri minimi potesi .
Hac enim esi in Mathematicisfpinetis via vere Regia^quam pri
mus omnium aperuit, (jr ud publicum bonum eomplanautt mira-
bilium inuentorum machinator Caualerius .
Fropofitio XI.
P Arabola fefquitertia eft trianguli eandem ipfi bafim,& ean
dern altitudinem habentis .
Efto parabola A B C, cuius tangens C D, & diametro i^qui-
diftans iit A D . Perficiatur paralielogrammum A E 5 & circa
diametrum A Dintelligatur circulus, qui fit bafis coni cuiufda
verticem habentis in pun(fto C , & item fit bafis cylindri alicu--
ius A C E D eiufdem. altitudinis cum dido cono .
Ducantur iamquselib et reda FG parallela ad AD, &per
ipfam intclligatur tranfire planum parallelum circulo A D.
Erit
Preoblma
Erit ergo F G ad I B vt rciSa DA ad IB
hoc cftvt quadratum D C ad quadra-
tum C t, fiue vt quadratum D A ad IG,
hoc eft vt circulus D A ad circulum IG
nempe vt circulus F G ad eundem I G.
Ethocfemperj funtque omnes primse
magnitudines aequales red^ DA. &
ideo inter fe;omnes etiam tertise aequa-
les circulo DA , & ob id inter fc j ergo
per Lemma 1 8, erunt omnes primae li-
mul , nempe parallelograramum A E »
ad omnes fecundas fimul, nempe ad tri
lineum ABC D,vt funt omnes territe fimul, nempe cylindrus A
E , ad omnes quartas fimul hoc eft ad conum A C D . Eft igi--
tur paralieiogrammum A E triplum trilinei A B C D . Sump-
toque dimidio, erit triangulum ACD fefquialterum trilinei
A B C D; & per conuerfionem rationis , erit triangulum ACD
triplum ipfiusparabolse. Propterea,ex demonftratione pro-
pofitionis 9. erit parabola inferiptifibi trianguli fefquicertia .
Quod erat &c.
•h
holam .
ob fimi^
Ihud» tf9
Alia quoque ratione parabolam quadrabimus , demonfiratU
prius , qua feri poterit breuitate,indiuif bilium principijs .
£ Unabimus aut e ab immerfo C au aler i an^ Geometria oceano , mi»
nori audaciaradentes terram . J^i volet, hac omnia videre
poterit (in fonte dicam, aninpelago ? J circa medium fecundi
iibri Geome tria Jndiuif bilium Caualerf
Lemma XX,
Quadrata omnium partium cuiufcunq; refiae lineae fubtripla
funt totidem quadratorum totius ,
EBo qualibet reBa linea a b . E>ico omnia fimul quadrata om*
mum partium reda zh efie fub tripla totidem quadratorum eiuf
dem reBa linea zh .
Fiat
ff 2
d E
A
/
U
f
\
l
\
\
«
.
B
H
Fiat enim quadratum a c d b, dutdaqi dia^-
metro a d . conuertatur fgurd circa atce ab
donec in eum locum tedeatnjnde cepit moueri .
Manifejlum e H > quod d quadrato cylindrus c
h defc rihetur , a triangulo vero a b d conus d
ah, quiverticemhabebtt in a. Fucaturiam
qualibet e f parallelaipji c a i eritq^ a f, fiue
fg ( funt emm aquales )vna eu infinitis farti
hus totius ab.
lam I quadratum toPius ^ ad quadratum
fartis a f , efl^oh aqualitatem , vt quadratum
zlDu*- ad ^^^nemfe vt circulus diametro el fa-
dectmt. l^f^s^ad circulum diametro Btfic erit femfer , Suntqi ffi*
ma magnitudines fingula aquales quadrato a b , tertia fem^
Ltnf.1%» fer aquales circulo dh. Ergo omnes frimf fimut-, hoc eft tot
quadrata line a 2i.h ^ quot iffia habet f artes ^ ad omnia quadrata
f artium^ erunt vt omnes tertie fimuty hoc efi vt cylindrus chad
omnes quartas fimul ^nemf e ad conum d ah. Sunt ergo tot qua
drata aticuis linee quotiffa habet partes y ad omnia quadrata
partium iffius vt cylindrus c h ad conum d a h , nempe mpla.Et
couertendo confiat propofitum quod demonBrandumfuerat (dre.
Lemma XXI.
Omnia redangula, quse continentur fub aliqua reda linea
cum lingulis fuis partibus , & reliquis partibus , lubfefquialtera
funt toiidem quadratorum eiufdem red^ linea; .
Afiumfta prae edentis Lemmatis figura^ acc eptumfiit in rebl a
ab quodlthetfunlium f. Eellanguiumfub hzi tanquam vnd
relta linea , ^ fuh f b . contentumy erit vnum exommbuspra'^
diclis r e B an gulis (vnum enim latus componitur ex tota a b, c um
parte a f; alterum vero efi ih , nimirum reliqua pars . )
XeB angulum autem pradiclumfiub b a f tamquam vna reB a ,
^fuh fb contentum yidem efl yob aqualitatemlaterum y ac re-
Banq-uhm e i i . Et hoc femp er verum erit hc modo y vbicunqi
fit pun-
Problema Primum . 59
JltpunBum f . Sed omnia reBangula fub reBis interceptis in
trapeto c a h d (qualium ‘vna eft ^ fffh reliquis , qualium
*vna efii\ ; vnd cum omnibus quadratisintermediarurnfeBionu
(qualium^vna eji fi ) aquamur {propter y fecundi elementoru)
omnilms quadratis dimidiarum , qualium vna ejl fl . Omnia ve
rb quadrata intermediarum feBionum (qu aliam vna efi (\) ad
omnia quadrata dimidiarum { qualium vna eB £1,) funt vt vnd
ad s . St ergo demantur omnia quadr ata intermediarum ^ rema-^ Lsm.
nebunt omnia reBanguia , quorum vnum ^ e i 1 , fu e omnia re^
B angula contenta fub a b cum fi ngulis fui s partibus^ (fi reliquis
panibus f ubf e fquiak er a omnium quadratorum ^ qua fiunt a dk
midqs^ (tue totidem quadramum totius dih ^,^od fu erat ofien^
dendumcfic.
Propofith XII.
P Arabola fefquitertia eft triangulicandem ipfi bafim , & ea
dem altitudinem liabentis ,
Efto parabola ABC euius
diameter B E , & circa parabola
fit parallelogrammiim DC .Du-
catur qualibet F G diametro pa
rallelaieritq; FG. ad GI, vt
BE ad GI, fiuevtredf angulum
CEA, ad C G A , hoc efl vt quadratum C E ad red:angulu
C G A . Et hoc modo femper ; Suntq, primtB magnitudines
femper ^qualesr edite B E ; terdte autem femper sequales qua-
drato C E . Er go omnes prim^ hmul, hoc eft parailelogram- ^ ^
mum AB, ad omnes fecundas fimul, nempe ad femiparabola
A I B E ; erunt vt omnes iimul tertite , videlicet tot quadrata li-
ne^ C E quot ipfa habet partes , ad omnes quartas limuhnem
pe ad omnia reciangula lub C E cii-m fingulis fuis partibus, &
fub reliquis partibus . Ergof ex pra?cedenti lemmate ) paralie-
logrammum AB erkipfiusfemiparabolf fefquialterum: To-
temq;
do De Dimcnfione Parabolg
tumqueparalleiogrammum DC erit totius parabola fefquial-
terum » nempe vt d", ad 4. Propterea parabola ad infcriptum fi-
bi triangulum f quod quidem f arallelcgrairnii DC fub du-
plum eft ) erit vt 4. ad 3. Nempe fefquitertia * Quod erat &c.
PoJJumus fine mate H id illorum lemmdtum^parahoUm quddra^
re eodem drgumento ^ diuerfis tdmen frincipijs^ nempe perfup^
pofitionem proportionis , qudjn cylindrus habet ddfiphfram fibi
infer ip tam \ qua quidem proport io fefquialtera efiy vt oPienditur
ex Archimede ; libro Primo de Sphfra edt Cylindro .
Fropofith XI II *
P AraboIa fefquitertia eft trianguli eandem ipfi bafim, & ea-
dem altitudinem habentis ..
Efto parabola ABC, circa
quam fit parallelogrammu AD ;
& circa diametrum A C fiat fe-
micirculus , circa quem fit redan
gulumAE. Tum manente axe
A C , intelligatur circumuerti ip-
fum fcmiicirculum , ita vt ex ipfi-
us reuoiutione Sphsera circum-
feribatur : ex couerfione vero redang. A £ cylindrus nafcatur .
Sumpto iam quolibet pundo G. ducatur reda G F paralle-
la diametro H B ;& per idem pundum G agatur planum G L ere
dum ^d axem A C.
Erit reda FGadGI,vtBH adGI ( ob aequalitatem)
hoc eft vtredangulum C H A, ad redangulum C G A, fiue vt
quadratum H N ad quadratum G M dob circulum ) fiue vt qua
dratum G L ad quadratum G M ; nempe vt circulus ex femi-
diametro G L in cylindro,ad circulum ex femidiametro G M
in fphsera . Et hoc lemper, vbicunque fumatur pundum G.Sunt
autem tequalcs inter fetam omnes primse# quam omnes tertise
magni
Problema Primum. 6t
magnitudines. Ergo omnes primje, nempe paraHelogrammu ^
A D ad omnes fecundas , nempe- ad parabolam A B C, erunt
vt omnes tertia , hoc eft cylindrus , ad omnes fimiil quartas, vi-
delicet ad fphicram . Sed cylindrus ad fphaeram eft fcfquialter ;
ergo parallelogrammum etiam A D parabolae fefquialterum
erit: deipfa parabola inferipti fibi trianguli fefquitertia j vtin
praecedenti conclufum eft . Qupd &c.
Lemma XXII.
Si magnitudines quotcunque ad libram appenfe fuerint cx
quibufcunq;pun(ftis: totidemq; magnitudines alterius ordinis
ex ijfdem pundis pendcaiit , pariter cum prcedidis magnitudi-
nibus proportionales . Erit vnum idemq; libree pundtum cen-
trum aequilibri j vtriusque ordinis magnitudinum.
Sint dd libram ab magnitudi
nes ^rimi ordinis quotcunque c ,
djC,f, ex quibu/cunque fun~
ctis dfgenf ^ . "Totidemque magni
tudines g, h , i , 1, fecundi ordu
nis pendeant ex qfdem punclis
(d''fnt proportionales : nempe '.Vt c ad ita fto ad h. Ite-
rum ut c ad e , ita ft g ad i . (^c. Dico idem pundlum Ubra
ejfe centrum commune aquiUbrq utriufque ordinis magnitudi-
num fufp en far um .
Cum enim ft ut c ad d, ita ^ ad.> h , ex eodem puniio f-quipon-
derabunt ^tam du^ magnitudines c ^ d, quamdu^ g h.
Amplius . Cum fit ut c ad d ita g ad h, erit conuertendo
(fi componendo dc ad c, ut ad c autem ad e tB ut g
ad i ergo ex ^quo c d fimul ad e , ent ut g h fimul ad i . ^a-
r e magnitudines cd, (fi e, ex eodem punelofquiponderabunty
ex quo (^quiponderant duf g h , ^ i .
Vlterius , Cum autem per iam diBa yfit ut c d e , ita g h
ad i 5 erit compenendo cd Q ad ut ohi ad u Sed e ad c efi
ut i ado i (fi c ad i^ut ^ adi, ^^u/tre ex ^quo ede fimul ad f,
erit
§t> fatA’
bolam ,
6 % De Dimenfione Parabolae
tfitut fimul dd \ . Ergo du^ magnitudines cdcj f.
habebunt idem puntlum aqutlibr^.qued habent duf maiinitudu
g hi . Et sie etiam si sint plures magnitudines ^ufqut
in infinitum , quod erat propofitum &c.
Lemma XXIII,
Si parabola tangentem habuerit ad bafim, ex altera vero par
te lineam diametro parallelam .Trilineumcomprjshenfum lub
curua parabolica , fub tangente, & fub parallela pr iedida,sEqui«
ponderabit ex pundo tangentis vbiea hc diuiditur, vt pars ad
Gontadum terminata reliqua (it tripla .
Elio parabola abe, euiui tangens ad
hafim fit cd; fquidifians diametro fit zd
Dico trilineum mixtum a b c d ^qmponde
rare ex puniio tangentis c d , ubi ea fiic di--
uiditur ut pati uerfus cont alium c > reli - .
qua sit tripla .
Concipiatur figura ita ut ds. ad horizon
tem fit perpendicularis , ^ circa diametru
d a intelligatur circulus^ qui fit bafis coni
uerticem hab entis in punlio c .
Sumpto iam quolibet funUo e ducatur
e f ^quidiftans ipfi da; per ipfiam tranf 'i at planu?n paralie*
Ium bafi coni.
Erit ergo relia d a ad<: b , ut quadratum dc ad c c ; siue
ut quadratum d 2i ad cf, hoc efi ut circulus dav^ef. Et
hoc fiemper ^ubicunqi fit puncium e . Ergo cum ad libram d c
pendeant ab qfdem punliis magnitudines duorum ordinum pro-
portionales ut in praecedenti lemmate imperatum efi , habebunt
omnes magnitudines fimul primi ordinis ( hoc e Ii omnes lineae
trilinei a \> c d tfiue ipfum trilineumyidem punUurn aequilihrq ^
quod habent omnes magnitudines simul fecundi ordinis ( hoc efi
omnes circuli coni a c d , siue idem conus. ) Conus autem aequi-
ponderat expunlio quodfiecat cd, ita ut pars ade reliquae sit
tripla
Problema Primum i
trlfld -i qtidndo quidem re£ia dd. ^fiud hofi^i^ontem ferpendicu-
laris ergo etiam triiineum abcd aquiponderabit ex eodem
pun^o* ^t^od erat propositum
-Profofitio XIV.
P AraboIa fcfquitertia eft trianguli eandem ipfi bafim, & ea-
dem altitud inem habentis .
Efto parabola ABC, cuius diameter p
DE inteliigatur ad horizontem perpendi-
cularis ; fintque C F , & A D tangentes \
ipfavero AF diametro ^equidiftans .
Sumatur deinde FH quarta pars totius
F C i & ex pundto H ( per Lemma praece-
dens ) a:quiponderabit triiineum mixtum
A B C F . Accipiatur etiam F I tertia pars
totius F C,&cx I tequiponderabit totum
triangulum AFC. Parabola vero, cum
habeat centrum in diametro , sequiponde-
ratexD. Ergo triiineum ABCF ad ipfam parabolam erit
reciproce vt D I ad I H , nempe duplum rqualium enim par-
dum F C aft 1 2. talium ipfa F D eft FI vero 4. & F H j
&ideo DI 2, & I H vna.) Propterea componendo erit to-
tum triangulum AFC, parabolae triplum . Reliquum quadra-
mr^abfoluiturvt in Propofitione IX. fadumeft. Quod erat
&c. ^
Aliter.
Positis ijfdem^vtfuprk, fumatur fh, quarta par s,mius fc,
aquiponderabitq-, ex punlfo h triiineum mixtum a b c f . Su-
matur etiam ii, tertii pars ipsius iA-,tunc emm aqulpondera-
itt ex punSlo i triangulum f d a . Triiineum uero mixtum a b
c d , aquiponderat expunlfo d . ( nam triangulum totum a d c
aquiponderatexpunao S, parabola etiam ablata exeodempun-
^ clo d
64 Dim€iifioEpe Parabolae
fj^o d" ^t^tii^anderdty ergo etpam rdiquu
irilweum a b c d ex functo d^qmfon^
dcYdre nccejp efi ^ ) Erit itaque trian-
gulum fcia ad trilineum ab cd ut
recifroce dh ad h. 't nempe 'ut j.,. ad
unum i (jr per conuersionem rationis
triangulum a d c ad par ah olam erit ut
^ . ad 2. siue ut a. ad 4 . ^ttare parabolo,
ad triangulum a b c erit ut 4. ad s. Ne-
p e fefquitertia . ^ttod erat propo situm
demonjlrare . drt.
Alqs etiam principijs parabola qua^
dr at uram aggrediamur fpramifs a /equenti progrcjjionum Geo-
metri e arum fpeculatione’.
Eemma XXI V.
Si duse redse linese inuicem concurrant,& inter ipfas dcfcrip-
tumfitquoddamflexiiineum eonftans ex lineis alternatim pa>
ralielis ; erunt omnes lineae , quse inter fe paralieli^ funt. in con-
tinua proportione.
Concurrant inuicem duae^ re..
cd;o line ^ , a b , c b in puncto b,-
dt' inter ipfas de fcriptum.sit flexi
lineum c a^d ef g . &c . ita ut c a ,
de, f g sint: inter fe paralie^ A- ^ ^
If ; item a d , c f, dr reliquae ui~
cisimfumptae inter fe parallelae sint . Ei eo a c > e d , g f , effe
in continua proportione .
^ ^ Ef enimy ohpdrallelas^^ ut 3, e odPrdy ita ad b e, siue
s'exti. db adih i yhiKc e H td ad^^:. Conflat ergo quod propositum
fuerat.
Lemma XXF\
Pofitis duabus redis lineis inuicem eoncurre^ntibus,vt fupras
Sikiter
B
P
Problema Primum.
fi inter ipfas fuerint dux parallela A C , D E , 8c iun(51:a C O*
continuatum intelligatur flexilineum A C D E in infinitum vf-
que ad pundum concurfus B. Dico inhtiiufmodi flexilineo
efle omnes, & fingulos ad vnguem terminos qui funt in progref*
fione proportionis A C ad D E . in infinitum continuata?.
Ponatur f aqualis ipjt &
g aqualis ip fi d e : Et concipiatur
proportio f ad g continuata tn
finittsfiuis terminis f H.
lam,fipofiibile efi^ aliquemy
fiue aliquos terminos ejfie in pro--
grejjtone iEl^qui no reperiantur
in flexilineo . EHo : cjr fit maxi-
mus terminus illarum^ qmchm fint in progreffione fH,n 0 n
funt in flexilineo . Erit ergo terminus I ipft procedens ^ in fle-
xilineo , Sit ille m n. Et quoniam \ ad i eltvt i ad fiue vt
a c d e , fiue mn m ad p o^proximefequememyfuntq', aqua-
les \ ^ & nm\ erunt aquales etiam i pfi p o . Terminus ergo i
qui ponebatur non efie in flexUineo ^ in eodem repertus efl.
Eodem penitus modo demo nitr abimus nullum terminum ejf e
in flexilineo^ qui non Jit etiam in progrejjione fH . &c. Cone lu-
demus igitur effle in fexilinco. omnes pr^cise terminas proportio-
nis 2.C ad dt in infinitum continuat f ^ cum demonfiratum fit
nullum in flexilineo terminum defiderari qui fit in progrejijione
f H ; neqi ^dlum flu per abundare ^ qui non reperiatur etiam in
progrejjtone f H . dtc.
Lemma X X FI.
Suppofitis mfinitis redis lineis in continua proportione maio
nsin^qualitatis,redam lineam, qu^e pr^edidis omnibus fitie-
qualis reperire ►
Ponantur prima dua linep dat^ progrejjionis effle a, b ; quib,
ponantur aquales; edi makril i minor i b .Sintq; cd, ef
I 2 paral-
pri-
mi»
66 De Dimenfione Parabolg
l^ralleU ,■ ^ iungantur d f , te, neceffkno concurrent X2o*
currdnt itaq-y in gunBo g , ducta e f, ipji aquidijians Jit g 1,
Dico rectam d 1 aqualem ejje
omnib. infinitis terminis progrefi-
fionis a b m fimul fumptis .
Concipiatur enim continuatu
fiexilineum d c f e (fic. in infinu
tum^ 'vfqi ad punctum g , eruntq-y
in ipfo omnes line ^ , fiue termi-
ni dat^ progrefitonis a b m .
Producantur iam h e , n i .
reliqua ipfis parallel^ '^fq i tid A\.
Eritq; ef. aqualis ipfi cp, ^ ^ Q .
j aquahs ipfi (fi no tpfi r,‘
tfi fic de fingulis . Qualibet enim
linea qua fit in flexilineofidbebit L
fuam portiunculam refpendentem
in retta d 1 , fibi aqualem ; donec fi exili ne um peruenerit ad vl-
timumpunBum g: T unc amem neque de flexilineo , neque de
linea d 1 quidquam fup er er it ; fed tamtpfium fiexilineum^ quam
etiam rePta d 1 penitus abfiumpta erit : BB enim ipfa g 1 , qua
ab ultimo fiexilinei puncto ^ ducitur •vl t ima (ymnimn paralle-
larum , qua produc untur ufique ad 6.\. Ergo omnes fimul linea
fiexilinei, quarum prima efi c A, alternatim fumpta (hoc efi om.
nes lineae progrefiionis a b va) aequales funt omnib.poriiuncuUs
reEtae d 1 simul Jumptis : hoc efi ipsi d J . ^od erat oBenden-
dum^c* .
Lemma XXVII.
Suppofitis infinitis magnitudinibus in continua proportione
Geometrica maioris ingquali|atis, erit prima magnitudo media
proportionalis inter primam differentiam & inter aggregatum
omnium.
Afiumpta enim prae e denti confiruEtione ^ ducatur {m a qui*
difians
Preoblma Primum. 6 ’^
diBansipst g c ; erit d u fri-
ma differ entU , Sed d.\x 4d pri~
mdm magnitudinern dc eB /et f d
/td d g , hoc eft ut dc dd d 1 dg-
^egdtum omnium. Sj^od erdt
demon Hrdndum &c.
SCHOLIVM.
Hoc ejs'e uerum etidm in nume
ris 5 cuiufcunq. generis magnitudinibus non dubitabimus af-
frmare. Afferremus etiam uniuerfdliorem demonftrdtionem ^
praecipue c/im admodum hreuis sit . Huius u er itatis conclusio^
cum a nobis obiter celeberrimo Caualerio collatafuiffct. ipfe etia
idem. T heoremafequenti demonftratione.que a nobis i am inpru
ma inuentione adhibita fuerat., c onfrmauit .
Prpnittitur hoc . .^dbd sifuennt quotcunq. magnitudines
siue fnitf numero , siue tn finit^, quarum antecedens femper fe-
quentemaior sit., erit prima omnium magnitudo aqualis omnib.
differ e ntijs simul cum ipf a minima magnitudine fumptis .
N otum cjl hoc apud Geometras., demonftraturq. ut a nobis fa-
ti ume fi in lemmate ij. Vbt ostendimus par alie logrammum a c
'aquale effe omnibus difi er entis inter fequentia parallelogrammdy
Cg minimo par allelogrammo oc .
Supponantur iam in fini tde numero magnitudines in continua
proportione Geometrica m4ioris inaequalitatis ; manifefium eB
quod minima omnium magnitudovel non erit , uel punctum erit .
Ergo in hoccafu erit prima magnitudo aequalis omnibus tantum
dffrentijs .
Cum dPitem ponantur magnitudines in continua proportione
Geometrica .) erunt etiani differentia in eademratione proportio-'
ndlesicfi' ideo ( fact a c onuerfione)erit vt prima differentia ad pri^
mam mdgnituainem , itdfecundd differentia ad fecundam ma.~
gnit u dinem , fic f ^,mper . Fr opter ea vt vna ad vnam , ita eol-
lectim erunt omnes ad omnes . Nempe vt prima differentia ad
pri* .
6S De Dimenfione Parabolae
ynmammdgmtudmem \ itd erunt omnes Jimul differ cntidi^hae
efi ipfa primd mdgnitudo) dd omnes mdgnitudines fimul . Con~
Hat trgoprimdm mdgmtudinem mediam proportiondlem effe in-
ter primam differentiam^ ^ aggregatum omnium ^
Propoftio X V.
P Arabola fefquitertia eft trianguli eandem ipft bafim , & ea
dem aldtudinem habentis ►
Euo parabola ABC in qua
infer iptiim fic triangulum ABC.
Dico parabolam trianguli ABC
elTe fefquitcrtiam .
inferibantur enim etiam in re-
liquis portionibus A D B , B E C , duo triangula AD B» BEC.
Eritq; triangulum ABC quadruplum duorum Emul triangulo-
Lem.f. rum ADB, BEC. Concipiantur etiam in reliquis quatuor
portiunculis AD, D B, B £, E C. inferipta quatuor triangu-
tem.7\ ia ; eruutq; duo ftmul triangula ADB, B E C quadrupla prte-
didorum fimul quatuor fubfequentiiim triangulorum; &hoc
modo femper . Parabola igitur nihil aliud eft c|uam aggrega-
tum qiioddara infinitarum numero magnitudinum in proportio
ne quadrupla, quarum prima eft triangulum AB C, fecunda
^ veroconftat ex duobus triangujis ADB, BEC. Propterea
prima magnitudo ABC media proportionalis erit inter prima
differentiam , & aggregatum omoiu m, nempe parabolam .
Ponatur itaqjriiangLilum ABC eile vtq. &ideo duo fimul
triangula A D B , B E C erunt vt vnum : eritq; prima differen-
tia finimirum inter 4. & vnum J vt j . Ergo aggregatum omni-
um infinitarum magnitudinum , nempe ipfa parabola, erit f per
lemma 27.) ad primam magnitudinem,hoc eft ad inferiptu tri-
angulum A B C » vt prima ipfa magnitudo ad primam differen-
tiam ; videlicet vt 4. ad 3. nempe fefquitertia . Q^d erat pro-
pofitum demon ftrare &c.
Aliter,.
; !
'U
Frobteiua Primum . <5^
Aliter.
E flo pdrdhoU a b' e . cuius di dme-
ter d b, tdngenus dd bdfim a d , c d,
perverticemver)) ef. Lnfcrihdntur
dutem in reliquis tr Hin eis a b e , b c
i y duo tridnguld g c h , i fl , / vt im-
perdtum fuit pro conflruHione lem-
matum T er tf ef ^ut_artL ) Item in
reliquis quamor tri lineis mixtis.qud-
tuor triangula concipiantur i &hoc moda femper . Eritq; 'vni-
uerfum trilineum a b c d nihil' aliud quam dg'^€gatU’mquoddd
infinitarum multitudine magmtudinum in proportione, quadru-
pla, quarum prima eji triangulum' fecunda vm confiat' ex
duobus triangulis g e h , i f 1 ; tertia ver}) ex quatuor fequenti-
bus (jrc. Proptered aggregatum omnium , nempe trilineum mix-
tum a b e d , dd primam magnitudinem , nempe ad triangulum
edf j erit vt ipfa prima magnitudo ad primam d\filir€ntiam,vi-
deiicetvt 4. ad j.
Cum itaque trilineum a b cd ad triangulum t A^,fitvt 4,
ad tria, ertt idem trilineum ad triangulum 2idcvt 4. ad 1 2. (Ir
ideo parabola ad triangulum a d c eritvt S . ad 12 fr ad inferip-
tum (ibi triangulum vt 8. ad 4 . Kempe fefquiterlid . SHpd erat
demonfirandumft^c,
A--
Lemma X XV IU.
Si fuerint infinita numero redse line^ AH',vC D, E F.&;
inxontixiuafpropoitione Geometrica maibrisr inaequalitatis^; al-
tera autem'ponaturprogreirio B G, DH^, F I-&C. ita vt fit quem-
admodum A Bprima ad B G primam;, ita C II)' fecunda ad D
H fecundam : & ita tertia E F ad tertiam F I & fic femper . Di-
co vniuerfum aggregatum progrefiionis A B, CD:, E F , &c.ad
aggregatum progreSionis B G , D :H , F I, eBe vt AB ad BG-s
Intel-
"i.
CoToi. I.
Lem.i.
Lem.n,
iuxsa Li
ma ij.
Ler».i6.
h«m,z6.
4 . fexti.
oB para^
helam ,
70 De Dimenfione Parabolse
Intelligantur omnes termini dua
rum progreljtonum ejfe in flexili-
neis c^c. iunSiifqi a d , g d , duco, TA.
tur o 1 parallela ip fi ad, dr om
parallela tpfi dg, Eritq; b 1 aqua-
lis omnik. infinitis terminis ab, ^
c d , e f . (fic. ipfa vero o m aqua
lis omnib us infinitis terminis re- ^
liqua progrejjtonij b g , d h , f i . A
lam : vt l b ad ba, ita ejl o
b ^^2' b d , hoc e fi m b ad b g .
Permutando igitur , Aggregatum
Ib 3 ad aggregatum b m , efl vt
ab ad b g;n emp e vtvna magni- L
tudo ad vnam . ^od erat
Hoc T heorema poterat fiupponi tamquam demonfitdtum in
Propofitione 1 2 .libri V . Euclidis: vnum enim atq\ idem eH cum
Theoremate dibl a Propofitionis : Verum 3 quoniam fere omnes
opinantur Euclidem ibi fiupponere multit udinem magnitudinum
finitam / voluimus auxilio flexilineorum vti ,
s
Propofmo XVI .
P Arabola fefquitertia eft trianguli eandem ipfi bafim, & ean
dem altitudinem habentis.
Sit parabola ABC, cuius dia-
meter D E , tangentes ad bafim A
D , C D : per verticem vero FBG.
triangulum infcriptum ABC. Di-
co parabolam trianguli ABC.ef-
fe fefquitertiam .
Cum enim ipfa E B iequalis fit
ipfi B Q , re(^a vero A C dupla
Problema Primum. 71
ttdix F G ; erit infcriptum triangulum ABC duplum triangu-
li F D G fub tangentibus compr sehenfi . Et hoc lemper verum
cft etiam circa reliquas portiones parabolicas AIB, BOC;
enim AIB parabola , cuius tan gentes ad ba fim funt A F ,
BF, ideoq; triangulum infcriptum AIB duplum erit trian-
guli tangentium L F M . Idemq,- verum etiam cft ex altera par-
te ; Ergo duo fimul triangula A I B, B O C, dupla funt duoru
fimul L F M , N G P . j ergo cum fint duce progrcfllones vtraq;
in proportione continuata magnitudinum infinitarum multitu-
dine ,( altera nempe intra parabolam, cuius primus terminus
ell triangulum ABC, fecundus vero, duo triangula fimul AI
B, BOC &c. altera vero progreffio extra parabolam , cuius
nempe primus terminus efl triangulum F D G ,• fecundus au-
teiTi duoiimul triangula L F M, N G P . &c, ) funtq; finguli ter-
mini progrefiionis , quas intra parabolam eft , dupli fingulorum
terminorum progreffionis,qutE extra eft : Erit ergo aggregatura ,
vniuerfum primg progrefiionis duplum totius aggregati lecun- *
d^ progreflionis ; Nempe ipfa parabola dupla eru trilinei mix-
ti A B C D . Componendo igitur , & per conuerfionem ratio-
nis , erit triangulum A D C ipfius parabolg fefquialterum,nem
pe vt < 5 . ad 4. ideoq; parabola ad triangulum ABC erit vt 4 .
ad 3 . videlicet fefquitertia . Quod erat oftendendum &c.
Faraholf quadratura haberi foteft fumftis alijs principqs^opt
tdmen indiuifibilium . Supponimus qu^ Archimedes demonjlra-
uit in libro de lineis Spiralibus ad Propojitiones 14.. edr 2 s- Pra»
mi£o L emmate huiufmodi,
LernmdXXIX,
Si fuerit vt prima magnitudo ad fecundam, ita tertia ad quar-
tam , & hocquotiefcimq; libuerit,: fuerintq; omnes prim^ , itera
& omnes tertie eodem ordine proportionales: Erunt omnes
prima’ fimul ad omnes fecundas , vt funt omnes teiti^^ fimul ad
omnes quartas .
Sit
K
Lemti%.
tem. I S.
oi Pi q1
1k..
B
El
FI
il
i
■ I
I t
Ru
0
SliT
n
t>
M.
0
7^ De Dimenfione Parabolae
Sh 3 . frimaad b fecundam ^'vt c tertia
ad d quarta ad i ^ vt g ad E ; & hoc ^
quottefcunqi lihutrtt . Sint que omnes q^rima
a , c , i , &c. & omnes teriif c , g r m > drc.
frofortionales ex ordine y Nempe TJt 3 ad e
ita fit Q ad g ^ Amplius t ut 3 ad i y ita fit
c ad m dfC. etficjemper . Dico omnes prL
mas fimul a , e , i , ete^ ad omnes fecundas
fimul b , f, 1 ete, e^eutfunt omnes tertia Jh-
mul c , g ^ m , ete, ad omnes quartas fimul d»
h y n etc .
Accipiantur o , p» 9 >' finguU aquales pri^
ma primarum y hoc eii ipfi a ; et fint totidem
quot funt omnes prima a , e, i; etc.Itemfu-
mantur r, f , t ; totidem quot funt yomnes ter-
ti^ i et fint fingul^ r , f , t , aquales prim^ ter
tiarum nempe ipfi
lamob squalitatem erit vt o ad 3 y ita X
ad c* Amptius : Cum p fit aqulisipfi a , et f ipfi c , erit ( pro-
pter fuppofitionem )vt yp ad ty ita { ad et hoc femper ifunt
que omnes o > p , q aquales y itemq^ omnes iv f, t , aquales , ergo
erunt omnes fimul o , p , q , etc. ad omnes a , c , i, ete, ut omnes
Xyiyt y fimut y ud OMnes c , g , m . Denique conucr tendo , om-
nes 3 y e, i, ad omnes o , p , q , erunt ut omnes c , g , m , ad om-
nes r , f , tt filuffd memento .
Suoniamueio ut o ad Zy ita x ad c: et ut a ad hy it a c ad
d : erit ex aquo o ad h, ut x ad d : Eadempenitus ratione con
eludemus ex aquo efie ut p ad f, ita i ad h t et fic de ceteris .
Erunt ergo omnes fimul o > p , q , etc, ad omnes by fyl y etc. ut
funt omnes fimul r , s , t , etc. ad omnes d , h , n ,* etc. ^are ex
Squo erunt omnes 3y^ •fiyetc.ad omnes b , f , 1 , etc. ut omnes Cy
g s m , etc. ad omnes d , h , n ete* £uod erat oHendendum
HQ N[j
Sit parabola A
BC , cuius tan-
gens fit A E ;
diametro vero
jequidiftans fit
C E j & duca-
tur quaelibet F
D, parallela ip
fi C E, Eiitq;
E C ad F B . Ion
gitudine , vt E
A ad AF, fl-
ue E C ad FD
potentia . Prop-
terca erunt in c 5
tinua proportio
ne. ECjFD,
FB.
Fiant deinde
centro A, interuallis AC, AD, duo circuli; & ponatur Eli-
cis initium exfemidiametro A C . Sitq; ipfa elix A G C.
Eritiiaq; DF ad FB,vtCE ad DF ; fiuevt CA, ad A
Djhoc eft vt C A ad A G , fiue vt periph^riaiota C L H C, ad 1 4
arcum C L H: hoc efl: vt periph gria tota D.P GD, ad arcum D
P G . Atque hoc erit femper^ vbicunque lumatur pundum D .
Suntq; omnes primte, item omnes terti;^ magnitudines, eo mo-
do quo debent proportionales f vt infra oftendetniis . ) Quare ^
©mnes^rimtefimul, nempe triangulum A E C, ad omnes fe- ifmmji
eundas fimul nempe.ad triiineum mixtum ABC E,
rr omues tertia fimul, nempe vt circulus CLH , ad omnes quar
- K 2 tas
Problema Primum •
P
Propofuio X VII.
Arabola fefquitertia eft trianguli eandem ipfi bafim , & ca
dem altitudinem habentis .
■x^^.de li-
neis fpi-
ralibus •
74 De Dimeiiflone ParaKblae
tas iiiiiul, hoc cft ad reiicjuuni iphus circuli, dempto helicis fpa~
tio CAGC. Circulus autem CL.B, didi fpatij, dempto he-
licis fpatiojfeiquialter eO: ,• Ergo etiam triangulum A GE fef-^
quiaiteruai erit tnimei mixti A B CE: Et per conuerfionem ra--
tionis , triangulum AGE, triplum erit parabole ABC. Re-
liquum quadrature^ abfoluetur vtin 9 . Propolitione Eidum eR.
^tiod Autem Ajfumptum fuit , nunc, oflendemus ifcilic et qmd
omnes primp , omnefque tertia mugnitudines fint proportionAles
eo modo yVt requiritur in lemmate pYstc edenti .
Ducatur in pr^mijfa fgura , quHibet m o , £,quidifians ipfi f
d ,• (f" ponamus ipfam f d ejfe primam primarum\ ipfam vero peri-
pharid dp g prima/n tertiarum . Brit ergo d f ad om , vt d a ad
2 l o , (tue vtperiph^ria d p ^ad penpb^riam cuius femidiameter
efizo &c. E4 Jic femper . fluod oportebat dre,.
Par ah olam etiam quadrabimus intentata adhuc via ; nimiru.
quajito eius centro grauitatis a pr tori ope indiuifibilium . S up-
ponimus autem temma, quod Archimedes oBendit in fecundo
Aequiponder antium . Hoc ejl parabolarum centra grauitattSyin
tadem proportione fuas diametros f fcare .
Lemma X X X.
Centrum grauitatis parabolte diametrum ita diuidit , vtpars
ad verticem terminata , reliquas , fit fefquialtera .
B fto emus quilibet a b c, cuius bafis a m c , axis b d , tria-
gulum vero per axem // a b c ydrfeBusfit conus plano e f g , vt
iuhetur inX I, Propofitione lib. primi Gonicorum . jEritquefe-
Bio qua v&caturparabolay illmfque diameter erit f h , pfio iam
centrum grauitatis parabola efg, quoduis punBum y puta i.
OBendendum ejl rectam fi fefqmalteram ejie tpfius i h .
Jgaturper punitum i rebta ^ihfeceturque conus aUopU->
no m n o y ipfi tigparall:: eritq. febtio mno paraboldy dr eius
cmtrumgramtatts erit yp ( ejt mmebparallelas ^ vt fi ^^/ih,
itA
Peoblema Ptimum.
itd n^dd i fed i j^onitur ce-
trum gr duitatis farabol^, e f g r
ergo per PropoJJt. y dib .fecundi
aquipond evantium p c entrum
gr duitatis erit parabol^ m n o.)
Mt fic femper , vbicunq.ft pla-
num nin o . Omnium ergo fin-
gillatim parabolarum quf/unt
in cono a b c , centra (^rauitatis
O
reperiuntur in reda a I satiare
etiam commune centrum graui
tatis omnium e arumd em fimul
pr^didarum parabolarum erit in reda 2 . 1 . Omnes autem para-
balf , atq, ipf ? conus idem funt l ergo centrum coni esi in reda a
1 i quod cum ft etiam in axe b ci c erit c entrum coni in communi
concurfu i,id eeq. b f erit ipfius f d tripla .
Bucatur ex centro bafis reda dq, ^quidijians ipfi 2.h erunt
que aquales c q , q 1 . Cum autem ob centrum comipfa h s tri-
pla ft ipfius f d 5 erit etiam b i tr ipla ipfius 1 q : ideo b \ fef-
quialtera ipfius \c:^4re etiam fi fiefqmaltera erit ipsius ih.
^uod erat propositum ^Cy,
oCitio XV IU.
Arabola fefquitertia eft trianguli eandem ipfi bafim, & ea-
dem altitudinem habentis?.
Efio parabola ABC, cuius
diameter B D : inferiptum vero
triangulum ABC. Dico para-
bolam fefQuitertiam efTe triangu
j? 11 , aiamcTO asquidiftantes,q
ob x.fex .
ti .
a. fexti.
7^ De Dimenfione Paraboiae
iie diametri erunt portiofiu AGB, BHC. Sint centra graui-
tatis didarum portionum 0,&Nieruntq; vtraq. GO, HN,
fefquialtera reliquae OI, NL, lungatur ON, &inipfii ON-
s. primi eritccntrum commune grauitatis duarum portionum: fed eft
• e tiam in B D f nam in B D efl tam centrum totius parabola?, qua
etiam trianguli A B Qu^re pundum P. centrum erit portio-
num A G B , B H C . Ponatur B D partium (f o. eritque G E ,
( cum fit fubfcfquitertia ipfius B D) partium 45. ipfa 1 E 30. &
ipfa EO, hoceftDP. 3d.SitQ^centrum grauitatis trianguli
lem pTA ABC. Eritep D Q^. 2 o. Sit R centrum parabol^, eritq. R D
24. Erit ergo P R , 12. & R C>^4* Sed vt P R ad R Qjta re-
ciproce triangulum A B C ad duas portiones AGB, B EI C .
Quar etriangulum ABC ad duas portiones A G B , B H C erit
vt 12. ad 4. nempe vt3. advnum; ComponenddquCj&per'
conuerfionem rationis , erit parabola ABC ad inferiptum fibi
niangulum vt 4. ad 3 . Nempe fefquitertia . Quod erat propo-
iitum&c.
N 0U4 adhujc ratione quadraturam faraboU inuademusfum^
ftpft quinti lemmate , quod quidem e Schola Caualeriana prodijf-
fe rt latum e si . Infer uiebat enim menfurp cuiufddm ( dtdi ab if
fa parabola. circa ordinatim applicatamreuoluta, geniti . Eli au-
tem lemma huiufmodi ^ Authore Io* Antonio Roccha pr^ftanti
Geometra .
Lemma XXXI,
Si figura plana fuper aliqua fui redta linea figuram ipfam fe-.
cante libretur , erunt momenta fegmentorum figura, vt funt fo-
iida rotunda ab ipfis fegmentxs, circa fecantem lineam reuolu-
tis , defer ipta .
Efio figura plana qualibet a c d b f c , quamfecet reBalinea^
a b : & concipiatur figura librari fuper relid a b . Hico momen-
tum figmenti -eii: d b y ad momentum f e gmenti a e f b . efienttfa
lidum rotundum genitum ex reuolutime fegmenti a c d b ^circa
axem
Problema Primnm • 77
axem a b , [olidum rotundum genitum
exeonuersionereliqutfegmenticircdeu^
dem axemremluti ^ A.
Sumatis entnt duobus quihufcunq.pun
Bis h , i . in reBd. a b .* ducdntnr per
h fer i ^ reBd c e , d f . ferpendicuU^
res ad ipfam^ b ifecenturqy btfuriam feg^
mentd dh.yhi,in punBis 1 ,
H dbebit erga momentum re0d dh dd
momentum reBde hf, rdtion^m compo-
situm e Ktdtione magnitudinum d h dd
bf> ^ exrdtione di ii antiarum Xh dd
hm; siue dh ad hf. ProptcreamomentumreB a dh dd mo-
mentum h f erit ut quadratum dh dd quadratum h f . j
Eodem modo osiendetur momentum reciae ci, ad momentum
redae i e , effle vt quadratum c i ad quadratum i e > sicf
per.
Amplius momentum d h ad momentum c i , efi{ob eandem
rationem utfuprd ) vt quadratum dh ad quadratum c i : hoc
femper , Erunt ergo omnes primae simul magnitudines , nempe
omniamomentaf gurae acd b, ad omnes fecundas simul^ nem-
pe ad omnia momenta reliqu^ ^ ^ b .• vt funt omnes terti^
fimul, nempe omnia quadrata figurae a c d b , omnia quadra-
ta reliquae figurae . Siue vt funt omnes circult figurae a c d b
( nempe foLiaum rotusidum ex ipsius conuersione ctreaaxem a b
defcrtptum ) ad omnes circulos reliquae figurae a e f b (nempe ad
folidumrotundum ex ipsius reuolutione circa eundem axem a b,
genitum . ) ,^od erat oitendendum (jrc.
H oc promijfo ( quod quidevtifiuprd ediximus penitus ab dljjs
defumptum e H hic infertum tamquam alienum > neque quod
^gejetam adhuc vulgatum ') parabolam quadrabimus , fuppo [ita
demonflr atione , qua multis modis probatur Cylindrutn tnferipti
fibi comidis par abolicieffe duplum ,
B
De Diflienfione Parabolf
Propofitio XIX .
P Ai;abolafefquitertia efttrknguli eandem ipfibafitn, &ean
dem aititudinem tobentis.
E
B.
Lsm.ix,
T
S ■ ^
M
R
X
Efto femiparabola A B G D ,
circa quam /it redangulum DE .
Siiniatur pundum F , ita vt A F .
ad F D iitvt 5. ad 3. dudaq. F G
diametro crquidiftans^critin ip-
fa F G ccntruni grauitatis femi-
parabola^ Efto illud pundum
quodlibetyputa I,&per I duca
tur LIM parallela ad A D ,ac-
cipiaturq; I N . icqualis ipft i M.
Intelligatur etiam produda P Q parallela diametro C D /Vbi-
cunq; cadat ) ita vt paralklogrammumredangulum D P, aequa-
le {itipfifemiparaboite. Tum concipiatur applicatum ad reda
C D , redangulum D R , ita vt aequiponderet femiparabolte fa
da libratione fuper reda C D . Sitq; centrum didi redangu-
ii pLindum S ; & duda T S X parallela ipfi A D iungatur reda
IS.
Iam ;manifeftum€fl: ex lemmate praemifTo quod cylindrus
Fidus aredangulo DR circa axem DC reuoluto, trqualis
erit ccrnoidali parabolico fado a coniierftone femiparabolce A
G D , circa eundem axem GD reiiolut^; cum aequalia fiippo-
nantur figurarum planarum momenta. Erit ergo cylindrus a re-
dangulo D R fadus , fubduplus cylindri a redangulo D E fit-
di, de ideo quadratum TX fubdiiplumerirquadrati MLfcy-
lindri enim ^quealti funt inter fe-vtbalium quadrataj quod me-
mento,.
Verum MN adTX,eft vt tM ad TS ffuntenimfubdu-
pise earumdeiiD fine vt I V ad V S ; nempe (quia .aequiponde-
rant figurse pkn^ fuper linea G D , fiue ex pundo V ) vt redan
gulum
Problema Primum . Si
gu!um DR ad femiparabolam reciproce, fiuc ad re^anguluin
D P . ipfi femiparabolse cequale ; fiue vt eorum bafes T X ad M
O . Ergo T X media proportionalis eft inter M N, MO : Qua-
re re(^angulum N M O , cum sequale iit quadrato T X , fubdu-
pium erit quadrati L M .
Ratio vero quadrati L M , ad redangulum N M O , compo-
nitur ex ratione L M ad M N (quas fefquitertia eft per conftru-
dionem ; fumpiimus enim pundum F; ira vt A F ad F D , eflec
vt 5. ad 3 .) & ratione L M ad M O ; quas quidem ignota erat,
fed neceiTario fefquialtera nunc apparet . Ratio enirn dupla c6~
ponitur ex fefquitertia , &fefquialtera, vtipfis etiam Cantori-
bus vulgatum eft ,• vt videre eft in his tribus numeris 4. 3, 2.
Redangulum ergo D E ad ipfum D P , iiue ad femiparabo-
lam , fefqiiiaiterum eriti&ipfafemiparabola ad triangulum' A
C D . fefquitertia erit . Quod erat oftendendum dcc.
Zemmd XXXII.
Sitparabola A BC, cuius bafis AC,
tangens C D ; diametro asquidiftans fit A
D . Sumpto quolibet pundo E . ducatur
E F diametro asquidiftans . Dico ciTe vt
F E ad E B , ita C A ad A E .
Eft enim DAadFB longitudine , vt
D C ad C F potentia , fiue vt D A ad F E
potentia i Sunt ergo in continua ratione D
A , F E , F B . Quod memento .
lamvt ACadCEitaeftADadEF, E
fiue E F ad F B ; & per conuerfionem ra-
tionis , vt C A ad A E , ita eft F E ad E B . Q^d erat often-
dcnd.&c.
LemmdXXXIII.
Qualibet parabola ecqualis eft duabus parabolis fimiil fum-
. ptis , qnx quidem g qualem ipfi bafim habeant, diametrum ve-
L rb fub-
BfiofarahoU abc, cuius di4^
meter b h ; Jintq, du^ dita fdra»
boU a e c . a g c . in eadem bajt .
Diametri vero h e, h g , vtraq,
fubdupld fit diametri h b \ fed f-
rb fubduplam , & sequaliter incliaatam
fgurazQC^. ^
Sumatur enim quodlthet fun^
(dum in hafi ax ; fit xn j duitaque p m n aquidifiante ad didk
metrum b h .. Erit bb ad n m vt reiidngukm a h c , ad re*
B angulum zmc ; fiuevtreUa he ad mo Etfermutando vt
bh he, it a erit nm ad mo^ ^^re nm du^la eriti^fius
mo. Eodem penitus modo ofiendetuf ntn dupla etiam ipjius
m p , Ergo tot a n m aqualis ejlipfi o p ^ Et hoc femper . Prop*
ter ea omne sjimul line ^figura: ab €,( nempe ipfa parabo la a b c)
aquales erunt omnibus fimul lineis figura a e c g , i^nempe dua-
bus parabolis a e c ^ag c ./» filuod erat (jtt
P : Arabola fcfquitertia eft trianguli eandem ipfi bafim^^ eS
dem altitudinem habentis ..
Efto parabola A
B C, cuius diame-
ter BE concipiatur
ad horizontem per-
pendicularis, & ip-
ja parabola inuerfa
pendicularis, & ip- ^
fa parabola inuerfa .
ftatuatur .Produca-
tur C A in D , itavt
sequaies fint C A»
ADi&fitDeiib-
sequaies fint C A
Problema Primum • Sj
bn, cuius Metum cA A. Ducatur CF tangens parabolamj
& A F diametro EB aequidiftans .Ponatiiretiam GHa?qua-
Fs ipfi A C , & diuifa bifariam G H in I , fit vtraq. I L , I M, fub
dupla redf EB.Sc sequaliter ad bafim inclinata vc eft ipfa E B
ad A C . Fiantq; duse parabolae G L H, G M H» quae f [)er iem
ma pr^eced.^ fimul aequales erunt parabolae ABC; Et fulpen-
datur figura G L H M ex pundo D .
Accipiatur iampunda 0,& Nsequalitcrdiftantiaapundis
I , & E refpcdiue . Dudifq. N C^^quidiftanter ad E B , dc R
O S ad L M i Erit vt in procedenti lemmate N P aqualis ipfi
RS.
lam QN ad RS eft fob aequalitatem )vt QN adNP,fi-
uc vt D A ad A N reciproce . Aequiponderant ergo redo QJi
N, & RS, &fic femper. Ergo omnes fimul lineo trianguli
A F C ( nempe ipfum triangulum^ aequiponderant omnibus fi-»
mul lineis figuro G L H M , ( nempe ipfi figur^ G L H M . )
Accipiatur AV tertia pars totius AC. Manifeftumcft,
quod fi ex V demittatur reda ^quidiftans ipfi A F . in ipfa erit
centrum grauitatis trianguli A F C ,* eritq. ipfa ad horizontem
perpendicularis . Propterea erit triangulum A F C . appenfum
centraiitd ex pundo V • Eriiq, triangulum A F C ad ipatium
G L H M . reciproce vt D A ad A V , nempe triplum*
Cum autem fpatium G L H M oquale fit parabolo A B C|
erit triangulum A F C triplum etiam parabolo ABC*
Reliquum quadrAttir^ dbfoluitHr vt iuPrcfoJtttQne
Uumeli^
Fropofmo XXL
P AraboIa fefquitertia eft trianguli candcm ipfi bafim, 3ic
eandem altitudinem habentis .
Eftofcmiparabola ABC, cuius diameter CE, ordinata
AE, tangensvero CD, & compleatur par aUelogrammum
A E C D . Manifeftum eft quod omnes lineo trllinei mixti D
L % ABC,
§4 De Dimenfione Parabolae
A B C> quas quidem diametro paralle-
las fint, inter le funt in eadem ratione in
qua funt omnes circuli coni alicuius,
qui axem habeat D C , & verticem C.
Ergo centrum grauitatis omnium linea
rum trilinei D A B C , erit in illa, quas
diuiditlibram D C; quemadmodum
diuidit eandem centrum grauitatis co-
ni 5 nempe vt pars ad C terminata , re-
liquiE fit tripla . Fiat ergo CF tripla ip
filis F D . & du6ta F M parallela ad C A INV L
E , erit centrum grauitatis trilinei D A
B C in reda F M . vbicunq. fit .
Item, omnes linece, quae in femiparabola AB CE ducun-
tur ad diametrum parallelae, inter fefunt in eadem ratione, in
qua funt omnes circuli alicuius hemifphaerij, cuius axis fit A E,
Lem.%%, vertex vero A . Ergo centrum grairitatis omnium linearum ad
libram A E appenfarum, fiue ipfius femiparabolae, erit in illa ,
quas libram A E fic diuidit vt diuidit eandem centrum grauita-
tis hemifphaerij jNempevt pars ad A terminata, fit ad reliquam
vt 5. ad 3. Fiat ergo AI ad lEvt 5.ad 3.;& duda I H paral-
lela ad C E , erit centrum femiparabolae in reda I H , vbicun-
quefit. Ducatur tandem GL, quse bifariam fecet latera AE,
D C. & in G L erit centrum grauitatis parallelogrammi D E .
quod fit O . Ponatur centrum grauitatis femiparabolcelTe pun
duquoduis P. dudaq. PO,producaturinN;&eritN.centru
grauitatis trilinei D A B C . lam , femiparabola ad irilineum
eft vt N O ad O P , fiue vt M L ad L I ; nempe vt 2. ad vnum ;
( qualium enim partium tota A E eft 8 , talium A M eft 2, M L
ell 2,LI eft vna,&teliqua lE 3.perconfttudionemjErgo
femiparabola ad parallelogrammum erit vt 2. ad 3, fiue vt 4.ad
i j & femiparabola ad triangulum inferiptum vt 4. ad 3 . Nem-
pe fefquitertia . Quod&c.
F I N IS.
APPEN-
D V dH c;
r~
N
r
'
/
1
\/i
j
B/
/
A
\
\
N
/
E
A P P E N D I
De Dimenfione Cycloidis .
IBET hic Affendicis loc 9 Addere folunonem
problematis non iniucundi ^ (ir Jl materia ^fro*
- pojttionemquefpedies , primo intuitu difficilu
mi . T orjit hoc ^fefellitq. pluribus ab hinc an^
nis MJtthematicos no siri foculi primario s ;frH*
Jira.enimtentatademonHrdtto euafit ab illorit
manibus ob fallaciam experienti ^ . Appenfis namque ad libram
manufa^am fpatijs figurarum materialibus^nefcio quo fato , e4
proportio qua vere tripla efi , fjempe)r minor qua tripla apparuit ,
Vnde fa^um ejl , quod potius ob fufpicionem incommenfurabim
litatis (vt ego credo ) quam ob defperationem demonUrationis ^
infiituta contemplatio ab illis dimijfafit .
Suppofitumeji huiufmo
di. Concipiaturfuper ma»
nente aliqua reSla linea
a b . circulus a c , contin-
gens rectam ab. in pun-
dio a . Noteturq; punBum a , tamqua fixum in p er ipharia circuli
ac. T um intelligaturfuper manente redia a h.conuerti circulum
a c 5 motucireulari fimul progrefftuo verfius partesh : ita vt fu
bind e aliquo fui punci o redi a linea a b femper c ontingatquoufq,
fixum punctum iterum ad centadium reuertatur.puta in b . Cer^
tumciiyqubd pundium a fixum in periph^ria circuli rotantis a c,
aliquam tineam def cribet , furgentem prim}) a fiubiedda linea a b,
deinde c ulminantem v erfus d i pofiremo pronam ^ de fc endetem^
que verfus punctum b.
V oc.ata.€dijpradec e fforihus nostris . Pracipue aGaliieo iam
fupra jfs • annumy huiufmodi linea ad b. Cycloisy redtavero i\ b^
bafis cycloidis y lAt circulus '! c , genitor cycloidis .
Proprietas j cjr natma cychidis ea efi^ vt bafis ipfus a h.f*
8(5 _
qualis Jit perlpharid circuli genitoris zc , quidem nete
adeo objc urum eB ■: Nam tota peripharia a c fe ipfam in comer*
ftene commenfHrauitfuper manente reBa 2ih ,
£^aritur nunc quam proportionem haheat fpatium cycloida*
le d.db ad circulum fuum genitorem ac / OjlendemufqueyDeo
dante , triplum effe. DemonBrationes tres erunt , inter fe peni^
tus diuerfae . Prima , ^ tertia per noudm Indiuijibilium Geome*
triam nobis amici^imamproc edent : fecunda ver)) per duplicem
pofitionem , more veterum reeepto ,• vt vtrifque fautoribus fatif
fiat . Cperum , hoc moneo principiafere omnia , quibus aliquid
per Indiuisibilium G eometriam demonUratur , ad folitam anti*>
quorum demonjlrationem indir ellam reduci pojfe : quod a nobis
f alium ellt vt in multis alijs, ita etiam in primo ^ ejr tertio fequem
tium T heorematumi fed ne lelloris patientia nimium adhuc abu
feremur plura omittenda cenfuimus ^trefq^ tantum demonjha*
tioms exib emus
THEOREMA II
Omne fpatium quod fub linea Cy cloide , & ret^a cius bafi
continetur, triplum eft circuli fui genitoris ; fiue fefquialterum
trianguli eandem Mfim. 5 & ca;ndem altitudinem habentis .
Ejlo Cjclois linea ^hc de*
o
H
Q
i
T'
f
fcripta kpunHo c circuli cd
c f dum ipfe circumuertitur
fuper manente basi a f . (fon-
sideramus automfemicyclm-
dem ie^rfemicir culum tantum
ad euitandam figura confu^
sion emi) Dico fpatium a bc
f triplum tffefemicirculi cd
ti; smefjquidlterum trianguli Victf
Accipiantur duo punita h,^ i in diametro c f. aqu^remo*
ia a centro g ^ DuHifq. h b , i 1 c m aquidifianter ipsi f a , tra»
feantperpunBabr<^\ fcndcirouU obp, mlxiif quales ipsi c
contingentes basimin pun£iis
Nanife*
A
A:\
'Lr '
DeCycloide. 87
M 4 mfeBHm efirelias h d , i e , x b , q 1 aquales ejje ,f er 14
Tenqy^qudlefq, erunt urcus o b , 1 n . Item cum ^qu des sint ch
i f , aquales erunt c r y u a ob pdrdlelas .
^ota. feriphprU mln^ob cycloidem, squdis eft recf^ a f.
que arcus 1 11 reida a n eandem caufam , cum arcus i n -feip*
fum fu fer recia a n commenfurduerit y er ge reliquus arcus 1 m ,
reliqua re^p nf fqualiserit . Eadem ratione arcus b p. reU^
apa parcus bo reclf^iy aqualis erit ^
Jam reBa a n aqualis eli arcui In yfue arcui b o yfue reUf
pf. Ergo ob parallelas , quales erunt at, (c. Verum quiaa^
quales erant etiam c r , a u . rdiqu^ u t, fr aquales erunt . Pro^
pterea in triangulis aequiangulis u t q , r f x , aequalia erunt la^
ter a homologa u q , x r .Patet itaque quod duae re 6 ta lu,br^-
mulfumptae aequales erunt duabus reclis 1 q, b x , nempe ipfis
ei, dhy(jr hoc femper verum erit vbicunq. fumantur duo fun»
Hahyd^ lydumodo aequaliter a centro fint remota . Ergo om^
nes lineae f gurae a 1 b c a aequales funt omnibus lineis femicir
culi ede i 3 (df ideo figura bilinearis a l b c a aequalis erit femi^
circulo edti.
Sed triangulum a c f duplum e ft femicir culi c d e f . (nam tri
angulum acf reciprocum e Jl triangulo Propof:pr( Arch.de dU
tnenf.circ. cum latus a (femiperiphaertae y latus v edo fc dia^
metro fit aqualcy vndefie quit ur triangulum a C iaequale ejf e in--
legro circulo cuius diameter fit c f.) Ergo componendo, totum
cycloidalefipMiumfiefiqmalterum erit trianguli inficripti acb;
f riplum vero fiemicircuU^ ede f . .Spipd erat
Lemma T.
Si fuper lateribus oppolitis alicuius re(5ianguli A F , duo fe^
micirculi deferipti fint , E I F , A G D erit figura fub periphas-
rijs^, &iub reliquis lateribus eompr^enfa Aqualis pr^dido re»
dangulo.
Vocetur amem talisfigura Arcuatum ‘3 tam fi fuerit integra^
quam etiam ipfius partes 3 quando feHa fuerit a linea ipsi £ d
parallela^
8 8 Appendix
D emori Br dtitr ; quoniam cum sint aequd-^
lesfemicirc. dempto communifegmento b g c,
additifque communibus trilineis^ b a, c fd .
clarum ei it propositum ,
J^ando uero detur cafus quod fegmentum l
nullum sit ^t une breuior fociliorq, demonjlra^
tioerit , Facile etiam per eandem proflaphe-
refim oftenditur arcuatum fectum a linea ipfi
f d parallela aquale ej?e rect angulo aquealto»
fuper eadem bafieonHituto .
Lemma II,
Ffio linea cy-
cloidalis a b c
deferiptd d pun
Ho c femicircu
// c d e dum con
uertitur fuper
manente a e.
Compleatur re-
Ilangulu2iicQi
fiatq. circa diametrum a f f micir culus a g f . Dico cycloidem
ab c f ?care bifariam arcuatum a g f c d e .
Si enim ita non efi^ eritvtiq. alterum eu duobus trilineis f g a
b c j a b c d e , magis quam dimidium etufdem arcuati . E Jio ^
ponatur alterum ex ipsis ( quodeunq, sit) puta a b G d e maius
quam dimidium arcuati . Sitq.excefusy quo trilineum fuper at
femiffem arcuati^ aequalis Jpatio cuidam K.
Secetur bifariam a e in h ; & iterum hc in i .* dr sic fiat fem
per donec reBangulum aliquod ie c minus reperiatur fpatio K.
Funediuidatur integra a zinparticulas aquales ipsi i e , drper
puniiadiuisionum 1 , h , i , tranfeant femicir culi aequales ipsi
c d e femicir cuto r tangentes basim in punilis 1 , h , i . fecantefiq,
cycloidem in o , b , m yper quae puncta agantur recta g o , p b,
aequidifiantes basi ^ Q s
fEri
F
De Gydoide . 8P
Erit kdqu e arcuatum o \\ fqnale iffi g 1 .* arcuatum vero b i
aquale arcuato ph: (^arcuatum aquale arcuato qi. Pro-
fterea^fniuerfa figura mjcrifta in trilineo a b c d e confians ex
arcuatis , p qualis erit figura eidem trilineo eircumfcrift^^ exce~
po tamen arcuato i m rc d e . ^od fi figura circumfcripta ad*
das fuum arcuatum i m r c Atfiuperabit circumfcripta figura ip^
f am infer iptain e xceJfupradiBi arcuati fmereci angulo xt^nem
pe mineri exceffu quam fit fpatium K . Propter e a inferipta in tri->
lineo figura adhuc erit plu/qudm dimidium arcuati a g fc d e.cJ*
ideo maior quam trilineum f g a b c . Sed eadem aqualis eli alte^ eflendi-
ri figur^ ex arcuatis compofit^ & in trilineo f g a b c deferipta : tur tnfta
ergo h^c inferipta figura maior ejfetfuo trilineo f g 3, bc. pars
fuo toto . quod effie non pote fi .
^od inferipta figura fi nt f quales patet, Nam arcus o I ^qua^
lis eBrecl a Ia, hoc efireBae ie, h^cefi arcui rm {obcyclok
dem .) Ergo arcuatum o h aequale erit arcuato m f . c^ fic de
fingulis .
Si vero fupponeremus trilineum f g a b c maius quam dimk
dium arcuati a g fc d c , confiruBio figurae , ^ demon Brati»
penitus eadem erit . Ergo concludemus cycloidcm lineam a b c
bifariam fecare arcuatum a g f c d e . ^od erat propo fitum .
THEQREMA II.
Spatiom cycloidale triplum ed:
circuli fui genitoris .
Eflo cyc tois a b c deferipta a pu
cto c circuli di ,dtco Ipatium a
b c d trip lu e fi f emicir culi c f d .
Compleatur rect angulum a d
ce; factoqfuper a e fiemicir cu-
lo 2.^^% ducatur ac.
T r i angulum a d c duplum efijemicirculi c fd {nam bafis a d
aequalis efiperiphaeriae cfd oh cycloidew-, altitudo vero dc
aqualis diametro) ideo reUangulum ed quadruplum erit eiu fi
M
dem
dem femicmuli cfd. Erga dr enatum agecfd quddrMplum
erit eiufdemfemicirculi : propterea trilmeum a b e ^d(per tem^^
ma prae edens ) duplum erit femieirculi , camponenda fpatiun^
zhcA triplum erit eiufdemfemicireuU c£ d»
theorema 1II\
Omne fpatium cycloi
dale triplum eft circuli
fui genitoris.
E Eia eyelaidalis linea
a b c deferipta a punEfo
c femicireuli c e d . Z>/
eo fpatium a b c d trip*
Ium effifemieire, cfd.
Compleatur reH angulum a fc d 'faHoq.femieireuh a g iy4em
eipiatur dua punEla h, c^i in diametro c d eque remota d een-
tra , fr dmantur h 1 , i g aquidiEt antes ad d.d, qua eyelaidem
feeentinquibufuispunEiis hy& o . Agantur denique per b,
e^ o duo femicir culi p bq, mon, vtinprecedentibusfaHum
ell.
lam re Ha g o , e qualis efireHe f u (^cum aquales fnt g r , o
u , & communis r o j fue aqualis eft reHf an , nempe arcui o n
(ah cycloidem ) vel arcui p b i fue reH^ p c , vel t h , vel b f .
Eodem prorfus modo , quo demonEirauimus reHam g o aqua*
km ejfe reHae b f, demon Etrantur omne t (f fingulae linede tri-
rea dicta trilinea interfe aequalia erunt . Ergo vt inpraeeeden-^.
ti Theoremate demon Etr abit ur cyckidale Jpatium triplum eJfe
femicirculi ccd, ^^derat^c,
J J n I
SCHO'
S C H O L I V M ‘
De Cydoidibus aliarum ipede-
rum .
H Actems deCycloide dicfum fit: ^Itmus eniM tOHtemf lA
tionemharfc demonftrdndo protrahere odtdfum ej^et yd*
ix appendice liber fieret. Proponi tdinen poterant adhuc non pau
ca citea hanc figuranr planam y quani Cycloiden$ Primariam ap*
peUare non tfset iMcrtueniens ^ qUandoquidcrn infinitae aliae
fpecies huin/hiodi figurarum ah ipfa iam confiderata primaria
Cycloide oriunfUt . C encipiafnUs ehiin ( in figura paginae Sj . )
nim foluin periphaeriark circuli ai e aequabili conUerJione rotari^
fedetiam^vmuerfkfHpldnumtaWiintefhnmy quani externum ip^
fius circuli a c in in finitum extenfi , Mamfefiurn ejl quod circu-
li centrum reBam likeafn defctiheiipfi a b aequidiBantem.Pun
Ba^efoy quaeintrapBifihaeriafn a C funt Cdnfilkuta , Cycloides
defcribent humiliores qudfn ipfd prifnaria a d b . quafdam etiam
fiquod incredibile qUafi v^^^ fleXudfds y rfi^ non ad eafdem
partes concauufn hahWtes : tales autem fient ^puncth prope ce-
if um cWculi rot antis exiBentihuf . PUnCMA/ero y quae ex-
tra periphaer iam ac erunt y Cycloide s defcribent y ipfa primaria
altiWes y^ojfque in infinitum crefcenfes .
Circulum cuiufcunq. cycUidispropriumgenmrem dicere pof
fumus eum y cuius pe concentrica fit periphaeriaezQt
iranfedtq.p^rpunctumcycloidemipfam deferibens .
Tnh&c c'dmueniunt omne , qUdd aequakbus bafibus infi fiunt y
■hMMittOres tamen cycloides bafim habent genitrici periphaeria
maiorem: altiores ver'o minorem genitrici periphaer^ bafim ha-
bent .
Matio y qudmvnaquaeq. cycloidalis figura habet ad fuum trk
dngulumymel ad cir culum fuum proprium genitorem , femper efl
maioris in^qualitatisy^ variatur in in finitum . Si tamen vtrum
M 2 aue
px Appendix
que JJmul c$jefidtres triangulum^ circulumy fqudli tatis ra--
tiserif,
Onine fpatium fub qualibet cycioide linea, & reda eius bali
contentum, ad triangulmriiuper eadem bafi fub ea/i em alti-
tudine conflitutum , eH vtperiph^ria circuli prbpfij genitoris
vna cum duplo bafis cyclaidis , adklupium balis cycloidis . Ad
circulum vero proprium genitor em vnumquodque cycloidale
fpatium efi: vt duplum baliS cycloidis vna cum peripheeria geni-
toris circuli ad eiufdem circuli peripheeriam . If ^
. Hinc ■pYoblemau locus pararetur ^data quacuj^q^rationema^
ieris in^ qualitatis^ cycloidale fpatium inuenire , quod ad tyian-^
gulum ffue circulum fuum ftin data ratione , (^in data baji , ^
Cuiufcunq. cycloidalis fpatij ad qiiodliber fpatium cycloida-'
le ( etiam fi mn ah eadem primaria cycioide ortum ducant) ratio
,eompon itur ex ratione altitudinis ad altitud, ^ & ex ratione du-
pli bafis cum peripha^ria genitrice ,, ad duplum baiis cum perir
pbfrkgenitfke* _ ' ^ ■kvV;,
7 ange }7icm ad quodlihet mp^tatumpunHum dari pop certu
eft ; peculiari primum ratione pro Cycioideprimaridideinde vnir
ucrf ali etiam pro omnibus alijs . Tangens ad darum qiiodiibet
pundum primaria cycloidis ducitur ex pundo fublimiorigenb
toris circuli per ipfum datunipundum tranfeuntis .
Tangens ad datum puiidum cuiufcunque cycioiois ducitur
hoc modo . Tranfcat per datum pundum cycloidis circulusip-
lius genitor , quem in dato eodem pundo contingat redacon-
ueniens vel cuni baii cycloidis , vel cum alia ipii ^quidiftante •
Fiatqj vt radius circulipoprij ad radium circuli priniary , ita tan
gens pr^dida inter datum pundum5^& baiim j vciasquidiftante
intercepra,ad aliam quandam lineam apte fumendam a termi-
no tangentis in ipfa v el bafi, vei ^quidiftante .Tum ab extrerni
tate huius ailuiTiprae tangens ad imperatum pundum cycloidis
emittatur . _ . •
Nonmdla e tid?n ‘Theoremata pro Mecanicis contemplatonr.
bus eae hac f gura derluari poffent ^ ni fi cornfukndum iam tandem
ef 'et m jtmul cum mole ftia tedium fiat ^
t
SOLIDO ACVTO
H YPE R B O L I C O
Problema alterum •
Frotmium ad Leffonm .
G G R E D I O R iam opus quod ipfis Geome-
ix\x candidatis non folum difficile videatur ve
rum etiam impoffibile . Ha^icnus enim in Ma-
thematicis Scholis reperta funt dimeniioncs
figurarum ab omni parte £nem habentium:
quandoquidem inter omnia foiidaj quce ah an-
tiquis 5 & modernis Auctoribus miiitipMei conatu ad menfuram
redada funt, nullum adhuc , quod ego feiam, vllam dimenfio-
nem habuit cxtcnfione infinitam . Imo flatimatq. propona-
tur fiue folidum aliquod, fine figura plana , cuius aliqua exten-
fio in infinitam diftantiam procedat, vnufquifque cogitabit hu-
mfmodifigLiraminfinite magnitudinis cile debere . Attamen
foiidumhabetGeometria, longitudine quidem infinitum, led
tanta praeditum fubtilitate , vtlicetin infinitum producatur, exi-
gui tamen cylindri molem non excedat . Tale erit folidum illud
ab hyperbola genitum, quod huius libelli eontcmplatione pro-
fequemur 5 intactum huciifque ab alijs, & multipliei,curiofaque
Theorematum varietate fiecuiidiffiinuiTi; eo vfq. vt , nifi me
Praemium .
lat affedhis, vniucrfa Geometria inter haiflenus confideratas fi-
guras nullam habeat curiofitalis abUtidantiorcm.
Qu 9 ad methodum demonfirandi , vnicum quidem , & pre-
cipuum Theorema duplici conatu oftendemus * & per indiuifi-
biiia, dc more Yeteruili . (^am^uaiti ( vt veta fatcalnur^ pn-
mb inuentum fit per Indiuifibilium Geometriamiqui fane verus
eft demonftrandi modus fcientificus , femper diredius, &ipfi
naturae germanus. Miferet rtie teteris Gedmetri2^,qu^ tu Indi-
uifibilium dodrinam, fiue non nouerit , fiue non ad miferit, cir-
ca dimenfionemfohdorum adeo pducas y^itates inuenic, vt
ipsd penuria infelix ad aetatem noflram peruenerit . Antiquo-
rum enim Theoremat:! circa doddnaiii foiidorum , quota pars
funteontempiationum, quas mirabilis noftro seuo Caualerius
f omifis alijs J in{lituit,circatot clafles foiidorum, fpeci e diifere-
tium, multitudine abundantium ? Methodus noftra,quam vfur-
paturi fumus in praefato Theoremate, procedet per Indiuifibiiia
curua, fine aliorum exemplo, non tamen fine prirmiiTa Geome
trise approbatione , Gonfiderabimus enim omnes cylindricas
fuperficies circa communem axem in noftro folido deferiptibi-
les . Cuius rei cum nullum Gaualerius ipfe tradiderit in fua
Geometria elementum , exiftimauimus noftram arguendi ra-^
tionem exemplis aliquot elTe corroborandam . (^lamqiiam
hoc apud me fuperf luum fit ; cum iam totum huius libelli pro-
grelTum ratum habeam , eb quod ipfum admiferit , probauerit-
que do( 5 tifiimus , & eruditifiimus vir RaphaelMagiettus ; cui, vt
in plurimis alijs fcientijs, artibufq;, ita & in Mathematicis di-
fciplinis neminem quis iure antepofuerit. Prjemittemus ita-
que ante ipfum opus , fub Exemplorum nomine , quafdam
Geometri^ propofitiones iam pridem notas, fed a nobis per In-
diuifibilia curua demonfiratas: Sic enim magis manifefium fiet
hunc modum demonftrandi non elTe negligendum , prsefcrcim
cum in rebus.diificillimis maximum ipfius momentum reperia-
tur . Indiuifibilia verb curua qu^e ad hiiiufmodi demonfiratio-
nes idonea funt, in planis quidem figuris folx circulorum peri-
phseri^ fe fe offerunt j in folidis autem , fuperficies fph tricae, cy-
9f
lindricse conic^eque ^ fantum confidera-
biles funt» tamquam ipfas figuras perfede adasquantea» & vn-^
dique aqualis. vniformifque fvt ita dicamj fpiflitudini$ - Pro-
mittimus igitur ante operis aggreflionem » prpmifla aliquot
Theorematum Geometricorum E^cempla ,
EXEMPLVM PRIMYM.
E Sta circulus^ cuius centm
a iJlmidiametcTtdi b % tan
gemveri) Jit hc
tur aqualis penfhdrtA h d .. T u
conimMur a c . Dka circu^
Ium b d . triangulo, a b c e([h
aqualem .
Sumatur inpmidiamcpo a b , qmdlihetfunilum it & ftrd
agantuTtyfcrphpia io cmaidcmccntrum drrc 04 U f 4 -
ralkta ad b c. Mrit itaque ftripJar ia b A y ad penjhariam io*
mftmidiameur b a yod ^ i • (demonfiratur enim 4 frim >
non fufpodtd circuli dimenfione ) Jiue 'vt b e ad i 1 ^ ^permu.-^
tan do i eritpetipharia \x4y ad reMam hCyVt pcrip^aria i Oj ad
r cedam i | . Mrgopcripk§ria i p , reila i 1 erit aqualis i hgc
Jmper yvbicunquejdt pmdlum x ^ MB:4Pck om^is ppjfjmria
Jimulfumf tfy amnijus reBis^mulJumptis aqpalcs frmf e nem-
pecir culus igt b d, aqualk erit pimguk a S C ^rc.
emevT^at am ho^ l^iiem^au Frima Jit 3meHjhm
mguki^
Exemplum II*'
E stucmuksyfmmradim ab, tangcpjqmhc Jkaqualis
diametro y &comuneldzccometttC4tm figura ab*
itanft fiatfphara b conusreSius c a d . DkdfpScram b f,
com c a d ejfe aqualem ..Sumatur enimm a b quoduispumiu i,
^ per ipfum i tranfieatfuperficies fphpicai h , circa centrum d.;
circu-^
circulufq\ lim incomcx A .Iam:fk-
perficies ffh^ric a bf /tqualis eritcircu-
lo cd .ffh^YicA %!eY'b bf> ddfphAricam
1 h , eBvt quadratum b a , ad quadr at m
ai; fiue vt quadratum b c ad quod, i 1 ;
nempe vt circulus cd, ad circulum 1 m.
Sed antecedentes aquales funtiCrgo etia
conjequentes : nempe fph^ric a fuperfici
es ih , f qualis erit eirculo 1 m . Et hec femper , vhicumque fit
pun^um i . Propterea omnes fphaericaefiuperficies fimul( fiue,
ipfa sphaera b ?) aequales erunt omnibus circulis fimul fumptis,
fiue cono c a d . ^od erat &c.
■ Aliter..
E Sto fphaera , cuitis diameter a b ,
tangenfq. hd fit aequalisfemidia
metro fphaeraiEt coniunctd a d , comer
tatur triangul. adb eirca axem bd.
ita vt fiat conus reclus a d c .
Ibico fpb aeram a b aequalem ejfie co»
no ad c. Sumatur enim in diametro a b quoduis punBum i ,
per quod tranfeat circulus ih, ad axem eremus in fphaera;fir fu
perficies cylindrica Ii m n , circa axem dh in cono .
fexti. ‘ I am: cum ah dupla fit ipfius hd^ erit ai dupla il^ ergo
quadratum {i^quod aequale ellreclangulo aib, duplum erit
^ p de teCl anguli 1 i b , ^ aequale reB angulo lim. Propter ed erit cir
piidts culus fh aequalis fuperfieiei cylindricae limn . Ethoc fiem^
/phxr . vhicunque fit punBum i . Ergo omnes circuli fimul, fime ip-
fa fph^ra , aquales erunt omnibus fuperficiebus cylindricis pmul
fumptis , nempe ip fi cono a d c , concordat cum 3 2 . liba*
Me Sphaera & Cylindro Archimedis .
. {
EX5M.
Exemplum IIL
E Std qMadrMum a bcd (nifienim
qmdrAtum fuffonatur^ ratiocina-
tiofalfd^uaderet , oh indiqudlemfuperji-
cierum fpij^itudmem^ fitie oh diu er Jit d-
Um tranfitus) cuius quadrdti e Jio did~
meter ac y& cmuertMur Jigura circd dxem c d , itd 'vtjidtcf-^
lindrus ceuus acf- Sumdtur deinde inreei a d.Cyquod'-
Uis funUtim h i ^er quod inulligdtur aCius circulus h 1 , intra
e:onum com;pr^h€nfus I (dr ir/fu^er fuferjicies cylindrica^ cuius
feBiofit h i s axis^erx) c d . Erit ergo fuperjicies cylindrica h i
ad circulum hljuam hajim, ^t reBa hi, ad quartam partem Sfhdt, *
diametri h 1 Et hoc njerum eritjemper, •vhicunq ; JitpunBum h,
E rgo mm^s Jimulf up er f cies cylindricjt {nempe folidum, qmd ex
cylindro relinquitur ydempto cono z.c%) ad amnes Jimul circu-
los {hoc eM , adconum acQ erunt , vt funt omnes Jimul reU^
trianguli a b c , ad quart am p art em omniumreci arum triangdli
a c f nempe inramme dupla . Suod concordat cum Theorema^
te xMh. XII, Euclidis.,
r
Exemplum I V.
E Sto conus rcBus a b c yruius axis b d>*
drproduBa b c in Cyit a ut circulus,
cuius diameter c e , Jit '^qualis curua fu^
perficiet coni a. bc , comipidtur circa dia-
metrum c e circulus er eilus ad planum a
b c ,• &fiuper circulo c c , inteUigatur aL
ter conus c dc , habens uerticem in d.
Eico conum a bc , cono e d e, ejfie fqua^
iem.
Sumatur in reBa d c quoduis punBum h , qmd duBa g
h ri pATalleUad h t ^mtelUgatur per h g fuperficies conica m*
iV g h ; cir--
p8
g h ; circ^q^ ipfdm h ti circulus fdralletus circule e e . Idm t c 4 ^
nicdfuperfictes a b c , dd c ir culum f ud bdjis a c , ejf vt recld b c
dd z& yfiue vt g h ad h d i; nemf eyVt comcdfupcrfcics m g h,
ad circulum h m . C irculus:4utem a c ^ ad circulum ce, ellvt
quadruplum quadrati: d c , ad quadr^. _c e i ^uc vt quadruplum
quadratiA \\ ^ ad quddrat)xr\ ; hoc e B vt circulus m bj ad circu
Ium h n Ergo ex dquo y erit comca fuperfi^ a b c , ad circu^
Ium ctyVt conica m g h y. ad circulum, h n Et. hoc femper ve-^
rum erit , vbicunqr fueritpuncium h ,, Ergo omnes /imulconic^
fuperficir.s.i^nempe conus a b z) aquales erunt omMibusfimul cm
culity nempe cono.cdQ .Quod erat (jrCf...
Concordat cumhoc Tbepremate Prof og, xvij Ub* f rimilTe xylin,^.
dra.Arehim^..
ExeiTiplum ¥»,
E Sto circulus , cuius diameter^ a b ,, pondturque tangens^ h c
. didmeE^qualisy idgiun^ d 2.c^ conuertatur f gurae trej ax^
a b , it dvt Jiat fp hara a e b f , cd conus r e 5 l:.us c a ii .
I>ico conum c a n , ipjtusfphara dup-
lum e (f e.
Accipiatur in diametro zh quodtihet
punclmn d , p er quod agatu r ptdnmn c £
ad axem a b ereifum i quod quidem pkt-
ntim duo sctr culos e-^ iet% alterum f in,
/ph ardy alterum vereE t meono i Conci-
5. p,“ ie piaturfuperbafi h i cylindrus reciUs;h.Xml\. lam 7 fuperficles:
poli: fpb:: cylindri h Imi , ad cireulmui e £, e, E v.t- reEangulMm ii, ad,
quadratum e d ,• nempe duplax Et hac femper iv.btcunq. fit pun
Bum d ::propterea,vt vna ad vna, ita,omnes ad,omne.s.,Erunt er-^
go omnes fuperficies cylindric.d ,. nempe cenus-c a n ,, ad. omnes:
circulos i nejnpe ad fp heram: a e b f yinratione dupla ...dluod (fc,^
Comrrdat s.umMm Theoremate Propopr xxsxij . Te Sfhera.,^ ter eylmdrj
fexemplum VI.
h i tangenti a c ^parall eia , circa axem e f
reuoluta , 1 am c a ad a e ejl Ih ad h ^ fumatis eonfe-^
quenfium duplis , c a ad 2ih ^ vtWs. ad h i . Proptered, 1 h
ad h i aqualis erit ; ^ ideo fuperjiciescurua cy lindri 1 h i o aqua
lis erit fuper fidei fpharka hi. Et hQcfeniper , vbi unp'^ fuerit
pundum h . Fropteredonmes omnibus^ nempe omms fuperficies
fph^ric^ fimul fiuefph^ra a b , ^quales erunt omnibus fuper yf-
ciehuscylindytcis filmul ^ hocefifolido excauato c a b d . dempto
cono c td.^od (fit.
Concordat cum hoc ‘theor, Vropoptio i xM Sfhtsra iST cylimltQ .
|j€mma^
S V per fi cies csnuficunque cylindri >*<?■*
cii a b ( intelligo femper fine baf^
bus ) adfuperficiem curuam cuiujcunque
fegmcntifpharici c ficytfi *vt r e cl angu-
lum per axem cylindri ^ ad red angulum
f d i ,/ub catetofiegmenti ^ fi diamem fphgra .
Nam , fuperficies cylindrica ab, ad cir culum cuius fiemidia-
meterft Imeaexpolo ycf vt refiangulum ab, ad quadra-
- ■ dd •: 'jg tum
i)
B'
roo
t/im d c : ^r^^pimptu confiqu&nrtltim ^quatihui ^ ertt cyBn^
drkiJdjMperjicies-iddcurUdmfph^rici fegmenti ede fuperficie^
tt^angul^mz. b ad r€,^angulHm f d i .. ^l^od erat
Exemplum, VIE
E StctifpBdra., vna cum^cylinim; fibi circumferipro ^ querum
axis fit rt^a Seetntarq:, pldno ixh ad. axem ereUo
cylindrum 2ihiy,fefq^^ ejfie (olidi feMoris fpk^rici
ercfg.
Accipiatur ct aqualis tp fi
cn., dr intelligatur cylindrus
1 c d m 5 cuius ahtuado. 1 c . erit
que ^qurdis cylindro a h . €on-- A
aipiatur etiam, demptus conus
1 g m^ci^/dmpto in axe c ^ quo-
uispunBo o fiant aquades^^o y
g r 5 ^ tran((eat per ipfumpun-^
iiu o fph pica fuper fides- o U;
infectore-^ cyLindriea i o,r f,,
in folida cylindrico» le d ra ex--
cauato ahlatime coni\ ^mfit
que tamfphpic^, fup er fidei quam tylmdm^ tranfieuntisper a,
diameter ipfia-QX.-
lam :: tota: c g , adtotamrectam g o , eii vt e g; ad g q, nertp-
pe^vtabiata: ag,, 423 ?' gp ddebreliqua c n ^ad o p , erit vt to-
ta cgydd g ©fifiue vt c 1 j. ado i .. Sed ant ec e dent es fiunt aquOr-
les yergoredi-f o p^,. at f quales erunt ^ Froptered rectangula r
o p, r oi aqudid erunt yfi^fiupe^fiei es fip hpka ,.e\ o \x aqualis
efitfiuperfitcieicylmdric^ i ari.. Et he femper y vbicunque (it
punctumo. ^ Erghomnesfiuperfitciesomntwsmfiegmentorum fpha~
ric orum (nempe fidlidusfec tot e cf aquate s er UMt omnibus fii-
perficiebus cytmddad^^ kor e fi /olido excauato Lc
d m ^ Cuifi. addatur conus iam-abtatus^ l gna, patebitpyo-pofi—
tum :: nempe cylindrum \cd.-myfiue -XAifiefqui ait erum- efifie fi^e-
€Uris fpkpid e c;f g .
K \
!>=-
f
/
fx
; \
7
R. J
-/VI
D
Leni-
lOi
Lemma.
Rem circulorum ab, cd. inter
Je rdtionem hdbent com^o fit um ^
txrationejemtdiamettorum ag
ex r ut tone angulorum a g b ad c fcl . \ jt
7^ am yfiat angulum c f h aqualis angulo G r
agb. Erit igitur arcus ab/^^ch,
femidiameter a g ad e f ,* fed arcuc ch. ad efivt angulus
c f h , mei agb, ad angulum z f d . Ergo patet arcum a b , ade d>
tationem habere compofitam ex rationibus fiemidiametTorum a
ad cf j angukxum a g h ad c f d ,
&
Exemplum V I II.
E Sto circulus ^ cuius femidi amet et a b
fit initium tine a fpir alis a eib . Se-
cetur bifariam ixh in c; & eredi a perpen^
diculari c d , quantacunque ^fiat per pun
€ia a d b parabola cuius diameter c d .
' ^ centro a , interuallo a c fiat arcus c e,
Jbico fpatium /ubtpsafpiralfcfiredfdzh'
comprahenjum , adfadtdparabdldm a d b,
cjfe 'vt arcus c e, ad redtam c d .
Sumatur in ab quoduis punBum aliud d puelo c, putah ; ^
per h fiat arcus hi infpatiofpiralis, recta hi in parabola ^
ip ftus diametro equidifians .
lam z arcus c e adh. i rationem habet compofitam ex ra-
tionem femidiametrorum c d. ad di h. y (tr ex ratione angulo-
rum , fue ( quod idem e fi oh lineam fpiralem ) ex ratione
temporum , nempe recta c b ad b h . Ergo arcus ce, ad
hi, efi^t rect angulum zcb^ad rectangulum a h b ^fiue vt re-
ctae d ^ad h i , ob parabolam . Permutando ifritur^ arcus zt ad
rectam cd^efivt arcus hi udYectam\i\',(^hoc?mdofemper y
uhicun-
. J O J
f.kktinque Jit functum h . JErgo^mnssJimulurcus, Jiuk ffdtiU
ffirdis j ad omnes fimuL rectas , memfe adf ardboldm j ^runt m
unus arcus c tYddunamrectam c A» Jijuod erat ^c.
Si qui$ ergo potiat redapn ^^^qual^Ti atcpi/emicirc
erit parabola a d k aequalis fpatio fpirali . (^idque arfbu^ 4iijs
modis fpatiumipimlisline^, in par^olainttansfbrniatdi^qilS--
quam non omnes per curua indiuiiibilia proc edant « Et Thed*
rema concordat cum 2 5. delineis fpir^libus Archimedis» :
Exemplum IXj
n.duede'
cimi :
E Sto hamiffharium 2ih c , cuius axis
b d . conus uerloinJicriftusSi b C . Z>/-
cOi hemiffharium if fius coni effe duflum . IvT
Sumatur in rectd a b functumquoduis
\'i fer quod trdf tat circulus sxoinhemif^ -A. F D L C
fhario erectus ad axem} (Jfuf er f cies cy^ . .
lindrica f i h U //s* cono circa axem p 4 i
lam : circulus n o^ ad i h j e B:jut quadratum n p p i ?
diuidendo ^ armtll a circularis^ cuius latitudo ni, ad circulum
i6 Sex* ^h, n\o , ad quadratum {'fifedrectangu^
p , Ium n i o fme a i b , f quale fejlrectangulo f h Jnamq^ er ^Jextii
2.1 ad \ f , eB ut ii i ad ib . ) Ergo , armilla n i^ ad circulum ib,
^ de crk Ut rcctangulum f h , ajquadratkm i ^ i jiue ut cylindrica
/oli: Bh. Juferft ies ad eundem circulum ih, Aequdes er^Junt
armilla cir cidaris^ cuius latitudo ni, cJfuf erficies cylindrica
fi h \:rdr hoc femfer , ubicunqjh functum i Ergo omnesjimul
armillf, nemfe folidum hamiffpjaricum excauatum demfto cono
a b c , aquales eruntomnibus fimulfuferficiebus cylindricis^ne».
f€ if fi cono a b c . Eroftereaconiungendo^fatethemffhm^^^
inj cr i fti coni duf lum ejje , ^^odcfc.
Exemplum X
Vodlibet minus fegmentum ffhaerku^^ ab C , aequale ejl^
conoidi cuidam hyferboU^^^^ eandem altitudine
idi ha-
10 /
Ed habenti ^ fuf er hajlm uiro e f, fqua-
i.emcuruaefu^erJicmfegmenti-,eonJi:i~ ^
tuto '. cuius latm uerfumjit d ^yfciUc et
differentia inter catetumpgmenti^e^ r A
diumphaerae ..
N ampumatur in fagitta b d quoduis^
functum n , '^er quod tranfeat ffhaerica
fuperfteies o nr, frior i concentrica in
fegmento -, ^ circutHs cuius radius n m»,
ka(ifarallelusinconoide.i^
V.ruq^.curuafuferfic)es;2ihc:yadcur^
ttam, o s V y Ut ck ulus exradm a b , ad: circulum ex radm an j .
qM aequalitatem tjju e ut quadratum a b ad. o n , ue/ ut re6ian~
gulum ib d,; ad r e cf angulum, h n d .ffucy infubduflis y utre^
cranguium g bd , ad g n d i ffue ( oh hyf erbolaml) ut quadratu
\y i->ad quadratum n is ,* Jiue ut cirmlus radia b f, ad circulum
eu radia s |;TI Sed ant ec e dentiafunt aequalia ferfuffojfftioney,
ergo aequalis eritfuf erficies mrua O n r , circulo cuius radius
n m E/ kocfimfer ; ergo omnes omnibus ; nempe ffhaerae feg~
mentmn minus aequale erit CMnoidi hjperbolico..^od erat
' Quando vero fegrncntum fpharse fuerit Hemifph 2 erium,de-
' sionftratiir aequale cono , qui bafim babcat,^qualcm curu^ fu.--
' f erficki hcmilpberij , &altitudiliem eandem
Quando vero kerit fegoienmm fpba?r^ maius, tunc oflen--
detur ^quaie duobus {olidis nempe friifto cuidam redto conoi-
dis hiperbolici, cuius maior bafis fit ^rqualis curuae. fuperiiciei
fegmenti. fpbariei , latus verfum fit excefrus fiigittte fegmenti
fupra radium fpharir, altitudo vero exeeflus dia.metri fiipra fa-
gittam . Et cono cuidam , fupcr minori baii pr^didfi frufti c6-
ftituto , cum altitudine , quae fit tequalis lateri verio ipfius frufti ..
Eaeiiis demonfiratio eft,quamqiia^ propofitio difficilis videan-
tur.,.
QoncM dantia praecedeMtis demmMrattomSj
cMmJoMrmdArcMmedisf^.
SMm^
ittde Co
notd: tS"
fph^roid:
dem ;
w
e^f-
G 1
T J
I
V
/04-
Sumptd pYdtcedenti ciinfiriiBlme ^
figura \ Efia Comid^s hyperbolicum c d f
quod ofienfum eji aquale minori fiegmen--
tojphara a b c , Dico illud-i€tiam exdo^
Eirt na Archimedis ^ pquale ejfie pruidi^o
fegmemo fpharico a b c.
Tiro ducatur i u qualis radio fiphara ^
eritqifiegmentum minus a b c y ad conum
a b u d ad Ai , Tetnatur -etiam td .
fefquialtera ipfius g d . Eritq\ comides
e d f , ad c onum ^ d f , vt t b ;ad b g ,
lam:fegmentmnfiph4rieumyadGonum
fuum a b Cy eJi vt \xd ad d^ i t conus autem 2ih C y ad conu Squfi
altum c d f » e fi vt quadratum a d yadquadratum e b \ fiue ad
^uadr , a b j n emp e vt reSl angulum i d b , ad reblang-. i b d yfi^
m njt eorumde altitudinesydi ad i bi Ergo ex f quo yfiegmentum
fiphdra a b c > ad conum e d f, eJl ut u d^ ad i b fiue ( fum^
ptis earumdem redarum fuhduplis) m r b ad b g . Etejnpe uf
Conoides , ad eundemsionum . e d f. Aequantur ergo fiegmentB
f philtra, y .& ipjum Conoid: etiam ex doEirind Archimedis ..
Afrumpfimusre<5tas/i,^^. ciTefemiifesrcdar^^^^
re fptdiu€, & hoc patet . Nam , ex duabus femi^
diametris, Scexipra^^ j fed condat ex vnka femidiametro,
& femiffe dgy ob conftrudlionem. Reliquum manifcdum ed,
Latus Redum pr^ediai Canoidis uon eft necefiaiium^quan-
doqiiidem datur latus Verfum, & femidiaTOter baii^ fed fi quis
illud requirat inueniet duplum efle lateris verii.
Exemplum XL
iafis a d , axis ^ere p e , mtelligatmque
Matus ab ipfio conus b e c > ita ut relin-
flUatur cylindrus excauatus , Produc a^
Uf deinde c d in i yitast d duf^
\ t
U ■
tum
ro 5
reBdnguU c d e, imBa e f contimdtrn nidfsg.xA i(faU
'4^m tnMgmationeynmi ferfe&a) ita vt oriatur qo~
■MUSf Gums bafisfemidiameter fit Ai , axis tvcro e d • Dko talem
Gonum aqualem effiefr^diBo cylindro excauato . Sumatur enim
in axe c d , quoduis fundum i y (fi fer iffium tranfeat fuferficies
cylindrica i 1 m n , circa axem (.^in f olido excauato cylindrico ,*
:cfi circulus cuius radius i o in eo cono , qui axem habet e d .
lam circulus ex radio d f , ad circulum ex radio i o qua
dratum d f ad i Oy fiuavt quadratum d e ad e i -ifiue vt redan-
gulum ede adrcBang, Viti-Sed quadratum df fonitur duf>^
Ium red anguli ede; (rgb quadratum i o duflum erit rcBangu-
/i li e v(fi' ideo aquale red angulo 1 i n m . Prof tere ficir culus ex ^
radio io aqualis erit fiuf er ficieicy lindric a linnii (fi' hoc fem-' fiU: fth.
f er vbicunq^ fit fundum i. Brgo omnes circuli fimul^ fiue co^
nus cuius axis efi e d , aquales erunt o mnibus fiuferficiebus cy^
lindricis fimMl , fiuefoli do cylindrico excauato a b e c d « ^uod
€rat(fic.
Quod autem concordet cum Euclide 1. 1 2 . oftenditur . Nam
conds ^^c,ad conum eum qui habet axem ed^ rationem ha-
bet compohtam ex ratione altitudinummempe reto f e ad e d^
Eue re^tanguli f e d , ad quadratum ed^ & ex ratione bafium ,
nempe quadrati ad quadratum df. Ergo conus ^c/,ad
conum cuius axis eft e eft vt redangulum f e dy^d quadra-
tum dfy nempe fubdupliis,ob conftrudionem ; fed idem conus
hec fubduplus eft folidi excauati ^ ^ e r ergo etiam ex do-
tona Euclidis patet folidum cylindricum excauatum ah e c dy
aquale elbe cono , cuius axis eft ^^,radius vero bafis df, ^cc„
Exemplum XIL
Vilibet cylindrus r edus zdo y cuius axis fit dy actualis i
ed conoidifaraholicoycums altitudo fit c d ifiemtdia’-
* meter veri bafis fit d(y qua quidem fotent id fit <squa
lis red angulo a b tfir erit circulus ex radio d e aqualis fiuferfi- 5 paefv
cieicylindricg ab.
Intel-'
IO(f
InteltigMur comem ffmipdrSoU ec d
circa axem c d , itavt fr<iedictum coneides
eriamr , fumpto deinde in axe cd, cjMolibet
^ punBo per ipfum tranf tat in cylindro fu^
perficies cylindrica 1 1, circa axem c f; at A C
in conoide ycirculus ^ cuius fiemidiameter fic
i h , ba(i parallelus .
lam ifupcr fides cylindrica a b .• ad cylin--
dricam ii, eH vt red angulum ab, ad re-
dep B angulum il, fiue^t eorundemfiemtbafies^ dc ad cufiuemfi
effpara d^ ib,* nempe *vt circulus ^ exradio dt ad
bQlam, circulum CY. radio i h . Sed antecedentes ponuntur aquales, er^
go etiam confequcntes ,• nempe fiuperficies cylindrica \ 1 , aqua~
lis erit circulo ex radio i h .• ^ hoc f emper , u^bicunque fit pun~
Bum i. Pr Opter ed omnes cylindrica fimul fiuperficies omnibus
ctr culis aquales erunt . videlicet cylindrus cmoidi .^od cfic:
Demonftratur concordare cum Archimede hoc modo . cy-
lindrus ab ad conum in conoide inferiptum , rationem habet
compofitam ex ratione altitudinum , nempe ex ratione fi c ad
tertiam partem c d\ ( pro cono inferipto, accipio cylindrum in
eadem quidem bafi, ied cum altitudine fiibiripla /& ex ratione
bafium, nempe quadrati cdzd de, fiue quadrati .c ad re-
(ftangulum ab,{im redcC ad duplam c/iiiue in fubmplis
vt tertia pars c d, ad duas tertias ipiius efi, Propterea cylindrus.
^ , ad conum in conoide inferiptum, ent vtfe , ad d uas tertias
ipfius/ir , nempe fefquialter .. Concordat iraq; cum .-deGo-
noid. & fpha^roid.
Exemplum XI IL
Vilibet conus reBus a 5 c , cuins axis fit b d , aqualis efi
fiph(&roidi , qua axem habeat d c, nempe fiemidume-^
trumbafis conii (fi fieBd dc bifariam in ifiemidia-
meter fiphproidis fi e potent id fit fiub dupla trianguli a b c ,
Compleatur rcB angulum f h 1 u ; eritq . , ob fiuppo finio nem, re-
B a {c
I
dms io: i aqualis mpfiiferfcki eyiMfk^i fh
circ^ 4x^m b d ,
SumMmiam qdedUhet functu
i in axe dc.c^per Itranfeatfu^
fer fetes cylindrica i m n o ; cir •
culus in ffharoide., cuius radius fit
ip. Superficies itaque cylindrica
fi , ad cylindricam in, eB vt re^
Ct angulum f 1 ad i n . NernpCy ra^ ^
tionem habet copo fit am ex ratione
f h ad i m yfiue f cad c i ; cfi ex rap-
tione fu ad ioyvel fd Wdi.
erit itaq. cylindrica f 1 , ad cylindric amTi n ^ rectang, d fc ad
rectang, d i c ;fiue njt quadratum £e ad ipy nempe vt circulus
ex radio f e , ad circulum ex radio i p . Sed antecedentes aqua
le s fiunt y ergo etiam coHfiequent es : nimirumy fiuper fides cylin-*
drica i m n o, aqualis erit circulo ex radio i p. (fi hoc femper^hi
cunq. punctum i , Ergo omnes omnibus: hoc efl conus a b c^aqua
iis erhfipharoidipradicta . ^uod erat (fic.
Concordare cum Archimede oftendemus. Nam; conus
ab conum in hemifph^eroide inferiptum , rationem habec
compofitam ex ratione bafium, nempe quadrati d c , ad quadra
twca fie ; vel quadrati dc ad redtangulum fil ; (iue (cum redtan-.
gula habeant sequ^em baliinj) red^e d cy ad ; fiue ^ c ad dh.
Et ex ratione altitudinum, nempe b d ad df. Erit ergo conus
ad conumin hemifphseroide inferiptum, vtreda^c ad re-
dam dfiy nempe quadruplus. Concordat ergo cum Prop. 2 ^^
dc Conoid* & fphteroid.
Mi; ppk;
'6 p: iefa
lid; fibt
oh ellk*
Jim ,
.'i
Exemplum XIV*
E
Sto parabolay vel hyperholay vel ellipfis ^ vel circuli circumi'
fierentiaycuiusaxis ‘ixhi fiemilatusreBum fit ad am^
O 2 gulos
gulosreBoscttm
axe a
iuncia bc ab
extremitMe a~
.Su
matunam qua^
Uhet ordinatim .
apflicata dc,.
■jjrodMcfain f;
f onucrtatur ipfa feBk eonicd ctrcd axem a e ; fed quadrildd
terum a e £c conu enatur circa a c . Bico folidum fadtum A
contierfione trilinei dae, f quate ejje foUdo efcih, fattoA
cfimerfione quadrilateri aefc, circa axem ac reuduti.
Nam i cum a C' fit Jemilatus r edum ^ erit quadratum applid
cats d e , duptum red anguli a e f , dr. ideo aquale reBkngu-
lo hef. Fropterea-iCfrculuSiCuinsradius fit <&qualis erit
fiuperficiei cylindricf , qua de fer ibit ur a reda- e f , circa axem^
a c conuersa. Bt hoefemper -) ^bicunq\ fit pundum' e . Ergo
omnes omnibus . Nempe omnes^circulifimul \fiuefdlidum qonoi
dale i aquale erit omnibus fuperficiebus cylindricis fimutfium~
ptis^nempefolidddefcripto d quadrilatero- aefc , circA axem
ac conuerfo . ^uod&c^
Seholiumv,
S I quis vero dubitet , an procedens Tfieoreina concordet
ciiin Propofitionibus Archimedis, omnem dubitandi oc-
cafionem delebunt tres feqiientes demonftrationes ^
€oncordantia pro G onoid t par ab otico ,
EOio conoides pa raboliciiin a b c . Qftendit Archim. Prop
23.de Conoidv&Sphseroid. Conoides ahe^ eiTefelquiaL-
terum coni *
xis procedat
Eftb folidum , quale difcriptum^ eft a
quadiilatero dhhg^ ia procedenti con^-
ftrudione; quod quidem folidum in para-r
bola,erit cylindrus. Sccetur in tres par-
tes^Oqualcs tam ^/^,quam etiam ^ ^.Eritq;^,
eonus abe aqualis cylindro fuper eadem
■ bafi a e conftitutOjfub altitudine vero
confiderabimusq; cylindrum hunc, pro.
di(^ocono/f^c.
£
A j) G <i
lam : cylindrus g emd conum 4 h c, flue ad cylindrum cius
vicarium, rationem habet compoiitam , ex ratione altitudinum
' hbzd /(!/ .& ex radone bafium, nempe circulie«^,ad circit-
lum a c, fiue quadrati bJ, ad da j (lue red? b ^,ad duplam b h.
cum enim iit femilatusredum, erit quadratum a^ d
reaangulofub ^<!/,&dupla ^A)fiueinfubtripJis,redo /^ad
duastern ipiius b A Ed ergo cylindrus ^ e , ad conum
vt >^^ ad nempefefquialter. <^od concludit etw^ Archi-
medes de Goxioide parabolico *
ProComideHyferhoUco,
Eflo deinde conoides.
hyperbolicum ^ c, cuius'
latus verfum b e ,* fitq;
fefquialtera ipiius b e^ O-
llendit Archimedes Prop:
27. de Gonoid. & fpbfro-
id. quod ■ concides a hs^
ad conum ah c,eEivx f,g{
ad ge , Dico etiam foli- •
dum km n o g genitum in
Exemplo 14. ad conum dd
kc eife^vtj^,ad ge,
Secenturin tres partes
aequales red^e hg h n^ n /,
eritq; conus abe oqual'
dem a c ^ , aldcudo vero 1
L
! IO
hm no g aliud fit, mii cylindrus quMmn cui decl co^
‘ nus pnnoj gquale erit cylindro fuper ead ea^ bafi ij* conili*
tuto, cum altitudine vero b t , Conftdcrabimus igitur tam foii«
dum hmnog^ quam etiam , conum abo^ tanquam ii^eflent
cylindriiam didi , eoruradentlblidorum vicarij ,
lam : folidum hmnogi ad Gonum ab c y rationem habet
compoiitam ex ratione altitudinum ^ ^ ad ^ at , & ex ratione
halium, nempe circuli 4 gy ad circulum ac; fiue quadrati
bgy ad quadratum ag; iiueredse bgy ad duplam ipfius g o
f cum enim bn . lk femilatusred:utn,eritquadratum ag mqm-
ieredangulofub bgy &dupla ipfius ^ ^ fiue, furnpris fub-
triplis, vt ^x, ad duas tertias ipfius g O j vel ad duas tertias
b l . Erit ergo folidum h mn ogy ad conum abc , vt kt ad
tu, Qu^od memento^
Reda zd egy efkvt b^ ad gOy fiue vt hn ad bty
fiue ( in fubfefquialterisy vt nu z.dM, Sumptis ergo ante*
cedentium dimidijs, erit /'e ad >cgy vt ^^,;ad ut. & com-
ponendo, ad gCy vt bty ad tu. Propterea folidum
hmnog y ad conum abcy { quodiam oftendimus elfe vt b ty
ad tuj erit etiam vt /^, ad Quod prorfus de conoide
concludit etiam Archimedes Prop. 2 7. de Gonoid.& fphgroid,
Pro fegmentofpk^roidali yVelffharico.,
'Efto portio fpharoidis, fiue fphg
rse aht;y vel maior, vel minonpo-
naturq; e/aqualis ipfi eiiyntm^
jpe dimidio axis . Oftendit Archi-
medes Prop. 3 1 . & 3 3. de ConoL
& fphar. portionem ab c , ad co-
nu infcriptu a b e, effe vt fg ad^^.
Dico etiam iolidum Sm n^ygy^-
mitum in exeiupio 14. ad eundem
conum infcriptum ab Cy efle vtfg
ad g e. Secentur in ires partes a-
quales, re(^^i^r bg ih /, In. eritque
conus tcquaiis cylindro^ cuius
bafis
Haflieadem fitcum«)no, nempe 4 f i altitudo autem fubtripla,
nempe g x . Solidum vero ^m ngg^ quia componitur ex cy-
lindro hme gy^!^x cono m no , aequale erit cylindro fuper ea-
dem bafi conftituto. , ewmaliiipd^ae
igitur tam folidum ^ quim^edw^<2jnu^^^
deflent cylindri iamdiiSieorTOdern folid^um y^ ^ 1
lamrfolidum hmnog^ ad conum curationem
pofitam ex ratione altitudinum ^ /ad g x\ & ex ratione bafiurn,
nempe circuli hg ad a c ., fiue quadrati ad quadratum g a^
liue redae ad duplam iplius^<? .(cum enim bin, fit femila-
tus redum ^ ,erit quadratum ag aequale redangulo fub bgyd)C
dtipla fiuefumptisfubtriplisjVt^AT adduas tertias ipfius
go , vel ad duas tertias bil . Ergo folidum h m n og ad conum
a b erit vt / ^ ad b p . quod memento .
Reda bg ad g efi; vt ;/ c ad o e ^ fiue vt n l ad /i, fiue (fia
fubfefquialterisy vt tl ad Componendo autem ^ c ad egy
erit vt / ^ ad u l i fumptifq j antecedentium dimidijs , erit f e ad
egy vt ip ad u ly fiue ad fS : Etcomponendo yfg ad ^ c , erit
vt / ^ ad bp., Propterea , folidum hmno gyzA conum ahc
fquodiamoftendimus eflfe: vt /^ ad b pP) erit etiam vt
ad ^ c. , Quod prorfiis de portione fph aero idis concludit etiam >
Archimedes Prop. 3 1 & 33.de Conoid.&fphj^roidibus,
Plura adhuc exhibere poteram exempla demonftrationum 1
per Indiuifibilia curua procedentium , nifi fuperflua , immo etia
& molefta exiftimaifcm. Hoc vnum admoneo ledorem,inma-.
gna parte praecedentium Theorematum mefiicllitatis gratia fe^
cxife cafum Propofitionis particularem , cum tamen facere po-
tuifremvniuerfaliffimum . Exempli caufa . Poteram ( in figura .
primi exempliy fupponere tangentemir cuiufcunq; longitudi-
nis, 6c deinde oftendereita effe circulam ad triangulum , vtpc —
riph seria ad tangentem : fed faciliorem conclufionem iudicaui 1
tequalitatem inferre , quam proportionalitatem i prsefertim cum ^
infolido Hyperbolico de sequalitate tantum ratio habeatur» -
Si itaqi Corollaria limitata plerumq; demonftraui vice Theo<—
y^u|rfaliUm ^ fcks: data opera fadum elfe .
C;:-' a.
itM .
’Dcfinitior ^
'SlhypeyioU eirci Afymftmny tdmqu^m circa axem , e ornei*
iatmy folidum fiet (fi fecundum axem confideretur) longitudi*
ne infinmm^qm4 quidem Acutum foUdmihyferboliGfm mmi*
nabimus f ‘
)
r^-
DE SOLIDO
Hiperbolico Acuto .
Lemma Primum,
ST 0 hyperboUy cuius afym
ftoti Jmt ab, ac , angu-
lum reHum continentes
dr reuoluta figur^ circa
axem a b , facium fu f po-
natur folidum acutum hy-
y er b oticum in finite longu ver Jus b ,* quem-
admodum de fnitum eJl . Intelligatur iam
intra ipfum acutum folidum , reJl angulum
altqMod per axem a b dudfum ^puta d e f g . Dico hoc reBdn-
gulum aquale effe quadrato femiaxisipfius hyperbold .
Ducatur ex a centrohyperbola^femiaxis ah, qui angulum
b a c bifariamftcabit ; fiatq\ re£lang. a i h c ; quod omnino qua^
dratum erit ( nam cum reSlangula figura fit , angulus a hifa-
nam ab axe^ a h diuiditur) . Ergo quadratum redfa a h du->
pium erit quadrati aihe, fime duplumreBanguli af. drideh
^ quale rcdl angulo defg, \Suoderatpropofitumdrc* eundi c§
Lemma IL
O Mnes cylindri^ circa camunem a-
xem intra folidum acutum hyper
hdUcum deferipti , ifoperimetri fiunt .
intellige femp er Jine bajibus. Esto acu-
tum fio Udum, cuius axis ab, df intra
ipfum intelligantur deferipti circa co-
munem axem gb quot libet cylindri
edefj ghli. EruntUi aqualta redi di ^ A* x
^ gula
4 De Solido Hy per Mico
1 1 fecun dxem c e , g I . er^o aquales erunt etUm curudt cylindro^
diConic. rumfuyerficies . ^Imderat. ~
^.p de fo
Lemma IIL
O M ne s ifoperimetri cylindri ( cuiufmodi funt illi^qui in dcu
tofoLido hyperbolico deferibuntur ) inter fe funt Dt dia-*
metri fuarum bdfium . Quoniam enim , in pracedentt figura , dS*
qualia Junt rebiangula. a e , al; erit vt f e ad i 1 , ita i a ad
a f . lam cylindrus cq ad cylindrum g I , rationem habet com
pojitam ex ratione quadrati fa ad quadratum a i ; ex ratio-
ne redi ^ fe dd i \ ;/iue ex ratione re ffa ia ad af, velqua-
drati i a dd recl angulum ia f. Propter e a cylindrus ct ad cy-
lindrum g 1 , erit 'Ut quadratum ia dd redi angulum i a fi nem-
pevtredia fa ad ai. ^odcfrc^
Lemma IV.
E Sto folidum Acutum abc, cuius
axis d b j centrum hyperbola Jit
punBum d . in quo fcilicet afymptoti con
ueniunt . dxis autem hyperbol^ Jit d f. In
telligatur ex centro d , ad interuallum
d f defcripta fphard a e f c , qua maxi-
ma erit omnium intra acutu folidum de-
fcriptibilium excentro d. Sumptoqi cy-
lindro quocunquc intra acutum folidum
defcriptOyputa g i h 1 . Dico cylindri g h fuperfciemfuhqud-
druplamefe^uperfcieifphttra aefc.
Cum enim redi angulum f a per axem cylindri y aquale fit
-Ati df> erit cylindrica fuper fides aqualis circulo qui fit
fpbat . ex radio d f nempe circulo aefc.* Propterea eademfiuperficies
cylindrica gihl fubquadrupla eritfiperficieifiphara aefcs
cuius etiam circulus a e f c fub quadruplus e fi . Jfuod &c ,
B
I
rf
i
/
v4—
Z
D L g
Lcm-
TroUema Secundumi 1 1 $
Lemma V.
C Viufcunque cylindri g h i 1 intra folidum dcutum defcriqy
ti (*utin yr^cedentifigurd ) fuperjicies fine bafibus
hs e fi circulo cuiusfiemidiameterfit linea d i . nempejemiaxlsy
fiuefiemilatus^jerfiumiy>fius hyperbole . Hoc enim in ipjopro^
grejfiu pY<^c edentis lemmatis demonfivatum e fi ,
Theorema •
S olidum acutum hyperbolicum infinite longum, fedtum pla-
no ad axem eredo, vna cum cylindro fujie bafis,^equale eft
cylindro cuidam redo, cuius bafis diameter fit latus verfum , fi-
ue axis hyperbolae, altitudo vero fit aqualis femidiametro ba-
fis ipfius acuti folidi .
; Efto hyperbola cuius afymptoti IB
ah^ ac angulum redum contineant;
fumptoq; in hyperbola quolibet pun-
do d^ ducatur dc -aquidifians ipfi
abi^ d p aquidifians dc\ Tucon-
uertatur voiucrfa figura circa axe a b .
ita vt fiat folidum acutum byperboli-
cum ebd^ vna cum cylindro fu^ ba-
fisfedc. Podiicatur b a in h . ita vt
d /^aequalis fit integro axi, fiue lateri
verfo hyperbola.Et circa diametrum
4!/^ intelligamr circulus eredus ad afymptoton ' ac : &fuper
bafi ab concipmmcylmdmsredus dcg b, cuius altitudo fit
nempe femidiameter bafis acuti folidi. Dico folidum vni-
uerfum febde, quanquam fine fine longum, arquale tamen efi.
fe cylindro
Accipiaturiareda dc quodlibet pundmn & per ^ in^
telligacur duda fuperficiescylindrica onli in folido acuto
P 2 com-
liS - lye foTtdo Hyperholico
coiBprsehenfa Girca axem irem circulus im in cylindr®*
acgh j:equidiO:ans baii ah.
Ei it ergo prr^dida fuperficics cylindrica o n ti ad circulum
i m y vt rcdangulum per axem o ly, ad quadratum radij circu-
li nempe vr redlaiigulum o t , ad quadratum femiaxis hy-
perbotej & ideo aequalis ex lemmate- Et hoc femper verum
erit, vbicunq; fumatur pundtum / . Propterea omnes fimul fu-
perficies cylindricae, hoc eft ipiiim folidum. acutum eh dy vna«.
cum cylindro baiis/V d c , aequale erit omnibus circulis fiaiu4.
hoc cll cylindro ac gh. Quod erat &c..
' ' Scholmm».
Incredibile videri poteft , cum fblidum hoc infinitam longi-
tudinem habeat, nullam tamen ex illis fuperficiebus cylin-
dricis quas nos confideramus, infinitam longitudinem habqre;.
fed vnamquamq; efTc terminatam ;; vcvnicuiqipatebit, cui vel
modice flimiliaris fitdodrina Conicorum
Veritatem^ praecedentis Theorematis fatis per fe claram ,
per exempla ad initium libelli propofita confirmatam fitis fu-*
perq;puto -Tamen vt in hac parte fatisiaeiam le(5tori etiam Ta-
diiiifibiliiun parum amico j iterabo hanc ipfiim demonftratio-
nem in calce operis » per folitam veterum Geometrarum viami
demonfirandi, longiorem quidem, fed non ideo mihi certiore^
Interim, quia demonftrariones exhibebimus de illo tantum-
acutoTolido, cuius hyperbok genitricis afymptoti angulum re-»
^um contineant, dicamus hic obiter , omifsd demonfiratione „
quibus figuris ^Bqual^a fint acuta folida r quando afymptoton.
angulus obtufus fuerit, vel acutus-
D emonflratwne ^ , quas ad e uitaniam mdlem frp erimus^
BM'oY‘ induMTius^facili nego m comparabit-*.
Efio hyperbola cuius afymptoti aby ac angulum obtusu:
coJQuneanti dc- reuQlutaiigura circa axem fiat folidura acui-
mm:.
v
XI f
Prohkma Secundum,
tu infinite lon-
gum vcrfus b,
icceturq;(vtia
prima fig.^pla
no de ad axe
credo.Eritlo-
lidum acutum
dh e ijequale cy
iindro dilcy
& cono idl. In fecunda vero figura fit planum fecans d e . erit
folidum acutum vniucrfum quod imponitur fuper circulo de
icy &cono i a c. fi-
to etiam cono o au , x
mul fumptis .
Quando vero angulus'
afymptoton acutus pona
tur, & fit planum fecans
cd in prima figura . Erit
folidum acutum c hdvm.
cum cono e ai xqualo
cylindro ce id, Atinfe
eunda figura eritvniuer-
fum folidum acutum
<^um ex conuerfione quadrilinei mixti a b a d a- fine fine longi ,
d upliim c y I ind ri /V •
Sequuntur iam fub nomine Corollariorum Propofitiones
quadam ex prxcedenti Theoremate promanat es ] qux quidem
aliquot prxrogatiuas huius.acuti folidi hyperboiici fortaffe no
contemnendas, c! eraonftrabunc ..
Corollarium Primum .
Acma fhUda hyperboUca e b d , n b 1 , qua in figura pag, ny
ex fefiiomb. e d , n 1 ad axe erectis Jiunt, vna cum cylindris fua
Tsim. hajium , inter Je funt vt diametri earundembajium ,- nempe:
vt rebla oA ad n l .
Mam rej^umpta procedentis T heermatisjigura^ dr cm (iru^
if s
De
Ilione^ eritfolidum f e b d c , aquale cylindro a c g h . & foU-^
dum o n b i r aquale cylindro a i m h , iErgo f olidum ad [oli-
dum entvt cykndrus ad cylindrum^ nem^e vt C2 l ad Ki-,
fumpis duflis vtreEla f c acC oi i Jiue vt e d ad ni.
erat c^c.
Corollarium IL
B
B
G GAIB
Acuta [olida hyperbolica d b e , h
b 1 , etiam (ine cylindris [uarum ba-
fium [umpta^ ititer f e funt vt diametri
e-arumdem bafmm , nempe vt de ad
hl. Deferiptis enim bafium cylindris
edefj ghlij erit totum [ ilidum c d
b e f) ad‘totum [olidum o]\b\ivt cf
ad gi. Sed ablatus cylindrus ct ad
ablatum cylindrum g lejlvt cf adg i . Ergo reliquum etiam
[oUdum dbe, adrtliquum hbl erit vt totum ad totum i n'em^
pe vt ci ad g i . Hoc ejlvt dc ad b \ , ^uod c[c.
5^ Corollarium IIL
E flo f olidum acutumfeBum
planis ab, c d , e f , gp
ita vt feclionum [emidiametri
(int vt numeri naturaliter ab v-
nitate progredi et es (quod facile
fiet ^ fi accepta ad libitum i 1 ,
quales ipfi i 1 f ^centur 1 m,m n,
n o &c. duHisqi 1 g , m c ,
ONiVlL I
n c &c. ad a^em parallelis, per punBd g> & e, clr c drc. agan-
tur [ecantia plana .) Dico ommafrusiaititercepta aqualia ejfe
tum inter [e , tum etiam acutofolido g u p .
Patet hoc . Nam c um acutafolida flnt vt diametri baflum\^
in hoc c afu dtametri haflumponantur vt nutneri naturaliter ab
vni^
TroUema Secundum, 1 1
witdte frogredientes^etiam dema folida gupjeuf, cud
in eadem Aritmetied ratione ertd-nt . Ergo omnes exceffus^nem^
fe omnid/ruBa tzqualia erunt tdminterje.iquam etiam acuto fo-
Udo g u p . erat profofitum
Scholmm .
Poterat etiam proponi hoc modo . Si fuerit folidum acutu
fedum plano g p vbicunque. Surnaturq. h q femiffis axis
^/.Deinde fumatur ter. pars axis ^/;iteruniq; accipiatur rt
quar.pars axis r i : poftea ac cipiatur quinta pars reliqui axis .
hoc femper; & per puncta fe(5tionum plana agantur 3 erunt ead .
utiupra &c»
Corollarium IV.
Acutum folidum hyperhoUcum abfcifsum plano ad a^aem ere
dfo j aquale esi cylindro fua bafis .
E Bo folidum acutum abe abfcijfumpldno ac ad axem ere^
dio ( hoc enim modo intelligemus femper plana f meantia , quod
oportet mcminifje ) (frf Hpponatur fo liduniinfinite produdi um ad
partes b. E ico folidum a b c , aquale effe cylindro fua bafs nem-^
\peAzct,
Eiat enim cylindrus f e i g vt in T heore-^
mate pag. 1 1 s ^Elntq^totum folidum d a bc e,
ex demonflratis aquale cylindro fi . lam cy-
lindrus ad cylindrum A c ^ rationem ba^
bet compof tam ex ratione quadrati htad fe
cb" ex ratione red/f fc ad cc i fu e quadrati
{c ad r e ci angulum f e c . Cylindrus itaq\ fi
ad cylindrum dc, e B vt quadratum fh ad
re di angulum fc , nempe duplus . Propter e a
folidumuniuerfum d a b c e d cum aquale ft
cylindro f i ) duplum erit cylindri d c . Et di-
uifm , er tt folidum acutu a b c aquale fu a bafs cyli ndre ci a c e*
' - CoroL
126
l^e ptUdo I^periolici
Corollarium V*
hemiffh^timn f b e , in^
tra f olidum acutum infcriptihile ex d
€entfO hyperboUf fubjefquialterum e fi
ntmuerfijolidt f h a c e ip fum hemifpha-
rium ambientis . Solidum autem f h a c e
conH at ex acuto fb Udo infinite longo h a
e , ^ ex cylindro bafis hemifpharium tan
gente f h c e .
FaUo enim cylindro 'vt in Tbeore^
mate pag.ns- erit hemispherium fbe
[ubfefqut ait erum cylindri i e Cum ean^-
dem altitudinem habeat^ ^ bafim eandem , nempe circulum cu-
ius radius eUfemiaxis d b . Suhfefqui ait erum ergo erit ipfum
hamifpharium etiam f olidi f h a C e , quod e quale demonllratum
efi cfilindro i e .
' Corollarium V I.
FSlofolidum acutum cuius axis a b , f in figura pag. 1 1 8 .) fe^
Pium vbicunq; plano d c . Secetur vero {jr altero plano h 1, quod
capiat portionem axis duplam . Dicofrufium foltdum d h i e , a
fec antibus planis intere eptum (tcquale efi^e f olido acuto h b 1 jibi
fuperimpofito .
Cum enimre&angula ce, fint aqualia , (jt' latera eorum
reciproca , erit re 61 a d e dupla ipfius h 1 , ideo folidum acutu
d b e duplum erit acuti folidi h b 1, diuidendo frufium d h 1 e
equale tnt acuto folido hbL ^ode^c,
Scholium,
Hinc manifeftum el?, quod fi acutum folidum fccetur vti di-
dum efi, frufiuin intere eptum dh le quod duas bales habe-
bit ) aquale lemper erit cylindro minoris bafis ghli* Subdu-
plum uero erit cylindri maioris bafis c d ef.
-CoroUarium VI I.
'EflofoUiu^
ha^pianisf ab i td, e f, fecanti^
bus axemf olidi profonionaliterihoc
eU yfavt gh ^d gi, ifa gi 4d
g 1 . Difo fruflum a c d b adfrujlu
cefd cjfeut Vi ad ih. nemfe in
reciproca ratione altitudinum .
C um enim r exanguia g f , g d ,
gb . fint aqualia y (ir latera eorum reciproca y erunt tresreB^
bb, id, If, i in ead em- continua proportione in qua funt g 1 ,
g i , g h . Sed foiida acuta aob,cod,eof funt vt bafium f ?-
midiametri hb, id, If, Jiue%ft gl, gi, gh, ergo excejfus'
f olidorum inter fe erunt vt exceffus linearum . Id empe fruBum
foluium d.c d b , adfruBum c e fd erit vt Vi ad ih. ^uod e^c.
S.ch ollum .
Ex demonftratis patet primo , quomodo datum fruftum d ef m
h fecari peflit plano cd , ira vt fato portiones inter fe fint vt ai- ^
CL
tum
tum fededuplum : & fic femper ; quo magis ad centrum 4 accc
demus, maiora praecedentibus erunt fofta, & multiplicia fecun-
dum numeros in proportione dupla progredientes ab vnitate.
Si vero fupaatur quodlibet feginentum axis ^ e > cuiusdup-
lum ponatur 4 d ; & ipfius 4 d duplum fecetur 4 e , &fic4e^-
inceps ; eadem euenient , vt fupradidum eft .
Qu^cunq; autem diximus exemplo allato de ratione dupla,,
verum etiam eft de tripla , quadrupla ; iefqiiialtera > & de qua-
cunq,- alia ratione..
Corollarium VII T.
Si f olidum 4 CUtHm feclum fue-
rit f lanis a b i c d , e f , g h,^c.
it4vt axis portiones acetro i in-
cipientes , nempe i 1 , 1 m , m n >
n Q aquales Jint ,• erit primu
frujlum ad, ad fecundum c f
njt s. adwum fecundum, njerl)
f rufium adtertiuerit nji 4 , ad 2 ;
T ertium ad quartum erit vt s -ud
quartum ad quintum vt 4 . ad 4 . ,• iEt sic femper vt numeri bi-
nario differentes ,* additafcilicet femper^vnttate vtrique termi-
no rationis .
idam fotidum acutum a u b adfolidum acutum ciid^eBvt
a 1 c m j nempe vt m i , i 1 , hoc e fi duplum . Btdiuid en-
do , erit fruHum a d aquale f olido acuto c u d ..fide vt 3 . ad ^ .
Solidum vero c u d adfolidum. e u f vp; cvn ad en, fiue vt
n i i m, nempe vt j . ad 2 . Bt per conuerfiont rationis erit fo-
Udum c\xd ad f rufium cf vt s^advnum . Brgo ex ^quo erit
frufium 2idi ad frufium cfvt 3. ad unum . J^uod cfc .
Bodem modo penitus ratio r eliquor umf rufi orum confequen-
tium ofienditur efie talis qualis proppfita esi .
Scholium
Patef in progreffu demonllrationis primum Bn{knxn. ad
quak.
*v
ik
t
•
Jh
Jf
rxB.
■
Problema Secundum .
quale efle folido acuto fibi impofito cud. At fecutidum frultu
€f duplum eft lolidi impoliti j Tertium vero triplum >
quartum quadruplum lic in infinitum .
Corollarium IX.
Si foUdum Acutum a cylindricis fupcrficiebus diuifum fuerit^
erunt folida annularia inter cylindricas fup er fides intercepa ,
inter fe , vt fiunt portiones afiymptotiah ipfis cyltndricis fiuferfi^
ciebus ahficijfifi
Sitbyperbola zhc, ^ linea quotcun^ zdi be,; ci,pd*
ratlela afiymptoto conuer tat ur figura circa afiymptoto hi.
Vico [olidum deficriptum d quadrilineo e b cf, adfiolidHm de^
ficriptumdquadrilmeo dabe, efifevtre^a ic ad ede
Fiat enim cylindrus 1 f , vt in T heo-
r emat e pag.i i sierit qyfiolidum n m i c f
aquale cylindro 1 f, Ftfilidum p o i b e ,
aquale cylmdro 1 e , al?ldm ergo aquali
hus yr emanebit cylindrus ff ^qualts fio-
Udo [bi refpondentifadle d quadri lineo
e b c f , P ariratione cylindrus t e ^qua^
lis ofiendetur fidlido fibi refipondentifiay
61 0 d quadriiineQ dabe; erit igitur ob
aquaUtatem fiolidum quadrilinei e b c f
adfiplidum quadrilinei dabe vt cylin
drus ff ad cylindrum tt^nempe vt re*
^6Ia[tadtd^ Muodcfic-^ LTiS
Corollarium X,
Acutafiolidaz.hCy dtf, fiuperbafibus 'Aqualibus aCj di
confitmta , &d:conuet(ionem^uatiumhyper[^ deferip-
ta yfuntdnterfiemduplicata ratione axium fiuarum hyperbola-
tum . ^ . • ■ . .
IntelligantUT enimjub baj^tysfiolidorum cylindri h 1 f
^ a erit
f 1X4
^ eritq foUdum
abc diqualecy
Undro hc; S"
folidum d e f .
dqiidle cylind,
If. Pr opter e a
foUdu abc tid
folidum d e f ,
€rit vt cylind,
\iC ud cylind.
(tue (cum ct
De Solido Hypferbolico
quales bufes habeant ) vt altitudo hz adaltitu^.
dinem 1 d , reci angulum \\c ad recl angulum 1 f. hoc
ifamptis ecqualibus , vt quadratum axis in ad quadratum
Corollarium X L —
•^cutafolidu abc, d e f
foMa ab iu^qualibus hyper-
.holisy & (e pf a planis ac » d f
ita vt portiones axis 1 h, o i
f quales fnt i erunt inter f e
*i)t bafes 5 nempe vt circulus
ac ad circulum ,
H oc autem patet . Idam
folidum 2 ihc etqualeept cy
lindro cuius bafs Jit a c altitudo *verb 1 h . ^ fohdum d e jf et-
quale ejl cylindro cuius bafisjif ^(altitudo vero oi. Prgofo-
hdum abc ad folidum der erit vt pradiBus cylindrus ad di
Bum cylindrum ^nempe (cum etquales altitudines habeant ) vt
bajls a Q ad bajlm d f . Suod erat eje ,
Corollarium X II.
dlcutafolida quetcunqi fmt abc,d ef^ inp.fg.huiuspaganl
li^p/um vt fokddrjBand^faf quadrato a
alti’"
\
a/ i
\c:
H
; \
Problema Secandum T 1x5
Jiltitudtne vero diametro haJiMm eorumdemfoUdofUm .Hoceji^
folidum a b c \adfolidum d e f ertt vt folidum ■parallelefipedum
baji quadrato axis i 11 , altitudine a c . adparallelepi^edum baji
quadrato axis m o , altitudine d f .
tFaclh enim de more cylindris h c , 1 f j ratio cylindri h.c ad
cylindrum 1 f componetur ex his tribus rationibus . nempe ex
ratione altitudinis ha ad\e^.(dr ex ratione bajiuyfiue ex ratio-
ne reclp d,cad df, iterumq\ ex ratione recla ac ai 6 .£. Ergo
ratio cylindri h.c ad If, componitur ex ratione reblanguli hac
ad r e ct angulum idf, siue quadrati in. ad quadratum
m o , ex ratione recta ad rectam d f . Propter ea etiam
ratioJolLdi acuti ah c ad folidum acutum d-€ f compojita erit ex
ratione quadrlt i in ad 1110, c^ex ratione re Et ^ ac adrcEtam
Ai. Ergo patet pYopofitum ,
Gorollariam XIII,
Dato acutifb
Udi fruflo quo-
CMnq\ a d c b ,
aqualem ipficy-
lindru exhibere
fuper altera fui
hqfe quacunque
sit . puta ab.
TiatvtreBa a b ad A c ita q E ad £^, Dico cylindrum hb
cuius altitudo sif £ g ^ vero a b aqualem ejje frufio a c .
Ducatur d^ parellelaad ef. Dritq\ £0 ad oc,vt de,
Jiue K£ ad f a . propter e a o£ ad £c erit vt £\i ad Vz, Sed
t:£ ad £^ eB {Y^^ergoper perturbatam erit O i ad
fg vt £z ad aK,. ^uod memento^
lam acutumfoliduiii a^ b ad acutum folidum d m c eP} vf
zh reEta ad d c ^uel ut 4 f ad de, hoc ejiut a f ad f k , Erget
erit folidum deutn m fue cylindrus 1 b ipfi aqualis^ ad
fruftum a dc b ut £ z ad zK ^ hoc ejt q £ ad £ ^^ hoc efl ut cy-
lindrus
I z6
lindrtts 1 b ad cylindrum b h • ConHat igitur cylmdrHm 1 b tM
dem habere rationem ad fruHum a d c ad cylindrum bh ,
^yeare cylindrus b h aqualis erit dato frujio acuti] olidi , ^ fu^
feralteraeiu/dembaji* S^oddrc,
tCor ollarium XIV,
^Circumfcriptus cylindrus aefb ad
f rufium acuti folidi adcb , eJlut dia-
meter ab maioris basis ad diametrum
d c minoris bafis. Fiat enim ut z.b ad
dc ita ad hi, erit cylindrus
a m l b aqualis frufio fili do ,p£r Cor. pr^
cedens . ^Cylindrus aut em afW cylin-
drum zl eH ut ad hi; hoc efi
ut ab ad dc. ^luare cylindrus ciramdfcriptus acfb
. ad f rufium a c erit ut reiia ab ad > d c. . ^uod,c]c.
3 a c ^
4'
I
^ :
\l
V7 —
\
A
H
etM
^Corollariuin TX V-
Frufium quodlibet- acuti folidi a d g b
ad infer iptum fibi clyndrum e d c f , efi ut
diameterbafis maioris ..z b sdd diametrum
minoris bafis d c dFiat enimvt a b ad d cr
. Cml. % a ita g h Ad h i , eritqi cylindrus a h aqua-
lis frufio a c . Frit infuper cylindrus z \ i fo^
6, primi perimeter cylindro ec» quandoquidem la^
de feltd, eorumfaBafuntreciproca^^ideore^
’ ci angula per. axem aqualia . Frit ergo {per
lemma y, huius) cylindrus a 1 fiue fruHum d c b, ad
drum inferiptum ec vt iiametribafiumyfiue^vF rebiA
w£f^ hoc efivt zb ad dc..
A EHT. B
cylin^
a b di
Coroh
Corollarium XVI>
'i
Truflum quoilihet acuti f olidi a d cb .
iium proportionale e fi inter infcriptumi& cir^
cumfcriptum fibi cfiindrum .
Btmonfiratum enim e fi in duobus praceden
tihus CorolL quod circumfcriptus cylindrus a
e adfruBum ^dich efivtredfa ab ad d c.
Frufium *vero a d c b ad tnfcriptum cylindru
tBvt zh ad dc. Ergo conBat quodfrufium
eB mediuproportionale inter duos cylindros .
foderat d^c.
Corollarium XVI I-
Datum acutum folidum aeb in da-,
ta ratione ficcare *vt ^ ad Fiat vt
g ad ^ ita dat abi ad i I ,^per 1 aga-
tur planum c d . Erit q 'i conuertendoydr
coponendo f ^ simul ad ^vt \ bad
h.i yfiuevt 2,h ai cd, vel ut folidum
a e b ad folidum: c e d ; dr diuidendo- p* Q
patet propofimm .
Sivero bafis acuti folidi fit cdy dt" oporteat illud fecare ite-
rum inferius verfus hyperbole centrum plano ab, ita^t frufiH
ac dh ad reliquum folidunt c e d quamlibet datam rationem
habeat ut i ad ^.Ita imperata e xequemur. Fiat ut f d" o fi^
mul ad g, it a dat a {haabi^dr per i ducatur planum a b . erit
que ut b,dr %fimul ad gfita ah ad cd ; fiue folidum aeb ad
c e d ; ^ dimdendo patet propofitum . ^yiod erat
• Corollarium X V 1 1 L
Dat 0 f olido ac utofeFlo plano ab. fruBum accipere c a b d
uerfus n centrumd/yperboU , quodfit aquale cuicumq; datocy-
Mndro:>^\i molis etiam immenfe
Fiat
/
1x8 De iSolido Hyperbolico
Fi Ut cylindrus z\ ad cy
lindrum g h ita reida n 1 da-
ta adre^a^ !£• cf" credlA £d
du^oq, plano dc, Dicofru-
finm c b nquale ejje cylindro
gh.
Jd am cjdinjrus ;i\ ai g h,
ejl utreBa n 1 ai ifyC^ con-
uertertio , cornponendoyiteru- E ^ E
. que conuertenio ^ erit cylin-
drus zi ai cylindros a/, g'h, m \n ai n£y/lue ut oh ai
md j* Jiue ut f olidum acutum zxxh ai [olidum acutum c ud;
fiue ut cylindrus al ai folUum acutum cud. Aequales-ergo
funt duo Jimul cylindri a 1 ^ g h, acuto folido cud. Bemptifq,
aqualibus^ nempe cylindro zl fohdo acuto a u b , remanet cy^
lindrus g h aqualisfrufio c a b d . ^^d &c.
V erfus uertic£m uero limitatione opus e fi . EBo D atum foli-
dum acutum feBum plano c d , debeatq-, fumifruBum c a b d uer
fus uerticem^aquale cylindro.dato (dummodo cylindrus gh
minor fit cylindro ecdf.)
Fiat^ ut cylindrus e d ai ghyita reBa n £ data^ ad fl , dF
er^cla 1 b , dicofruBum c a b d aquale effe cylindro dato g h ,
Fiam reB a f n ad n 1 , efi ut d m ad b o^fiue ut acutum fib-
Udum cud ad acutum a ub ;c^ per conuerfionem rationis n
f ai f 1 , erit ut ac ut umf olidum cud, siue ut cylindrus td ad
fruBum c a b d . Sei ut n f ad fl , ita efi etiam cylindrus idem
td ad aquantur ergo frufium czh d ^ et cy linirusy^h ,
SuoddFC.
Scholium s -
'Ex priori parte huius demonhrationis patet folidum hyper-
bolicum vcrfus infinitam planitiem ef magnitudine in finitum
efTe . poteft enim ex ipfo fumi pars ipfius quse aqualis fitcuicii-
que imgnituawu aat^e :
Corel
Problema Secundum t lap
.1
A
Corollarium XIX*
Bfio f olidum acutum fedlum pla-
no ab. Oportet illud fecare item
alio plano pi, itavtjtujlum apt
b ad cylindrum (ibi circumfcriptu ^
Jitvt c ad d ; dummodo ratio c
ad d. Jit minoris inaqualitatis .
Fiat ^ 'Ut c ad d, it a dat a ef
ad f g ^per g ducatur planum
hl. Eritq; c ad d, 'vt ad £
g , nempelpb aqualia reclangula) vt i g ad b e i hoc e Bvt fru
Bum ai ad cylindrum aK ^odcJc.
Si v edo datum planum fecans fit pi, & folidumfecandum
Jit inferius ver fus f iterum eademlege ^itaprocedemus , Fiat
vt c ad d , ita t£ ad datam per e ducatur planum
ab. EritqifruBum ai ad cylindrum gi ad th^Ji*
uevt ef ad fg, hocejlvt c ad d. Suoderat&c.
Corollarium XX.
E Jiof olidum acutum fe^umplano
a b . oportet illud iterum fecare verS-
fus f. ita vt frustum interfecliones
comprahenfum^ adinferiptum fihi cy-
lindrum quamlibet datam rationem
maioris inaqualitatislhabeat ^ vt c
ad d.
Fial,vt c ad dy ita data ad
fg; du^oqiper Apiano ih. Erit
fruBum ib dd cylindrum infer iptum ob, vt gh' ad eb,
fiue vt ti ad fg, fiuevt c ad d . ^od eje»
Sivero planum fecans datum fit ih, cjfecandum ftfolidii
iterum eadem lege verfus infinitam longitudinem, f at vt c ad
F dita
C'
'-I
D'
A
TAO
G
1
B
-d ita ef addatatn fg. Erltqifruflum ib ad cylindrum o
b vt Q.i ad fg, nemfcvt c ad An,:^od(^c,
Corollarium XXI.
EflofruBum ac mi f olidi a b C d
■ponat urq'^ circulus e f medius pro
portionalis intrr bafes a d, b c, ^
erigatur cylindrus e g cuiufcunq;
altitudinis . Dico f rufium a c ad
cylindrum q ^ efievtreBa i\ ad
o 1
In
A
DE
Fiat enim vt reBa ad ad bc
ita i\ ad \o & ad altitudine
lo erigatur cylindrus aw^^qui^qu^Userbfrufio ac (pereo-
roll. ly . ) Jam cylindrus aXi ad cylindrum e g , rationem
habet eompofitam ex ratione bafium^ nempe quadrati ad ad t D
hoc eB ex ratione reBa ad adb c- fiue potiusreclf i 1 1 o
^ exratione altitudinumynempe 1 o ad fg. Frgo cylindrus.
an ad eg, eritvtreBa il ad fg,- propter ea etiam frufiu
ac ad cylindrum eg eritvt il ad fg. ^od&c.
Scholium.
Ergo fi altitudo fg fiat aqualis ipfi i / erit cylindrus eg
«equalis frufto ac^
Corollarium X X II .
FBofruBum acuti f olidi a bc
d , quod habeat alteram ex fuis b a
fibus f quacunqi illa fit) puta a d,
p qualem hafi e m cylindri t^.Di ? T> P
c of rufium 2,c ad cylindrum Q^ef
fe vtreBdgulumfub diametro in§
qualis
r :
o
l:
/
\
Problema S ecundum ^
qUdlis hdJ^Si ^fuh altitudine fruBiy ad red angulum per axem
cylindri. Id empevtr exanguium bq/, hi ad reB angulum eg.
Fiat vt ad ad b c ita h i ad io; ereBoq\ cylindro a 1
cum altitudine io, eritfrufium aquale cylindro 2 il,lam
cylindrus al ad eg, ob aquale^s bafes ^ efl^t: oi ad giii,
Sed ratio recta o i g m , componitur eu r at tone reBa oi ad
i h , Jiue b c ad ad, hoc eft b c ad e m > ex ratione h
i ad g m . Frgo ratio oi ad g m erit eadem qua eft reBang,
b c , \\ \ ad reB angulum fub em, m g . Propter e a etiam cylin
drus al, fiue fruBum-xc ad^cylindrum eg erit vt reB an--
gulum bc, hi, ad reB angulum emg. Muodc^c,
Corollarium XXIII,
SifruBum ac uti f olidi a b c d
(df cyli ndrus e f aquales ait it u^
dines habuerint . BritfruBum
ac adcylindrkm ti^treBan-'
gulum fub bc, ad, ad quadra^
tum e g .
Fiatvt ad ad bc, ita lu
ad MO . eritqfruftum a c aqua-
le cylindro a i cuius altitudo fit
uo. lam cylindrus ai ad cylindrum rationem habet c'o^
pofttam\ex ratione altitudinum iio ad gf; ftue uo ad ul
fiue hc ad iSidiinempe exrationereBang» bc, ad, adqua-^
dratum . Et ex ratione bafium ; nempe quadrati 2,d ad
eg. Ergo cylindrus z.iy fiue fruftum ac, ad cylindrum ody
eritut reBang, fub bc, ad, ad quadratum
Corollarium XXIV*
Eruftum acuti foUdi a b c d , ad cylindrum quemlibet e f,
rationemhabet compofitam exrationereBanguli bc, li adre-
B angulum ad, 'gfi&ex ratione quadr. ad quadratu e g.
R ' 2 Fiat
bl -G
j 0
•
'a
7
\!
/ ^
a . \;
/
-J
Fiat ad ad \>c^ ita li
ad io; eritijjae cylindrus a u <2-
quahs fruFto ac. lam rei} a io
adre 6 tam g f , eft vt reCf angulum
fub bc, li ad rcB angulum fub
ad, g f , ( nam ratio rcbfa '\o ad
gfj componitur ex ratione io ad
i J , Jiue b c W a d ; ex ratione
i 1 ad g f . Frgo reila io ad g f ,
€ B'vtr e f} angulum hc^ i \ ad re~
B angulum ad, gf.J Sed cylindrus ad cylindrum ti rk^
tionem habet compofitamexratione io ad gf, nempe ex ra~
tione reB anguli b c ii , ad rebl angulum ad, g f ; ra-
tione quadrati a d ^«5/ e g . Propter ea etiam frufium a c ad cy-
lindrum e f rationem habebit compofltam ex ratione reB angui i
b c , 1 i ad rectangulum a d , g f ; ratione quadrati a d ad
€g* ^od(jrc>
A 1 'D
Scholium.
Poterat etiam proponi fic. Frufium ac ad cylindrum ef^
rationem habet compofitam ex ratione redanguli ad^il-^zA
re(flangulum b c yfg \ 3c ex ratione quadrati bc, 3.deg,
Corollarium XXV.
Sint duo firufi a acutorumfoli-
dorum qualiacunque , Dico fru-
Bum h b c c ad fruftum d f g a ,
habere rationem compofitarn ex
ratione reUangulorum hafium ,
^ ex ratione altitudinum^ nem^
rpe ex ratione reB anguli bc,h e
ad reB angulum f g , d a i ^
ratione reB a ixi ad m\*
Problema Secuadum . 155
Fiat enim er bafi d a cylindrus d o cum altitudine a o,
dynafit aqualts i^fi Vi i . Fritq\ ( fer CorolL 2^,) frufium h c ad
cylindrum d o , *vt rcCt angulum b c , h e ad quadratum d a .
Cylindrus autem d Q.adfruBum d g f/? {]fer CorolL 2 2. )vtre^
cl angulum 6.2,0 ad re di angulum f g, m i . Nemfe adillud ^ ra-
t io nem hahet comqo fitam ex ratione redi dii Ad f g , fiue ex ra
tione quadrati da adredl angulum d a^fg. Ft ex ratione re-
ci<& O a ad m 1 , fiue in ad m 1 . liat io itaqfirufii h e ad fru-
fium d g cemfonitur exrationibus^redianguli b c, h e , ad qua
dratum da; sj e xratione quadrati d a adredl angulum da,fg;
.(fi ex ratione redi a i n ad 111 1 . Denrptoq. medio tllo terminofu-
perfluo nempe quadrato 6 '2. , Frit ratio frustt ha ad frustum d
g compofitaexrationereciangulih C',ho, ad re di angulum d
a 5 f g 3 fi ex ratio de re di a i n ad ra 1 . filmd erat fic.
Corollarium XXVI.
- ' Ffi 0 frufium folidi Acuti abcd fediu
plano h i ; ducatuYq:^ b n parallela ad axe .
Fico , totum fvuflum ab c A ad partem
h b c b effie vt a n ad h i .
Nam folidum acutum a g d , adfioUdu
b g c , eji %}t a i ad b e ^fiue vt a i ad i
n ; fi diuid endo frufium abcd Adfioli-
'dum acutum b ^ terit vt 2in ad ni ^ fi-
ue .vt a n ad i 0 4 Solidunt vero b g c ad
frufium hcf fmtli argumento) efivt o i ad i h . Frgo ex aquo .
/rufium a c , ad h c erit vt an adhi. filuod fic,
Scholium *
Hinc patet quomodo datum fruftum acuti folidi in data ra-
tione fecari poiTibquod tamen ad finem Corollariorum elegan
tiori problemate ex equemur .
154 De iSolido Hyperboltco
Corollarium X'X VII,
Bjlofrufiumfolidi acuti abcd. cuius g
axis m i . fitq\centYum hyperbol<zpunBu
h . S ecetUY deinde ftufium a c plano quo-
cunq\ C f ad axem erecto . Bicofruftum a
f , ad ftufium c c « efje vt y e 6t angulum fub
i 1 , h m , 4^ Y e df angulum fub hi, i m .
NamfYuBum af adfrujlum cc,Yatio-
nem habet compoftam exYationefYufli a f
ad acutum [olidum e g f ; (f ex y at ion e [olidi longi e g f j adfru
flum CQ , Sed quiafolidum acutum agd ad acutum [olidum e
gf efl^tYecla ai ad t\‘, [ue^jtYeSta I h ad hi , cy it diuid e n^
dofYuftum a f ad [olidum egf^vtliadih. Amplius : Solidum
ad J olidum b g c eH vt t\ adhxx\y [mevt m h 4^ h I ;
(jrpeYconueYfionemYationis, eYit [olidum cgf adfYUsium ec,
^t hm. ad Patet CYgo qui) d ratiofYufii ad fruFiurn e c ,
QomponitUY exrattone i i ad ihy^ exratione hm ad m 1 Pr op-
tet e d[YU Itum 2t.£ ad e c , erit vt reBangulut^ [ub. / i , h m , ad
relt angulum [ub i h , 1 m . Spipd
SchoUum ,
Ideafi Gat, vtmb 2 iG. hi, ita mi, ad //. Bifariam fecabi-
turfruftum ac ^ plano per pundum i dudo. Aequalia enim
erunt ipfa redanguia .
Corollarium X X V I II.
Si axis [rulti abcd bifariam [e^
Qeturd plano e { * Erunt portiones in-
ter /f, nempe a f . ad tc 'ut re Id a a d
ad hc . [cilicet vt diametri bafum
remotarum .
Problema Secundum
Truftum enim 2 .{ ad ec, tB 'vt r ect angulum fab h- Oy^i ad
f€ct angulum fub}\o , i^ger frsced: Sed o i , i g , altitudi-
nes reB angulorum funt aquales , Brgo fruHum zi ad e C j erit
vt g h h o ,fiue vt a d b c » ^Imd &€\ ^
Scholium .
Hincpatetiquo d fi in folido longo hy
perbolieo quotcunq; fumantur axis por-
tiones deinceps aequales a^ b-y c,dye, vbi
cunqi fiat initium . Eritfrufialmy^ ad g
h vtreda/’-^ ad Frufium vero gh
ad hi erit ut mb ad &frufi:um hi
ad il ut h c j ad le . & fic in infinitum
Coroiiarium XXIX»
B t C
Datum acuti folidifrujium
ab c d in dat aratione f€care'y,
futavttadi».
Fiat y njt reBd: a d ad b c ,
ita e adaliam qua fit g . De-
inde fidty 'Vt g ad. i y. it d h i ad
ily dt' ^er l ducatur fiand mw-
lam frufium a n ad m c e fi
'v.trecl angulum Io 5, i hydd reB angulum I i , o h . Brgo ratio fru
sti 2. nad mc comj>onitur exratione laterum \q ad o hyfiue a
d b c yfiue e ad g . Et exratione laterum h. i ad i\y fime g
ad i^Drgoratiofruftizn ad mc . componitur ex ratione e ad
& g ad i , Proptered erit axnfrujtum ad mc vt e ad L
..
r m/ I
I.
X H
E G FA
u
0.
lamifia fufficiat demonftrauifre , ex plurimis Theoremati-
bus ,quse ex fiecundifiimo hoc folido deriiiari poterant . Inte-
rim ad promifram demonfi-rationem accedamus , quam tamen
pE^terire poterirquicunq; iam allata contentus fuerit .
T>E !
^£>e Dimenfone Acuti folidt Hyperhlici
iuxtd methodum Antiquorum .
S Vpereft nunc vt Theorema illud , quod poft lemma Quin-
tum oftendimus per methodum, &dodrinam Indiuifi-
bilium , demonftremus iterum more Antiquorum , & praecipue
Archimedis^ impoidibiic enim quodammodo videtur, infini-
tamlongitudine figuram fub folka figurarum infcriptlone ,&
circLimfcriptione poife comprsehendi. Tamen id non folum a
nobis £idtum eft, verum etiam a Clarikimo viro , & Geometra
prxflantifiimoRoberualliOjqiif noftrum folidum hyperbolku
inuetis arduis, fublimibus, aeutiffimis,& vt brduiter dicam fuis ,
menfurauir, eiufq; fruftum in data ratione difTecuit. Abftineo
ab illius demoftratioms editione inuitus . comparuit enim cius
epiftola eo prorfus tempore , quo iam hgc prelis fubijcerentur»
neque de voluntate Authoris fatis conflabar, neque iam per te-
pus licebar expedlare, donec illius beneplacitum ex Gallia Pa-
nfijq;fignificaremr. Veniamus itaq; ad lemmata opportuna ,
quorum primum fit.
Lemma Primum.
Ibi^erentid^ qUA eft inter iuos circtdos , di circnlum quemli-
het tertium ,• eft vt rectdngulum comprAhenfum fub differentia ,
^ t^ggt‘^gdto femidiam e tr orum eorundem circulorum^ad quadra-
tumfemidiametri tertij illius circuli ,
Vocetur amem talis differentia duc^rUm ciftulorum^ qudnio
concentrici fuerint , Armilla ,
Vfto Armilla fue differentia duo-
rum circulorum.conc entricorumdl-'
ta cuius latitudo a b , centrum vero
c . JDico Armillam a b , ad circulu
quemlibet d f \ effe vtreld angulum
abci
Problema Secundum , i>p
ab e, dd quadratum fermdiametri df.
Nam circulus ex radio ac, ad circulum ex radio ch , e fi
*Ot quadratum ac, ad quadratum ^cbi & diuidendo Armilla
z.hy ad circulum ex radio cb; erit vtrell angulum ab e, ad tx
quadratum cb. Circulus ver)t ex radio cb, ad circulum ex .
radio d f , <fi vt quadratum c b , adquadratum d f . Ergo ex ^
aquo , erit Armilla ab, ad circulum d f , vt r e ll angulum a b
ad quadfAtum df. ^oderatdrc.
Lemma II.
AG^IYO FiLH
Si ex cylindro reUo ab, ab-
latus fuerit cylindrus c d , cir-
ca coTfimunem axem i e conHi^
futut\teliquum [olidum e xc ana-
tum quod remanety aquale erit cy
lindro cuidam relio fg, cuius
quidem hajis fh aqualis fit Ar-
milla ^qu^ circa centrum ^lati-
tudinem habet a c ,* altitudo vero I m aqualis fit altitudini e i.
V occtur autem tale [olidum excauatumy tubus cylindricus ,
filuoniam ires cylindri ab, c d , f g , aque alti fiunt ; Erit
cylindrus ab ad c d , vt circulus z<y ad circulum c ii , ^
diuidendo erit tubus cylindricus ad cylindrum cd, vt armilla
ac ad circulum cu,- fied cylindrus cd ad cylindrum i^^eB
vt circulus cu ad circulum fh. Ergo ex aquo erit tubus cy-
lindricus ab, ad cylindrum fg, vt armilla ac ad circui
Ium fh* Sed armilla ac circulo f h fiupponitur aqualis i er-
go tubus cylindricus ab, aqualis erit cylindro fg. Sluod
trat&c.
Lemma II L
filmlibet cylindrus rellus a b , ad quemlibet tubum cylin»
dfkum reBum c d^ rationem habet comfofitam ex ratione al-
S titudi-
^5
H' '
./
D
A H
titudinum y nempe e b ad fd,
cH ratium kafium^
eje ratione q^mdrad ah 4drer
..Iqtft yMangulum ci f. (demonBrar
tum enimefl ita efpe circulum
a e ad armillam ci, vr.qua^
dratuna ^.h ad r e Cl angulum
cif.)
Ponatur cylindrus 1 m, cu-
ius altitudo 11 m fit aqualis altitudini f d ; hafis vero In, s^ua
lis fit armilla di Et erity per prae edens lemma y tubus cylin^
dricus cd aqualis cylindro \ m .
lam cylindrus 2ihy ad tubum c d eandem hakebil rationem.,
quam habet ad cylindrum 1 m ; nempe compofitarn ex ratione a fi
titudinis Q.h ad nmy fiue ad ^d‘yfir e xratione bafium yhoc eft
circuli ad circulum l n ; fiue quadrati a h ad quadratum l
vel quadra ti a h , W rell angulum <: i f . Ssoderap-^c.
Lemma. IV»
Efio hyperbola cuius afymptot.i fi0
zh y h e y angulum reBurn. coippy^het^
dentes yfitqae hyperboU femiaxis h d -
(femiaxemappello y quia b punEl-Urn in
quoafymptoticonearruntycentrum.byy.
perbplaaB »fiDicb quadratum reBa b d^
dupiumefiecuiufcunqMereBanguicz^.y
inter afymptot&S y (fi hyperbolamipfiamp<tprd^
^ J^ucantur dc:» dx^yrnptotiaquid ^ b i
dc yquadratumy cum anguei ad. h fiemirriii fin^ A » d*
ad i reBi » Ideo quadratum iine^ bd, duplum erit quadraB
#jf * b i d c ; fiue reB anguli a e , inter afiymptotos , d" hyperholam ip^
^^y^^Q^^Yahenfi » filmderat efie,,
Lemana .
EUa hyperbola a b ? cums afiymptoti angulum Te0um, c onti^
neth-
td , d’ e 1
duobus pmBis ^ , b, vtcumq;
i^hjfethold iducantUT duA te-
b e , a i idfyntptoto c d . <e-
quidift antes, a n , b m alu-
ri afymptoto d e parallele , qua
concurrant in 1 . ST um conuer^
taturvniuerfd figura circa axe
cd.
Hico cylindrum quemdam i
e p o ( cuius quidem bafis i o
habeat femldiametrum it aqua
lemfemiaxihyperhola\ altitudo veri) fit interccptd \ c fi fHdto-
rem efie tubo illo cylindrico , qui fit ex conuerfione reildriguli i
b circa axem c d ,• Minorem vero tubo illo qui fit e tc clnuerfione
reU anguli i\, ctrc a eundem auemr euoluti ^
Inprimis]quia h eJl aqualis femiaxi hyperbold , efit quO- lem.pfl
dratum it duplum r e ll anguli dh ,fiue aquale reSlanguldxxh . €edt»t^
lam : cylindrus o e, ad tubum qui fit ex r e ll angulo i b ( Intel-
ligefemp er circa axem c d ) rationem habet compofitarh eU ra- jJ
tione bafium ; nempe ex ratione quadrati i t ,fiue redlangultxx b,
adr e cl angulum u i e . Hoc e fi ( abi e His rell angulis ) e^ratid^
ne lateris Me: ad ^i\^ ex ratione lateris c b aid i u'. Et infii*
per ex ratione altitudinum ; nempe reH^ ei ad eb . Ergoraiia
cylindri o e. ad tubum i b, componitur est pradiH is tribus r a-
tioHibus \fcilic et . exrationereila ue ad ei: ^ exrattoHe ei
ad eb i & exratipne eb adi\x. propterea cylindrus oe^ ad
tubum i b i erit vf primus terminus ad vltimurn ; Hempe ^t re^
Ha ue ad i wyhoc efi minor , S^oderatofie^deddtm primo .
Eatioixerb cylindri oe, ad tubum, quifi f eidrellan^ld i\^
coponitur ex ratione bqfium ,ficilicet ex ratimtqUadfdti\ t , vd
red anguli i h ^ adreli angulum u i e i hdc efl(abicHiiteHdn^
Usfiixramne lateris fii, ad iet^e^raiidnoyet^
e^XW^Btinfiifer^rmiomakiiudmm^nemp^ieadt^ Er-
S s gora*
if 53^ Solido Hyperbolico
go ratio cylindri o c, ad tuhum i I, componitur exhis tribus prA^
didis rationibus^ nempe ex ratione fi ad icj i e. ad a.i; (jr
zi ad i u . Ff opter e a cylindrus o e , a,d tubum i 1 , erit 'utpri-
mus terminus fi ad v It imum ^ ideo minor, foderat
oftendcndum (frc.
Lemma VI.
k
\!
^Jio hyperbola cuius afympto-f
ti c d , d e angulum redum corn-
prahendant yfumptifq. in hyper-
bola vtcumque duobus punBis a
dr b i ducantur a i, b e afympto^
to c 6. parallela .
Dico /olidum illud annulare
quod defcribitur ex conuerjlone
quadrilinei mixti [i ab e, circa
axem c d. reuoluti^aquale e/f e cui
damcylindro redo i^^ po .Debet
autem huius cylindri altitudo ej/e
i e ; diameterverltbafts i o , debet
ej/e aqualis integro axi ipjtus hy’>
perbola .
^it enim (fi po//ibile e Jl) /olidum illud annulare fadum, ex
quadrilineo i a b e , circa axem c d reuolutOy minus cylindro o
e.* &pmaturd€f edus aqualis cuidam /olido K.
Secetur bl bifariamin f. deindereliqua fl fecetur Ftfaria
in g 'j Et hoc fiai/emper donec tubus aliquis cylindricus^ qui de-e
fcnhitur ex reuolutione red anguli alg, minor fit /olido K.
T uns enim feBapotd b 1 , in partes aquales vltim^ g I , ducan^
tur dfingulis pundlis diuifionum , reda gh, fn, yr, aquidi-
fiantesipfi ^tldExpundis vero mj nx. in quibus pradidf
paraltelf hyperbolamfecant y demittantur reBs .fiue potius pia
na mif %xXyt)X^ad afymptoton d e ereda . Denique ex con-
P^oblemaSecundumi.
uerfiam jinguloYum re£f angulorum ^ qualium^ quorum *vnum efi
a g , totidemttiht cylindrici dcfcrthantur circa axem c d,
lam: tubus qui fit a rc^f angulo rb l' intellige femper circa
axem cdjob aqualem altitudinem , eandemque hafim , aqualis
erit tube r f . addit oq^ communi tubo r n . erunt duo tubi b r, r ii
fimulfiumpti aquales tubo n y-ifiue tubo n g . Additoq, commu-
ni n m . erunt tres tubi b r n in , aquales tubo m i^fiue m 1 ,• ^
addito communi %>ltimo iti^a , erunt omnes tubifimul b r n m a ,
f quales tubo nempe minores folido K. ob conHruclionem ,
Propter ea vniuerfa figura fiolidaconH ans ex mbis er, & n , z in
X a yCircumficripta folido annularifadlo d quadri lineo i a b e, mi-
nus addit fupr a ipfum foiidumannulare.iqudm fit folidum K. Er-
go ipfa fgura ciYCumfcripta adhuc nfinor erit cylindro o Q.,^uod
efi ah fur dum . Idam tubus a x . ffip er at cylindrum x o ,* Tubus
item m z fiuperat cylindrum zi.ifr (Ic de reliquis per lemma j.
Ponaturdeinde(fipofitbUeefl ) folidum annulare genitum ex
quadriiineo i ab e , matus effie cylindro o e . ponat urq. excefius
aqualisjolido (tuidam%.,
F er agatur fimilis conUruEtio , ^t fupr ita vt omnes tubi ey-r
Undrici b r n m a , minores iterum osiendantur folido k . Tunc
enim figura tnfcriptain folido annulari pradiEUo , conflans ex tu
& b , z r , X n , i m , minus deficiet ab ipfo folido annulari^qud.
fit folidMm k Propter e a eadem infcripta figura adhuc maior erit
eylind, o t^^uod eli ab fur dum. Nam tubus x h minor efi cyliru
dro X o ’r& tubus x n minor efi cylindro x t . Etfic de reliquis ,
Patet ergo ^ quod folidum annulare genitum ex conuerfione
quadrilinei i a b e , circa axem c d , aquale efi cylindro o e . SU
quidem jodienfum efi , neqi minus , neq., maius effe poffe
Lemma VIb
EftohyperboU ^ duius dfymptoti angulumrcBum commen^
f es fine a B , b c i ^ eo nu er t at ur figura circa axem a b, tta m fi,-
Mt folidum hyperbolicumyeMius infinita fit longitudo ^erfius par^
eessL» Sefiio deinde huiufmodi folido ypiam dc ad axem ere-
clo ,
Ho d e concifiAtur. cylindrus df
g e , hdbens altitudinem df . IntelUgaturr
qm alius cylindrus b g 1 i , cuius altitudojtc
b g , balisverltfemidiameter b o fonatura^
qualis femiaxi hyperhalf . Dico cylindrum
h \ duplum ejp cylindri iQ ^
Nam cylindrus b 1 ad cylindrum fe ,
tioncm habet compofitam ex ratiane ba*
sium y nempe ex ratione quadrati oh ad
b g ratione altitudinum , nempe ex
ratione re6t^ b g ad g c , siue quadrati, b g
adre^angulnmh^t. ErgocylmdrushX y
ad cylindrum i ejl vt qHadratMm joh-iiadreviaitgulumh e.
Nempeduplus^ £lm der at clrc.
2)
y
F
B
GG
0
I
L
Theorema.
Efto hyperbola, cuius afympto^
ti\angulum redu continentes fint
ac. Et fumpto in byperbo-
la quolibet pundo ducatur d
c: parallela ad Tum couer-
tatur figura circa axem ab;kx
vt fiatfolidum acutum hyperbo-
licum infinitas longitudinis ver-
fus partes (intellige femper
pundum b in infinitam diftantia
efTe remotum*) Conftabitq.pr^^
didum folidum hyperbolicum ex duobus folidis,nempe ex cy-
lindro redXo/^e dCiSc ex folido acuto e bd, cuius quidem ba-
fis erit circulus ed, altitudo vero fine fine .
Dico vniuerfum huiufmodi folidum/^’ ^ asquale efTe cy-
lindro cuidam redo ac ih. cuius altitudo fit a c ( nempr femi-
diameter bafis acuti folidi) diameter vero bafis a h ^ asqualis fit
Integro axi hyperbole ,
Sic
Problema Secundum , 155
$k enim ( fi^olTibile 'eft/ fblidum hy perbolicum febdc mi-
nuscylindro Pon^mrq,- ex cylindro cylindrus aliquis
nsili qui sequalis fit jfolido hyperboBlico ; 6c“|5roducatur In m
donec hyperbolae occurrat in m» (occurret enim, cura afym-
ptoto fupponatur parallela.)
lam cylindri^s aequalis erit folido annukri, quod defieri-
bitur areuolutione quadrilinei mixti nmdcy &propterea
nus oranind erit iblido integro hyperbolico ^ d f . Hon dr-
go eidera eft lequalis . Quod eft contra fiuppofitum..
Ponatur deinde ( fi poifibile efi j folidum hyperbolicum /V
i /c maius cylindro Quoniam igitur folidum hyperbo-
Ikum f^bde , finitse magnitudinis fit, fiueinfinitg^ maius
fupponitur q uam cylindrus d i . Erit aliquod ipfius fegmentu,
puta/c#;j^;f/c, aequale Cylindro di. Quodeftabfurdum. Na
loiidum annularefadumsa reuolutionequadriiinei n m de,
quale eft cylindro n i \ Cylindrus autem 0 n fubduplus efi: cy-
lindri n h . Ergo tota portio fiolidi hyperbolici/V omde ^ mi-
nor erit cylindro di. f
Patet ergo, quod vniuerfium folidum acutum hyperbolicum
febds -i, quamquam infinitselongitiidinis fit , sequale tamen cA
pr^ di (5io cylindro d i . Quandoquidem neque minus, neq; ma-
ius elfe potefl: . Quod erat^oilendendum &c.
Ltm(y
Lemif:
APPEN-
A P P EN DI X
^De Dimenjime Cochlu r
C V M adhuc a neuiinc* quod ego fciam, Geometrica con-
(ideratione examinatum fit folid um vulgatum, .& anti-
quiifimum , meoq; iudicio aliqua animaduerfioae non indignu
( Cochleam incelligo , ) non abs re fore iudieaui illud* breui eo-
templatione profequi . Non enim aliena erit a procedenti li-
bello prsefens fpeculatio , quie per Indiuifibilia curua,faperfi-
ciefq/ cylindricas procedit. Neq; ingratum Geometris opus
futurum exiftimo, ii demonftrauerp cui hguras notSEiam dimea
fionis, aquale fit folid um quiddam neque re(g:um, neque rotua-
dum/ed fpirali rcuoliitione contortum, quale nullum adhuc in^
ter menfuratas figuras poffidet Geometria. Premifla itaq; defi-
nitione veniamus ad lemmata, qua fieri poterit breuitate, expe-
dienda .
Definitio .
S I eodem tempore moueantur dute
plana figurae , quae femper in eode
plano Gonfiftant, nempe redagulum^ ^
e d. circa axem a b motu circulari aequa-
bili, & figura quaecunq; i e motu pro-
grefiiuo fuper latere 4 c . Solidum quod
agfigura genitrice d e deferibitur , Cochleam appello •
Lemma Primum.
XUo folidum qmdlibet rotHndHm a C b g ,* cu-
iUs sit a b, figura genitrix a b c hfe^uq . sh
flano dfe aquiitfiamer a^ii cb* ai figuram ge^
mtricem ereBo , quod quidem faci at infuferficie
foliii rotundi femifeCiionem lineam dfe . Dia
DeGocMea 145
pltdkm tRud YOtundum quo^dontar cx reuoSutimefigUt^ d £e,
tircd 4xem d c , dquarifolido qi4oddefmUtm 4 figxra dee
circa axem a h reuoluta ,
Intelligamr enimfolidum Ydtundum fec ari alio flano fev c f.
^ducl&i^adaxem ab ere4Joy erunt q\punCla cf^mfemL
circuWperipharia cuius diameter ejl c g ; ideo quadratum
l? tsquale erit reB angulo c i g , ^ propter ea ( per lemma primu
procedentis demonjirationis) circulus cuius radius if , ^qua^
lis armill^ quam reBa c i de feribit circa axem a b . Bt hoc fetn
per verum erit vbicunqi fit planum f ^cans c f g . Brgo omnes fi^
mul circuli , nempe f olidum rotundum faBum dreuoBttione figu~
re dfe circa axem ^ty ecquales erunt ommbus armillis fimul
fumptis 5 hos eBfiolidofaBp a figura, ficx reuoluta circa axem.
%h 0 ., foderat dt^c. ; V
Eemma IL .
E
H
G
T
i’
A.
o
M
'-N
Bfio cylindv^usreBus. -z h exH <?x
reBa ,e d tam.quam termino dua reBa .
linea infiMpcrficie-cylindrtca aquales -
ipfi exi moMcantur : quarum- altera
puro circulari motu Zonam e f a d de^
ficrihat ^ altera vero quocunque motu
fipnam e h ^xy^x defignansemQueatur^'
donec amha:ai vnum , id em que latus -
cylindri ,pma a h peruenerint ^Bico huiufimodi x^onas^fiue Z jQ-^
narumporttones inter fe efifioquales . „
Concipiatur enim trigonus, cylindricus fitptYtor\\it tranfl-
ferri y dfupr a inferiorem g a d collocari, itavt periphecria f e
ipfi zd fiuperponaturyqua necefiario congruent , cumfint dreus
aqualumtirculorumd^reB ad, (Ji ducantur)
aquales fintf erBropofitionem s tBrimielemeniorjim Buclidk, .
Ipfa etiamreBaiih congruelcum reBafibioquaU a g-, alias
du&reBafie interfec arent m/uperficie cylindrica, qmdeffe non-.,f
pptefi . rpfatandemcurua. h n e^ qualifiunqrfit-nmgruft/cqmjc
Ti curua,-.
\ 4f
cuma g o d ) iV ijt enim c ori gruat ; eMo : Et (it g m d tfAnstdU^
cuTua h n e, qua mn congruit cum g o d * du^aq, i n infufer^
fete cylindri , trit m i in^qualisip/l i o ; erga etiam n 1 , cum^*
qualis Jit m i , erit in ts qualis ifji i quod ej^enon potejl } Cum
enim perfuppofitionem aquales Jlnt i 1 , o n , additaf, Jiue ahla^
ta communi J o, erit tota io ^dqualistoti x\ \ , Propterea totum
triangulum cylindricum h ie aquale esi triangulo cylindrico g
a d . ideo iperprojlcaph^refim^ ^na e fa d , z»onf e h g d VJ?
f qualis, ^odjrc.
Lemma IIL
J
£. S O
cd^&fnemin figura Ifh . Deinde inteUigaturdefcrilf ere d»
nulum cirsularem in fe redeuntem^ qui h ah e at initium ^ & fi-^
nem in figura eadem hc A»
Mcipiatur in figura b c d qualibet Telia i o parallela axi a
t \ quf quidem relt a i oin reuolutione duas zonas cylindricas ^
dr aquales (per kmmaprpcedens) deferihet, in vna eademf, cy-
lindricajup er fici e , alteram quidem in cochlea , alteram vero in
dnnulo * JE.t$qudlesfemper etuntyvhicunqi fumatur reCtai o *
ergo omnes fimul^np cylindrica qu^ funt in cochlea y pquales
erunt omnibus Jimul^ynis cy lindricis qu^ funt in dnnulo , pr<t^
f terga B Ipfa coshlea fqualtseritipfiannulo^
Corollarium
Hincjiunifeftumeft omnes cochleasprimac reuolutionis cf*
fein*
De Cochlea r '147
fc inter fc aequales i quandoquidem fingulf ri^cm anniUocir^
culari sequalesfunt* ^
Lemma IV.
M Anentibus ys quA Apollonius fuppo^
nitin x4 X 1 1 X 1 II i primiCo^
nicotum * EBo conus a b c yfecius plano
non vetticaUpef int^faciente in fuper^
fcie conifeBionem f n r j quaecunq\ illa
P \cmus diametef cBo fe^ X>ucaturq\
fi dequidiftans ipfi ac « T umfaty vt f
t ad ( part em hajis trianguli per axe
avertke cOni auuerfdm) ita if ad fL
Dico fl ejfelattis reBum [epiionis ,
Ponatur fl adpunBum f vtcumque^
^ ducatur d I ah extremitate axis : Accepto deinde quolibet
punBo n in feClione i applicetur no per o agatur qp ae^
quidifiansipfi ac j at om ducatur parallela ad fl « Brit iam
fo ad oc\^ 'Vt fe ad ea, fiue^t if ad fl, nempe^vt po ad q
m, oh parallelas r Ergo reiiangula fom , poq funt dqualia%
quamobr em reB angulum fom aquale erit quadrato on» d®
propteredil reBum figura latus . ^oddpc.
Licet hoc •verum fit in omni/eBione coni fiolam hyperbolam
depiximus^ quoniam fola hyperhola facit ad rem noBram »
Lemma Y*
Si reB angulum ac, in eodem exU
flens plano cum triangulo orthogonio
ebf. conuertatur circa manens latus
a d donec ad locum redeat 'vnde capit
moueri . Dico annulum circularem de--
fmpmm a triangulo ebf aqualem ef-
2; ■»' (fj»z
.ft^c onoidi cuidam hyperboltc o , cuius altitudo Jit b e ; tulus ia»
tus rcbiuntjit tpuarta froportionalium Ji jiat ^t e b ad bf ita
dupla b z ad aliam . Verjum vero latus quarta sit proportiona*
lium , si fiat vt fb ad bc, itadupl ab z ad aliam ,
C onuertatur figura njti dicium e fi , ^ reSfartgulum a c de-
ficfiiMPij linar um cuius feclioprer axem c m i intelligaturque
produdiam effer eUam it, donec cum axe c^nueniat in h,
^aum m i in i . Manifcjlum ejl triangulum 'Ka f defcrihere
tonum gTif, cuius axis eB ah. Concipiatur iamfiec ari co^
num g h f (ZquidiBanter axi plano per e b , siue per i n nidu-
Bo , quod quidem planum erectum stt ad figuram genitricem co»
ni j nemyc ad planum g h f . BritqffedHo in cono g h f hyperho^
Li i Xtproptereafolidumquod defer ibit ur d triangulo m n g>
siue e b 1' , circa axem a d , aquale erit (per lemma primum) co*
noidi lyperholico d pradictadjypcrhola deferipto , Huius autem
ccnoidts , siue huius hyperhola Idms .rectum habetur (^per kmm,
^./ex fi^tvt n m , ad m g, rta e ti,Mue dupla b^ adaiid*
V erfum vero, quod ejl n i, habebitur, si fiat vt g m ad m n, ita
^siue dapla b a ad aliam qua erit ni. S^od erat cd^c*
Biheorema^ ^ ^ /
Cochleaprimasreuoiiitionis, qusB^deferibitur a triangulo 'c
hf in praecedenti figura, aqualis cft conoidi cuidam hyperbo-
lico, cuius altitudo fit ; latus replum fit quarta prdportiona-
Jium , fi€at vt ed ad hf, ita diipia ba ad ttMm, ¥erfum
vero latus fit quarta proportionalium ^ fi fiat vt fb ad he^ ita
•dupla ^ ^ ad aliam.
Hoc enim patet ex iam deifionftratis i Pra^dii^la enim cochlea
SEqualis eft^per lem.eprimum ) ahnullo fa^o a triangulo tbf.
Sed aniiuIiTScircularis trianguli ebffrx(di6lo conoidi eft
xjualis(perJemniapr^cedeiis^ Ergo patet quod propofitum
erat.
Scho-
De Cochlea. I4P
Scholium .
Cochlea ver}) cmus^fgafagemtrix parallelogrammum redtan
gulum jtty^qualis eB cylindro cuius altitudo fit e eadem cum
altitudine figura genitricis yfemidiamet er vero bajis inedia pro-^
portionalis Jit inter f b redfam compojitam ex ex f a , a b •
Si vedo figura genitrix circulusfuerit , er it f adi a cochlea pri^
ma reuolutionis ad [pharam circuli gemtorisyVt periphxria qua
deficribitur a radio , qui Jit aq ualis vtriquey nempe rtdf§ ab in
pracedenti figura fifcmidtametroqi circuli genitoris ^ ad duas
tertias diametri eiufidem circuli genitoris ,
R eliquum ejfiet vt MechamcaetUm Theoremdtahorumfo»
lidorum e^&equeremur , pritfiertim quando Coc hlea gigni--
tur d triangulo : Centrum enimgramtatis in axe efl , diuiditcii
portiunculam quandam ipfius axis ( aqualem abficindendam la^
teri th, & circa 'puneium medium tpjius axis collocandam )
*ueluti comidis cmufdam hyperbolici centrum fecat propriam
diametrum \Jiue pradiBa portiuncula fiemijfem ita diuidit , *uti
eandem ftc aret centrum grauitatis cuiufdamfcgtnenti fpharici
duplam habentis altitudineybajimqydatoetuidam circulo aqua-^
iem . Sed tanti non eB fingulas ifi as nugas longids prvtrafj4;re^
Ut te beneuolum LeBorem vlterius adhuc torqueamus^ For--
tajle etiam fiet ynijivniuerfia hac^qua in i Bis libellis continen
turdibi JifplicuiJfe comperiam , vt ea qua htc dejiderantur ^ ejr
fnulibplura circagramtatem ^ ipflufqy centrum ^peculiari libel-
lo Geometrice comprehendam . Interimficto me patrocinium de-
bere longifitma tot fnenfium dejidia cccum iamfupra dnnum fOx
quo opujcula hac maximis Geometris promifisa funtyproducatm
lentijfin^^ eorum imprejfio . quod quidem pluribus de caufisfa-
Bum efl i neq\ hoc tam negligentia mea iTnputandum eft ^ quam
fortuitis quibufdam cafiibus , infperatifque . Accidit cnirn in-
termedio hoc tempore y *vt plurium menfium Budio atqi labore
inciderim infolutionem optici illius Problematis tamdiuper-
qui-
ijo Appendix
quifitiycuius videlicet figat di ejfie debeant fuf et fides vimtum ^
quts ad vfium T e lefcapij elabotamat . Etcitus d emoniitationem
confirmauit . quamquam enim neque optatam figuram ( vt cre^
dibile efi ) petfeCle haberent j neque vndequaque abfoluta , ^
perpolita dEirone adhuc inexperto ^ isiextrcitatovideren^
tur , ope tamen, vi figura illius ad quam proxime tantum ac^
e edebant, ad eum vfq\ perfeUimis gradum peruenerunt, ^t T e-
tefcapia optimi cuiufq-, artifueis, cuius ad hunc diem fama in hac
Vrbe innotuerit ,fHp(tauerint . Neque iudicium hoc per petam
prolatum efi ; fed repetitis fapius ,fummaq', cum diligentia va^
fijs experimentis , node , dieque ^ ^ adhibitis erudit fiimis te^
Bibus, quorum iudicium nemo iure damnauerit . C erte^ quale*
cunqi fuerit inuentum , nefeio plufne gaudq > laudifqi mihi at*
tulerit, an prsemij \quandoquidem Serenijjimi Magni Ducis efik-
P vere Regia liber alit as magno auri pondere donatum me
non femelvoluit , Mirum itaq; videri non debet quod omifsk
per integrum femefire libeUorum curd, totam operam nouo infi*
fo , mihiqi in primis exoptatijfimo , ne dicam vtilifiimOf impen*
derim . Fa^um etiam efi vt hac de caufa libelli minus cafiU
gati euaferint,authore nimirum diflradlo, elr ad alia, eaq; diuef
fijfima , conuerfo . ^apr opter orandus etiam atq', etiam es be*
neuole leSlor , vt hac qualiacunq', te qui , boniq ; facias , ^ erra*
ta vel toleres , vel corrigas » prpfertim cum tam mantfefiaple**
rUnq.fint , vt neminem fuger e valeam , fedvhrbfefe ipfa offe^
rant ; vt videre efi in prima fiat im epifiola nuncupat ori a, fr ft
hin de fatis frequenter in qs qua fequuntur . Correi^ i oms non
addemus infime operis,vt pleriq. folenti quia neque jatis vaca*
uit temporis ad mendofa omnia adnotanda , neq. voluimus
mutila breuiq. recenfione aliquot erratorum, omnem deinde ex*>
cu fationi mef locum erripere , dum tacita prftermifjio eorum ^
^ qup € e nfum effugi jfent, tamquam approbatioms quoddam genus
.mihipotuiffet imputarim
FINIS.
n
11 $
Ii Reu, M, Cado Mariotti veda fe adla prcfentc Opera fi con-
tenga cofa che repugni alia Pieta Criftiaaa , e buoni coftu-i
mi , e rifcrifca , £)♦ il di 30, di Marzo 1 544;
Viiieertz^o Kab4tt4. Vk, Of», di Fir^
Ego P* Carolus de Mariottis nullam in hoc opere contra pie*
tatem ac bonos mores inueni labem , immo maximam in ip-
fo mathematicae findentibus, ac huiufcemodi incumbenti-
bus arti in legendo fum expertus vtiiitatemi in quorum
demfcripfi
Idem Bgo qui fufra mmu fropria •
Attenta prgefenti relatione imprimatur opus feruatis feruan«
D» die 9, Aprilis 1 544,
Vincentius R4b4tt4,Vk.Gen. Fkr*
Sipuo fiamparein Fiofenza Ii 1 3 . Aprile 1 544,
FrJ4CQmgd4 CuHigliom Qam . delS.Off.de m4nd%>
Aleffundre F meri Sen4tere Aud. ai SA. Serenifs^
i
.s
i
!
'i
Live Music
Archive
Librivox
Free Audio
Metropolitan Museum
Cleveland
Museum of Art
Internet
Arcade
Console Living Room
Open Library
American
Libraries
TV News
Understanding
9/11